ОТЦ Попов.В.П (554120), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Для доказательства теоремы введем в выделенную ветвь а — а' два вспомогательных независимых источника напряжения Е, и Е,, э. д. с. которых равны по значению, ио противоположны по направлению (рис. 4.16, а). Очевидно, что введение двух скомпенсироваиных источников э. д. с. не нарушает режима работы цепи, поэтому ток вет- еа! 1л! е, ег-е! Рис.
4.)6. Включение в непь двух скомпенсироввиных источников (а] н эквивалентные схемы дли определения !',,''(б] и !',-,''(в). Нд неввтанпмнмй, Ад — ввтонпмнмй Лвухпплюпннкн ви а — а' преобразованной цепи равен току 1 исходной цепи (см. рис. 4.15, а). Далее, используя принцип наложения, представим ток рассматриваемой ветви преобразованной цепи в виде суммы двух составляющих 1, = — 1ыу + 1,"', где Й" — частичный ток а-й ветви, создаваемый действием независимого источника напряжения Е„и всех независимых источников, входящих в состав автономного двухполюсни- ка АД, а 1„"' — частичный ток а-й ветви, вызываемый действием независимого источника напряжения Е, (рис.
4.16„б, а). Из эквивалентной схемы, изображенной на рис. 4.16, б; 1! 0 =(()(" — Ех)!Х„ (4.30) где (у!у! — напряжение на зажимах и — а' автономного двухполюсиика в режиме, когда отдаваемый им ток равен 1ы!. До сих пор не накладывалось никаких ограничений на э. д.
с. вспомогательных источников напряжения. Выберем теперь Е, =- Е, таким образом, чтобы 1(х! 1!' = О. Очевидна, что в этом случае напряжение иа внешних зажимах АД равно напряжению холостого хода автономного двухполюсника (1„, Используя выражение (4.30), найдем значение э. д. с. Е„при котором частичный ток а-й ветви 0" = Ол (4.31) Таким образом, если э. д. с. вспомогательных источников выбрать равными напряжению холостого хода автономного двухполюсника У„, та ток ветви 1, будет равен частичному току 1'*', создаваемому действием источника напряжения Е при выключении независимых источников, входящих в состав автономного двухполюсника, и выключении источника напряжения Е,. Используя эквивалентную схему для определения частичного тока 0"', находим 1,=1~'> =(),4л,„+х,) =е,„~Ы,„+л ), (4.32) 230 где Л„ — комплексное входное сопротивление исходного автономнога двухполюсника, равное комплексному входному сопротивлению приведенного на рис.
4.!6, в неавтономного двухполюсника НД. Как видно из выражения (4.32), ток а-й ветви исходной цепи (см. рис, 4.15, а) равен току некоторой цепи, содержащей помимо сопротивления Я, источник напряжения Е,„ = У', и комплексное сопротивление Г „ = Л„, (см. рис, 4,15, б). Итак, ток выделенной ветви 1, не изменился при замене автономного двухполюсника эквивалентным источником энергии, э. д. с. которого равна напряжению холостого хада автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление — его комплексному входному сопротивлению. Переходя от последовательной схемы замещения эквивалентного источника к параллельной, можно показать, что значение тока /,„ независимого источника тока (см.
рис. 4.15, а) равно току короткого замыкания автономного двухполюсника, а внутренняя проводимость У.,„ — его комплексной входной проводимости г'„ =- 1/Е„. Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти последовательную или параллельную схемы замещения любого сколь угодно сложного линейного активного двухполюсника, поэтому данную теорему часто называют т е о р е м о й о б а к т и в и о м д в у х п о л ю с н и к е.
Эта теорема позволяет существенно упростить анализ цепей, особенно в тех случаях, когда требуется определить ток или напряжение только одной ветви сложной цепи, содержащей большое количество управляемых и неуправляемых источников тока и напряжения. В связи с тем что параметры элементов последовательной и параллельной схем замещения активного двухполюсника легко поддаются измерениям, выполняемым на внешних зажимах, теорему об эквивалентном источнике применяют и для построения эквивалентных схем активных двухполюсников по результатам их экспериментального исследования. ° ФФФФ Пример 4.12. Используя гпгоргму об эквивалентном источнике, определим ток 1з цени, комплгксния схема зимгщгния которой приведена на рис.
