ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В связи с тем что одну н ту же систему уравнений можно различными способами привести к причинно-следственной форме, каждой системе уравнений можно поставить в соответствие некоторое множество графов. Различные графы, соответствующие одной и той же исходной системе уравнений, называются р а в н о с и л ь н ы м и. Рассмотрим несколько примеров построения графов, соответствующих заданной системе уравнений.
° ФФ1 ° Пример 4.14. Построим сигнальный граф, соответствующий системе уравнений а„,х, + азаке + аззхз .=- Ь;, амх, + а,х, + аззхз =- Ьз; атх, + атхз+ аззхз — — - О. Приведем донную систему уравнений к причинно-следственной форме, для «его риэрещим первое уравнение относительно х» второе — относительно хз, а третье — относительно кз. х, = — а„хз/а„— а„зх,/ам + Ьт/ид., хз =- — амх,/а,з — аззхз/а,з + Ьз/ими хз = — азсхт/азз — атхз/азз. Число неэовисимььх переменных в этой сисныме уравнений равно трем, число ненулевых свободных членов — двум, следовательно, общее число узлов сигнального графа равно пяти. Располагая в левой части чертежа независимые узлы, со.
ответствующие свободным членам Ьз и Ьз, а в правой части узлы, соответствую- о,/в -ви/в а/ Рнс. 421. К примеру 4.14 щие неизвестным тличинам к,, хз, хз, и соединяя их ветвями в соответствии с сиппемой уриенений, преобраэовинной к причинно-следственной форме, получим сигнильный граф, изображенный на рис. 4.3/, а. Исходная система уравнгний может быть приведена к причинно-следственной форме и другим способом. Прибавляя х правой и левой частям первого уравнения хм второго хз, третьего кз и выполняя преобразования, получим х, †.-,(иы + 1) хз + и,зхз + а,зхз — Ь; кз =~амхз + (азз + 1) к, + азаке — Ьз; ! х = азтхе Р аз,ха+ (азз+ 1) хз. 234 Этой системе уравнений соолюевслюует сигнальный граф, ижбраженный иа рис. 4.21, б.
Графы /рис. 4,21, о, б) имеют различную структуру и передачи ветвей, однако оии оютветспюуют одной и той же исходной системе уравнений и поэтому лвляются равносильными. Очевидно, что если первое уравнение, входящее в исходную систему, разрешить не относительно х,, а относительно хь или хь, гю получится другие варианты представления исходной системы уравнений в причинно-следственной бюрме, каждому из которых можно поставить в соответствие сигнильные графы, равносильные графам, изобрижениым на рис. 4.21.
° ФФФФ Пример 4.16. Составим сигнильный граф, аюлметствующий узловым уравнениям цепи, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Узловые уривнеиия данной цели были получены при рассмотрении примера 4.4. Разрешал первое иэ уравнений относительно Огь, а второе — отиосигыльно 1)ев, »олучаем 1/ж=2, <1/2,+1/2в) 1/ж+2,1; /)гь = Еь (1/Лг+ 1/Лг+ 1/Ее) /)гь — Хе Е/Ль. Этой системе уравнений жответсввует сигнальный граф, притдениый на рис. 4.22.
° ФФФФ Пример 4.16. Используя метод контурных токов, составим систему уравнений для определения тока /ь цели, схема которой приведена на рис. 4.2, а. Построим также сигнальный граф, соопыевспюующий втой системе уравнений. ли игу 1 /+л4/Й+йц/41 Е -Щг 112 -г ~г2 Рис. 4.22. К примеру 4.15 Рис. 423. К примеру 4.16 Контурные уравнения рассматриваемой цепи были сформированы при рассмотрении примера 4.8. Дополняя зти уравнения соотношением, связывающим вок 1» с контурными токами 1ьг и 1, получаем (Ля+Уз) 1„, — 2ь /в — Е'; — 2,1„+Д+2,+2,) /ж=г,11 /ь — 1 + /ьл = б. Разрешим кааэдае иэ этих уравнении олшосивельно адней иэ неизэывьных величин: 1„= <2,+2,) 1„/г,— Е/2,; 1„=(г,+2,.+2,) 1'„Д,— 2ь1/г,; 1в 1 — 1гг. Этой системе уравнений соолметствует сигнальный граф, иэгбракгпный на рис.
4.23. 222 Преобрдзовання снгнальных графов Используя правила построения сигнальных графов, соответствующих за. данной системе уравнений, можно убедиться, что каждому ривносильному преобразованию исходной системы уравнений соответствует некоторое преобразовиние сигнального графа и, наоборот, каждому преобразованию сигнального графа соооыетствует определенное преобразование исходной системы уривнений На практике оказывается, что преобразования сигнальных графов выполняются проще и в более наглядной форме, чем преобразование соответствующих им уравнений.
