Задачник по физике (механика) (550708), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Вес тела – это сила, сmgкоторой тело действует на связь (Землю).По третьему закону Ньютона, она равнаRсиле реакции опоры N , действующей состороны Земли на тело. Ее можноопределить через проекции N x , N y , на осикоординат.Рис. 5.7Для тела массы m запишем второйзакон Ньютона в проекциях на оси x и yxmg cos ϕ − N x = mω2 r ,N y − mg sin ϕ = 0 .Откуда получимN x = mg cos ϕ − mω2 R cos ϕ = m cos ϕ(g − ω2 R ) ,86N y = mg sin ϕ .В итоге вес тела на широте ϕ равенN = N x2 + N y2 = m 2 cos 2 ϕ(g − ω2 R ) + m 2 g 2 sin 2 ϕ =2= m cos 2 ϕ(g 2 − 2 gω2 R + ω4 R 2 ) + g 2 sin 2 ϕ .Задача 5.3. Доказать,что внутри однородногоrшарового слояg = 0.Решение. Точка А –произвольная точка внутришарового слоя (рис.5.8).Поведем из этой точки двамалыхконусасодинаковымителеснымиугламиΔΩ1 = ΔΩ 2 = ΔΩ ,которыевырезаютнаповерхности слоя ΔS1 и ΔS 2 .Массы элементов шаровогослоя внутри конусов Δm2 иrrΔm1 , r1 и r2 - радиусвекторы, проведенные източки А к центру масскаждого элемента Δm1 иΔm2 .
ПоэтомуРисrΔm rΔm rr rΔg = γ 2 1 r01 + γ 2 2 r02 , где r01 , r02 - орты.r1r2Масса элемента шарового слоя равна Δm = ρhΔS = ρh ΔS 0 cos α ,где ΔS0 - площадка, перпендикулярная оси конуса, ρ - плотность, h толщина слоя. Учитывая выражения для Δm1 , Δm2 , получимh ⎛ ΔS01 r ΔS02 r ⎞r⎜r01 + 2 r02 ⎟⎟ .Δg = γρcos α ⎜⎝ r12r2⎠Так как, по определению телесного угла,ΔS0 r 2 = ΔΩ , тоhΔΩ r rrrr(r01 + r02 ) .Δg = γρПоскольку r01 = − r02 как противоположныеcos α(rr01 + rr02 ) = 0, Δgr = 0 .орты и87rВнутри однородного шарового слоя g = 0 в любой точке.
Этоже следует из теоремы Гаусса для гравитационного поля.Задача 5.4. Найти зависимостьr r rg = g (r ) внутри однородного шара радиусаR.Решение.Выбравпроизвольнуюточку А внутри шара, проводим через нееконцентрическую сферу (рис.5.9). Поле вM′,точке А определяется массойзаключенной внутри сферы радиуса r, слойтолщиной h = R − r вне сферы радиуса rполе в точке А не создает. ОткудаРис.4 3 πr 3ρ rrrM′ r59r0 =g A = g = γ 2 r0 = γr2rrrr= 4 3 πργrr0 = 4 3 πργr = kr ,r r rт.е. ускорение свободного паденияg = g (r ) внутри шарапропорционально расстоянию до центра шара О и направлено порадиусу к центру шара.Задача5.5.Доказать, что внутрипроизвольной сферическойполости,сделаннойводнородномшареrg = const ,т.е.гравитационное полеоднородно.RРешение.Рассмотрим поле вточке А (рис.5.10).Если бы не былоРис.rrполости, то g1 = kr1 .5 10rrНаличие полости в объеме шара радиуса R меняет это поле на g 2 = kr2 .rПоэтому искомое поле определяется вектором напряженности g A ,равнымrrr rrrr rg A = g1 − g 2 = kr1 − kr2 = k (r1 − r2 ) = kd .rМодуль d - это расстояние между центром шара О и полостиrrО′ , d = const , поэтому g = const .88Задача 5.6.