4.г, а. Выделим иэ рассматриваемой цепи ветвь, содержащую сопротивление Яз, и представим остальную часть цепи, которую можно рассматривать как автономный двухполюсиик, последовательной схемой замги(гнил (рис. 4.17, а). Э.д.с. йг 4ц б б иг ми б 4 Рис. 4.17. К примеру 4.12 а) источника напряжения Ез„определяется как напряжение холостого хода на зажимах автономного двухпвлюгника, схема которого приведена на рис.
4.17, б: Е,„=()„=(г,Š— (7,Я,+7,(Л,+7,)) ))1(7,—, Яз). Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению неавтономного двухполюсника (рис. 4.!7, в): лзн= лз г лзлз1(7з лз). Наконец, используя преобразованную схему рассматриваемой цепи (рис' 4.!7, а), находим искомый ток — Езк [лзлз+'4(лз ' лз))1 7зЕ в '= Уз+4~ Ла4-г(Л +тз) (2~ т-тз) в 4.3. МЕТОД СНГНАЛЬИЫХ ГРАФОВ Общие представления о сигнальных графах ВЗ( Решение уравнения электрического равновесия сложных цепей даже н численной форме весьма трудоемко. Задача анализа цепи становится особенно сложной тогда, когда неизвестные токи и напряжения или комплексные частотные характеристики должны быть найдены в виде аналитических соотношений.
В этих случаях весьма полезяым может оказаться применение метода сигнальных графов, который позволнет упростить решение уравнений электрического равновесия линейных электрических цепей в аналитическом виде (снмвольной форме). Как известно, с и г н а л ь н ы й г р а ф, или направленный граф прохождения сигналов, представляет собой наглядное графическое изображение системы уравнений.
описывающей процессы и электрической цепи. у з л ы (не р ш н н ы) такого графа соответствуют входягцнм в зту систему неиавестп я ным величинам (токач н напряжениям ветвей, контурным токам, узл вым нао Ряжениям) н величинам, характеризующим внешние воздействия на цепь (то. кам независимых источников тока, з, д. с, независимых источников напряжения, ко»турным з. д.
с., узловым токаи). Ветви сигнального графа отображают прн. чинно следственные связи между величинами, соответствующими отдельным узлам. В рамках метода сигнальных ~рафов эти велмчннм назыааются с и г н а. л а и и. Каждой ветви сигнального графа приписывается определенное направление и присваивается весовой коэффициент, который называется п е р е д а ч е й в е т а и.
Узлы сигнального графа обозначают теми же буквами, что и соответствующие узлам величины; направления ветвей показывают стрелкани, около которых указывают передачу ветви. Если ветвь с передачей А направлена от узла х; к узлу хг (рис. 4.18, а), то хг - Ахп (4.33) следователыш, прн прохождении через ветвь сигнал умножается на передачу ветви. Разрешим уравнение (4,33) относительно хп хг — хр»А. (4.34) Сигнальный грзф, соответствующий этому уравнению (рнс.
4.18, б), будет отличатьси от сигнального графа, соответствующего уравнению (4.33), направлениемм и передачей ветви. Таким образом, вид сигнального гра(уа зависит от того, Х» А сг) 1/А 4 "' а) Рнс 4.19. Суммирование сигналов в узле сигнального графа Рис. 4.18. Сигнальные графы, соответствующие выражениям (4.33) (а) и (4.34) (б) относительно какой из величин разрешено заданное уравнение, т. е. от того, какая нз величин рассматривается как причина, а какая — как следствие. Если в узле ха сходится несколько ветвей (рис.
4.19, а), то значение сигнала в этом узле будет равно сумме сигналов всех входящих в него ветвей: М ха== ~~»', Ащ хм (4.35) г:= » где 1У вЂ” число ветвей, направленных к узлу хв1 Азг — передача ветви, направленной от узла хг к узлу хз. Ветви, направленные от узла хз, на сигнал в этом узле не влияют и при подсчете хз не учитываются. В число ветвей, направленных к рассматриваемому узлу, могут вхолить и ветви, начннающяеся в данном узле (рис.
4.19, б). Такие ветви называются п е т л я м и. Значение иеремеиной в узле, к которому подключена одна или несколько петель, находится по общему правилу (4.35), например (на рис. 4.19, б) х, = Асах» Р Авь хз .Р Ам х,. (4. 36) Из выражения (4.36) видно, что при наличии петель, подключенных к какому-либо узлу, переменнаи, соответствующая этому узлу, входит и в левую, н в правую часть уравнения (4.35). Рассмотрим некоторые понятия, относящиеся к сигнальным графам. И с т о к о м называется узел сигнального графа, от которого иаправленм все прнмыкаюпгие к нему ветви. Узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие к иену ветви, называетси с т о ко м. Узлы, которые имеют кнк входящие, гак н исходящие ветви, называются с м е ш а н н ы и н.