Поэтому при анализе цепей во многих случаях преобразование уравнений электрического равновесия заменяется преобразованием соответствующих сигнальных графов А х,( А+В хн АлВ о) Рис. 4.25. Объединение петель Рис. 4.24. Объединение параллельных ветвей Рассмотрим основные преобразования сигнальных графов. Объединение параллельных ветвей. Две параллельные ветви с передачами А и В могут быть заменены одной ветвью с передачей А + В. Действительно в соответствии с рис.
4.24, а сигнал в узле, к которому сходятся ветви с передачами А и В, исходящие из узла хь будет равен ху= Ах~+ Вхо или х)=(А+В) хг. Последнему уравнению соответствует сигнальный граф, имеющий одну ветвь с передачей А + В, направленную от узла хг к узлу х (рис. 4.24, б). Правило объединения параллельных ветвей обобщается на любое число параллельно включенных ветвей, его можно применять для объединения петель, подключенных к одному узлу (рис. 4.25). Объединение последовательности однонаправленных ветвей. Две последовательно включенные однонаправленные ветви с передачами А н В могут быть заменены одной ветвью с передачей АВ. Действительяо, графу, приведенному на рис.
4.26, а может быть поставлена в соответствие системз уравнений х =Ахб хь=Вхр Исключая иэ (4.37) переменную х, получаем ха =АВхо (4.33) Уравнению (4.33) соответствует сигнальный граф, содержащий одну ветвь с передачей АВ (рис. 4.26, б). Рассмотренное преобразование представлиет собой частный случай устранения смешанного узла сигнального графа. Устранение промежуточного узла.
Смешанный узел, к которому подключено несколько не образующих контуров ветвей, причем только одна из ветвей напэавлена к узлу (рис. 4.27, а) или только одна из ветвей направлена от узла (рнс. 4.27, в), называется п р о м е ж у то ч н ы и. 236 для устранения промежуточного узла первого типа, в которой входит только одна ветвь, составам систему уравнений хе= Ах,; ха= Схз; хз = Вхз! хз = СВхз и исключим из иее переменную х,: хз =- АВх,; х, =- АСхт; (4.39) хз = А7зхт. Системе уравнений (4.39) соответствует граф, не содержащий промежуточного узла х, (рис. 4.27, б). АналогичнылВ образом устраняется промежуточный узел, в который вкоднт несколько ветвей, а выходит только одна (рис. 4.27, г). ХЗ КВ х„ хт х хз хз ХЗ ХВ из хт А ч В а) х! Х! Аб Х„ б) ' е) Рис. 4.26.
Объединение последовательности однонаправленных ветвей Рис, 4.27, Устранение промежуточного узла, из которого исходит (а, б) н в который вкодит (в, г) несколько ветвей У с т р а н е н и е к о и т у р а. Сигнальному графу, изображенному на рис. 4.28, а, может быть поставлена в соответствие система уравнений хз = Ах + Схз,' хз = Вх,. Подставляя первое из этик уравнений во второе, получаем хз = АВх + ВСхз.
(4.40) Уравнению (4.40) соответствует преобразованный граф, приведенный на рис. 4.28, б. И с к л ю ч е н и е п е тл и. Исключение петли с передачей А, подключенной к какому-либо узлу сигнального графа, сопровожлается умножением передач ветвей, входящих в этот узел, иа (/(! — А). Действительно, для сигнального графа„приведенного иа рис. 4.29, а, можно составить систему уравнений хз = Ахз + Вхз + Схз; ХВ = ВХЗ. Приводя в первом из этих уравнений подобные члеяы н разрешая его относительно хз, получаем ха —— Ахг/(! — С) + Вхз/(! — С); ха = )ухз. (4.4!) а) ВС Хз АВФ бс) б) Рнс.
4,28. Устранение конту- ра 2 ф Рис. 4.29. Устранение петли Как видно из соответствующего системе уравнений (4,4!) сигнального графа (рис. 4.29, б), после устранения петли передачи ветвей, входящих в узел кз, оказались умноженными иа 1/(! — С), а передача ветви, выходящей из узла хз, осталась без изменения. Р Рис.
4.30. Инверсия ветви Применяя операцию устранения петли, преобразованный граф (см. рнс. 4.28, б) можно заменить одной ветвью (см. рис, 4.28, з). Инверсия (изменение направления) ветви. Рассмотрим некоторый граф (рис. 4.30, а), которому соответствует система урав- нений ха = Ахх + Вхз + Сха+ Вх~, 'кв = Еха. (4.42) 5 Х Х Х Хз С В Х» | ау) Рнс. 4.31. Расщепление узла а) Пусть необходимо изменить направление какой-либо ветви, напри.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