Найти напряженность гравитационного поля,создаваемого двумя звездами массами m1 и m2 , расстояние междуцентрами которых l , в точкеArrА,расположеннойнаg1g2расстоянии r1 и r2 от первойrrαr1r2βm2ивторойзвезд m1rgсоответственно (рис.5.11).Решение. По принципуlсуперпозиции напряженностьРис.5.11гравитационного поля в точкеА есть векторная суммаrrнапряженностей g1 и g 2 , создаваемых каждой звездойrr rg A = g1 + g 2Из векторных треугольников по теореме косинусов получимg 2 = g12 + g 22 + 2 g1 g 2 cos α ,l 2 = r12 + r22 − 2r1r2 cos α .Исключив cos α , найдем g 2 = g12 + g 22 + 2 g1 g 2l 2 − r12 − r22.2r1r2Подставив значения g1 и g 2 , получим⎤⎡ m12 m22mmg = γ ⎢ 4 + 4 − 2 21 22 (l 2 − r12 − r22 )⎥ .r22r 1r 2⎦⎣ r1rОпределим направление вектораg (угол β ) по теореме22косинусов g 22 = g12 + g 2 + 2 g1 g cos β , откудаg 2 + g12 − g 22.cos β =2 g1 gПотенциал гравитационного поляалгебраической сумме потенциалов ϕ1 и ϕ2 .вАточкеравен⎛m m ⎞ϕ A = ϕ1 + ϕ2 = − γ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ .r2 ⎠⎝ r1xЗадача 5.7.
Двойная звезда– это система из двух звезд, m1движущихся вокруг их общегоцентра масс С (рис.5.12).Известны: расстояние lмежду компонентами двойнойзвезды и период ее обращения Tm2ClРис.5.1289вокруг точки С. Считая, что l не меняется, найти суммарную массусистемы.Решение. Обозначим массы компонент двойной звезды m1 и m2 .Положение центра масс С определяется соотношениемxmlm2= 2 , откуда x =.l − x m1m1 + m2Используя закон всемирного тяготения, запишем второй законНьютона для компонентов двойной звезды⎧ m1m24π 22γ=ω=mxmx,11⎪⎪ l 2T2⎨2⎪γ m1m2 = m ω2 (l − x ) = m 4π (l − x ) .22⎪⎩ l 2T24π2 (l − x )l 24π2 xl 2Откуда m1 =, m2 =.γT 2γT 2Искомая масса равна4 π 2l 3.m1 + m2 =γT 2Задача 5.8.
Найти вторую космическую скорость для Луны.Сопротивление среды не учитывать. Ускорение свободного падения наповерхности Луныg 0 Л = g 0 5,76 , где g 0 = 9,81м с 2 - ускорениесвободного падения на поверхности Земли. Радиус Луны RЛ = R0 3,75 ,где радиус Земли R0 = 6400 км .Решение. Вторая космическая скорость для Луны - это скорость,которую необходимо сообщить телу на поверхности планеты, чтобыоно могло преодолетьее поле тяготения и удалиться набесконечность, где потенциальная и кинетическая энергия тела будутравны нулю.Поскольку гравитационные силы консервативны, а полепотенциально, запишем закон сохранения энергии2mvIIЛmM ЛM−γ= 0 . Откуда vIIЛ = 2 γ Л .E K + U = 0 илиRЛ2RЛУчитывая соотношение γM Л = g 0 Л RЛ2 , получимvIIЛg 0 Л RЛ2= 2= 2 g 0 Л RЛ ≈ 2,4 ⋅ 103 м с .RЛ90Задача 5.9.