Например, в графе (рис. 4.18, а) узел х» — исток, узел хг — сток; в графе (рнс, 4.!9, б) узлы х, и хз — истоки, узел хз — сток, узел хг — смешанный. Если сигнал, соответствующий некоторому узлу сигнального графа, не выражается через сигналы других узлов, то такой узел является н е з а в и с ни ы м. Если сигнал, соответствующий какому-либо узлу, выражается через сигналы других узлов, то такой узел является з а в н с и и ы м. К независимым узлам относятся истоки, к зависимым — стоки и смешанные узлы Очевидно, что уравнения вида (4.35) могут быть составлены тольно для зависимых узлов.
° ЭФЭФ Пример 4. !3, В сигнальном грасре (рис, 4.20) узлы хе, хт — иснюхи, ужл хь — сток, узлы хм хэ, хз и хь относятся х смешанным. Для заеисимых уэлсе х,— хь можно состаеить систему уравнении х, = ах, + Ьх, + сха + с(хе., хз .= ехд + Гхз + йхт, х, = йх,; хь = Ьхз + тха -)- лхз; хь = рхе. П у т ь между узлами х; и х сигнального графа — это непрерывная последовательвость однонаправленных ветвей, связывающая узел х! с узлом х) и проходящая через каждый узел графа не более одного раза. Произведение передач ветвей, образующих путь между узлами х; и ху, называется п е р е д ач е й п у т и Р;!.
Так, между узлами хе и хэ сигнального графа (рис. 4.20) можно указать три пути с передачами Реете! =- г(ййр (ветви г(, 3, й н р), Разе> = = г(йтР и Рьзег =. с(еиР. Последовательность ветвей А с, т и Р не обРазУет пУти от вершины хе к вершине хз, так как направление ветви с не совпадает с направлением пути. 9 Замкнутый путь, который начинается н заканчивается в одном Хя узле, называется к о н т у р о и.
е Х, С Хз т Хц Р Очевидно, что петля есть частный вид контура, в который входит Ь одна ветвь. Произведение перех и дач всех ветвей, входящих в )-й хт контур, называется п е р е д а- г чей контура бр На рис. 4.20 можно выделить четыре Рис. 4 20. К п име у 4.(3 контура с передачами Е, =.- Ье (ветви Ь и е), Ез — — йс (ветви 3 и с), й, = и (петля а) и (.е =- !' (петля !).
Ветви Ь и т не образуют контура, так как они не представляют собой замкнутой последовательности однонаправленных ветвей. Такие ветви называются п а р а л л е л ь н ы м и. Два нонтура или контур и путь называются с о п р и к а с а ю щ и м и с я, если они имеют обпгие узлы. Если два нонтура или контур и путь не имеют общих узлов, то они являются несопринасающимися. На рисунке контуры с передачами Ее=ус н Е4 —— -!';(.з=а и Е,=г' являются несоприкасающимися, а контуры с передачамн г.т = Ье и Вз = йс; бз = Ье и (м — /, г.т = =Ье н Е, =-- а — соприкасающимися. Контур с передачей Е4 = ! не соприкасается с путями Рф и Рф, но соприкасается с путем Ргззз!. Как видно из примера 4.(3, каждому сигнальному графу можно однозначным образом поставить в соответствие систему линейных алгебраических уравнений, составленных относительно сигналов зависимых узлов.
Для решения обратной задачи — построения сигнального графа, соответствующего заданной системе ураввеннй, зта система уравнений должна быть приведена к причинно-следственной форме, т. е. каждое из входящих в систему уравнений должно быть разрешено относительно одной нз переменных (различных для каждого из уравнений). Далее, определяется общее число узлов графа Й. которое равно сумме числа неизвестных переменных и числа ненулевых сво- бодиых членов уравнений. Построение сигнального графа начинается с нанесения точек, соответствующих его узлам Затем узлы графа, всоогветствии с системой уравнений, приведенной к причинно-следственной форме, соединяются между собой ветвями так, чтобы сумма сигналов всех ветвей, сходящихся в каждом узле, равиявась бы значению сигнала этого узла, Хотя свойства сигнального графа не зависят от формы н длины ветвей, а также от взаимного расположения узлов графа на плоскости чертежа, с целью повышения наглядности рекомендуется истоки располагать в левой части чертежа, стоки — в правой, а остальные узлы — между ними.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
