Теория универа (555138), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поэтому для вычисления значений F(x) приходитсяпользоваться таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называетсянормированным, а его функция распределения−∞19PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com1х−t22(6.3)∫ е dt 2π −∞- функцией Лапласа.Замечание.
Функцию распределения для произвольных параметров можно выразитьФ( х) =x−aσt2−x−a1е 2 dt .через функцию Лапласа, если сделать замену: t =, тогда F ( х) =∫σ2π −∞Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины назаданный интервал:β −aα − a p (α < x < β ) = F ( β ) − F (α ) = Φ(6.4). − Φ σ σ Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3,σ = 2. Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).Решение.8 − 3 4 −3p (4 < x < 8) = F (8) − F (4) = Φ − Φ. = Φ (2,5) − Φ (0,5) = 0,9938 − 0,6915 = 0,3023. 2 2 Правило «трех сигм».Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина приметзначение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):p (а − 3σ < x < а + 3σ ) = Φ(3) − Φ(− 3) = 0,9986 − 0,0014 = 0.9973.Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется внеэтого интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считатьсяпренебрежимо малой.
Таким образом, на практике можно считать, что все возможныезначения нормально распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ,а + 3σ).Полученный результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: еслислучайная величина распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а непревосходит 3σ.Показательное распределение.Определение 6.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределениевероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью 0, x < 0f ( x ) = −λx(6.5)λe , x ≥ 0.В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется толькоодним параметром λ.
В этом его преимущество, так как обычно параметрыраспределения заранее не известны и их приходится оценивать приближенно.Понятно, что оценить один параметр проще, чем несколько.Найдем функцию распределения показательного закона:xF ( x) =∫−∞f (t )dt =0x−∞0− λt− λx∫ 0 ⋅ dt + λ ∫ e dt = 1 − e . Следовательно, 0, x < 0F ( x) = − λx1 − e , x ≥ 0.20PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com(6.6)Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайнойвеличины в интервал (а, b):p (a < x < b) = e − λa − e − λb .(6.7)Значения функции е-х можно найти из таблиц.Функция надежности.Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0= 0 и должен проработать в течение периода времени t.
Обозначим за Т непрерывнуюслучайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функцияF(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятностьбезотказной работы за это же время равнаR(t) = p(T > t) = 1 – F(t).(6.8)Эта функция называется функцией надежности.Показательный закон надежности.Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение,то естьF(t) = 1 – e-λt .Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt .Определение 6.4.
Показательным закономнадежности, определяемую равенствомR(t) = e-λt ,где λ – интенсивность отказов.надежности называют функцию(6.9)Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательномузакону с плотностью распределения f(t) = 0,1 e-0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того,что элемент проработает безотказно в течение 10 часов.Решение.
Так как λ = 0,1, R(10) = e-0,1·10 = e-1 = 0,368.21PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 7.Основные числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Ихсвойства и примеры.Закон распределения (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины.
Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, еесреднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Рассмотрим основные числовые характеристики дискретных случайных величин.Математическое ожидание.Определение 7.1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .(7.1)∞Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то M ( X ) = ∑ xi pi ,i =1если полученный ряд сходится абсолютно.Замечание 1. Математическое ожидание называют иногда взвешенным средним, так каконо приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайнойвеличины при большом числе опытов.Замечание 2. Из определения математического ожидания следует, что его значение неменьше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего.Замечание 3.
Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. В дальнейшем увидим, что это же справедливо и для непрерывных случайных величин.Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартныхдеталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных.Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может приниматьC1 ⋅ C 2C 2 ⋅ C1C3177значения 1, 2, 3.
p (1) = 8 3 2 = , p (2) = 8 3 2 = , p (3) = 83 = . Тогда1515C10C10C10 15177M ( X ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ = 2,4.151515Пример 2. Определим математическое ожидание случайной величины Х – числа бросковмонеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное числозначений (множество возможных значений есть множество натуральных чисел). Ряд еераспределения имеет вид:Х12…п…р0,5(0,5)2…(0,5)п…∞2п3∞п 11 1 ∞ 1111Тогда М ( Х ) = ∑ п = + 2 ⋅ + 3 ⋅ + ... + п ⋅ + ... = ∑ п + ∑ п + . ..+22 п =1 2222п =1 2п =1 222PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com1 ∞ 11 1 1+ ...