Найти работу по переносу тела массы m с однойпланеты на другую в отсутствии сил сопротивления. Массы M 1 , M 2 ирадиусыR1 ,R2m1m2планетизвестны,R2расстояниемеждуними велико (рис.5.13). R1Решение.lОчевидно,чтоA + Aсопр = ΔU .Рис.5.13Поусловиюзначит,Aсопр = 0 ,A = ΔU = m(ϕ1 − ϕ2 ) .Так как l >> R1 и l >> R2 , работа приближенно равна⎛M⎛M M ⎞M ⎞A ≈ − mγ ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ = γm⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ .R1 ⎠R2 ⎠⎝ R2⎝ R1Задача5.10.Определитьlaгравитационную силу, действующуюна материальную точку массы m соMстороны тонкого однородного стержняmмассы M длины l, если точкаxрасположена на оси стержня на dxрасстоянии a от его ближайшегоРис.5.14конца (рис.5.14).Решение. Обозначим линейную плотность массы стержняdM = τ dx ,τ = M l . Выделим элемент стержня длиной dx массойудаленный от m на расстояние x.
Тогда для двух материальных точекdM и m можно записать закон всемирного тяготения в видеmdMmτdxdF = γ 2 = γ 2 .xxСилу найдем, проинтегрировав это выражениеa +lF = γm τ ∫adx1 ⎞ γmM⎛ 1⎞ a +l⎛1.= γmτ⎜ − ⎟= γmτ⎜ −⎟=2x⎝ x⎠ a⎝ a a + l ⎠ a (a + l )Задача 5.11. Напряженность гравитационного поля планеты наее поверхности равна g . Определить потенциал гравитационного поляв точке, удаленной от поверхности на расстояние, равное радиусу R .91m на поверхности планеты массыmMM радиуса R действует сила F = γ 2 .RСила и потенциальная энергия связаны соотношениемF = −gradU = − dU dr .mM.Откуда потенциальная энергия U = − γRrНапряженность гравитационного поля на поверхности планетыr FMg 0= ; следовательно, g 0= γ 2 , g 0 = −gradϕ .mRMПотенциал поля ϕ равен ϕ = − γ .RЕсли точка А удалена на расстояние 2R от центра планеты, тоM.потенциал в этой точке равен ϕ = − γ2RgRТак как g 0 R = γM , окончательно получим ϕ A = − 0 .2Решение.На тело массы925.3.Задачи для самостоятельного решения5.12.
Чему равна сила F взаимного притяжения двух космическихкораблей массой m = 10 т каждый, если они сблизятся до расстоянияr = 100 м?5.13. Найти силу гравитационного взаимодействия F междудвумя протонами, находящимися на расстоянии r = 10-16 м друг отдруга. Масса протона m = 1,67 10-27 кг.5.14. На какой высоте на поверхностью Земли напряженностьполя тяготения равна 0,5 Н кг ? Определить потенциал поля тяготенияна той же высоте.5.15. Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей вцентре кольца.5.16.
Считая орбиту Земли круговой, определить линейнуюскорость v движения Земли вокруг Солнца.5.17. Найти выражение для напряженности поля и силыгравитационного взаимодействия между тонким однородным кольцомрадиусом R и массой М и материальной точкой массой m, лежащей навысоте h на перпендикуляре к плоскости, восстановленном из центракольца.5.18. Имеется тонкий однородный прямой стержень длиныl = 2a и массы М. На прямой, перпендикулярной к оси стержня,проходящей через его центр, на расстоянии b = 2a от центра находится1) Найти модуль силы F, с которой стерженьчастица массы m.действует на частицу.
2) Сравнить силу F с силой F', с которойвзаимодействовали бы материальные точки с массами M и m,находящиеся на расстоянии b = 2a друг от друга.5.19. Период обращения по круговой орбите спутника ЗемлиT = 3 ч. На какой высоте от поверхности Земли находится спутник?5.20. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить силу гравитационного взаимодействия между этим дискоми материальной точкой массой m, лежащей: 1) на оси диска нарасстоянии h от него; 2) в центре диска.5.21. Определить среднюю плотность Земли, если известна−1122гравитационная постоянная γ = 6,67 ⋅ 10 Н ⋅ м кг и радиус ЗемлиR = 6,4 ⋅ 103 км .5.22. Тонкий однородный диск радиусом R имеет массу M.Определить зависимость силы взаимодействия между этим диском иматериальной точкой массой m от ее расстояния h от плоскости диска внаправлении его оси симметрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