= 1 ⋅ 1 + + + ... + п + ... = 1 ⋅ 2 = 2 (при вычислении дваждып ∑ п2 п =1 22 2 4использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:b1 111 11S = 1 , откуда + + ... + n + ... = 1, 1 + + + ... + n + ... = 2 ).2 42 41− q22+Свойства математического ожидания.1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:М(С) = С.(7.2)Доказательство. Если рассматривать С как дискретную случайную величину,принимающую только одно значение С с вероятностью р = 1, то М(С) = С·1 = С.2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:М(СХ) = С М(Х).(7.3)Доказательство. Если случайная величина Х задана рядом распределенияxix1x2…xnpip1p2…pnто ряд распределения для СХ имеет вид:СxiСx1Сx2pip1p2……СxnpnТогда М(СХ) = Сх1р1 + Сх2р2 + … + Схпрп = С( х1р1 + х2р2 + … + хпрп) = СМ(Х).Определение 7.2.
Две случайные величины называются независимыми, если законраспределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. Впротивном случае случайные величины зависимы.Определение 7.3. Назовем произведением независимых случайных величин Х и Yслучайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всехвозможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величинравно произведению их математических ожиданий:M(XY) = M(X)M(Y).(7.4)Доказательство. Для упрощения вычислений ограничимся случаем, когда Х и Yпринимают только по два возможных значения:xix1x2pip1p2уigiу1g1у2g2Тогда ряд распределения для XY выглядит так:ХYx1 y 1x2 y 1x1 y2pp1g1p2 g1p1g2x 2 y2p2g2Следовательно, M(XY) = x1y1·p1g1 + x2y1·p2g1 + x1y2·p1g2 + x2y2·p2g2 = y1g1(x1p1 + x2p2) ++ y2g2(x1p1 + x2p2) = (y1g1 + y2g2) (x1p1 + x2p2) = M(X)·M(Y).23PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЗамечание 1.
Аналогично можно доказать это свойство для большего количествавозможных значений сомножителей.Замечание 2. Свойство 3 справедливо для произведения любого числа независимыхслучайных величин, что доказывается методом математической индукции.Определение 7.4. Определим сумму случайных величин Х и Y как случайнуювеличину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможногозначения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равныпроизведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин –произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин ( зависимых или независимых ) равно сумме математических ожиданий слагаемых:M (X + Y) = M (X) + M (Y).(7.5)Доказательство.Вновь рассмотрим случайные величины, заданные рядами распределения, приведенными при доказательстве свойства 3. Тогда возможными значениями X + Y являютсях1 + у1, х1 + у2, х2 + у1, х2 + у2.
Обозначим их вероятности соответственно как р11, р12, р21и р22. Найдем М( Х +Y ) = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12 + (x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22 == x1(p11 + p12) + x2(p21 + p22) + y1(p11 + p21) + y2(p12 + p22).Докажем, что р11 + р22 = р1. Действительно, событие, состоящее в том, что X + Yпримет значения х1 + у1 или х1 + у2 и вероятность которого равна р11 + р22, совпадает ссобытием, заключающемся в том, что Х = х1 (его вероятность – р1).
Аналогично доказывается, что p21 + p22 = р2, p11 + p21 = g1, p12 + p22 = g2. Значит,M(X + Y) = x1p1 + x2p2 + y1g1 + y2g2 = M (X) + M (Y).Замечание. Из свойства 4 следует, что сумма любого числа случайных величин равнасумме математических ожиданий слагаемых.Пример. Найти математическое ожидание суммы числа очков, выпавших при броскепяти игральных костей.Найдем математическое ожидание числа очков, выпавших при броске одной кости:1 7М(Х1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ⋅ = . Тому же числу равно математическое ожидание6 21 5числа очков, выпавших на любой кости.
Следовательно, по свойству 4 М(Х)= 5 ⋅ = .6 6Дисперсия.Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточнознать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х иY, заданные рядами распределения видаY 0100Х 49 50 51р 0,1 0,8 0,1p 0,5 0,5Найдем М(Х) = 49·0,1 + 50·0,8 + 51·0,1 = 50, М(Y) = 0·0,5 + 100·0,5 = 50. Как видно, математические ожидания обеих величин равны, но если для Х М(Х) хорошо описывает поведение случайной величины, являясь ее наиболее вероятным возможным значением (причем остальные значения ненамного отличаются от 50), то значения Y существенно отстоят от М(Y).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
