Задачник по физике (механика) (550708), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти x иxсоотношение масс M и m, при котором шарикпередал стержню всю свою кинетическуюlэнергию.4.67. Горизонтальная платформа массойm1 = 120 кг вращается вокруг вертикальной оси,Bпроходящей через центр платформы, делая n1 =8 об/мин. Человек массой m2 = 60 кг стоит приРисэтом на краю платформы. С какой частотойначнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы вточку, расположенную от центра платформы на расстоянии половины еерадиуса? Считать платформу круглым однородным диском, а человека материальной точкой.4.68.
На горизонтальный диск, вращающийся вокруг своей оси сугловой скоростью ω1, падает другой диск, вращающийся вокруг той же осис угловой скоростью ω2. Моменты инерции дисков относительно указаннойоси равны J1 и J2. Удар абсолютно неупругий. На сколько изменитсякинетическая энергия системы после падения второго диска?4.69. Человек массой m1 стоит на краю горизонтального однородногодиска массы m2 и радиуса R, который может свободно вращаться вокругнеподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр. В некоторыймомент человек начал двигаться по краю диска, совершил перемещение наугол ϕ1 относительно диска и остановился. Пренебрегая размерами человека,найти угол, на который повернулся диск к моменту остановки человека.4.70.
Однородный стержень длиной l висит на горизонтальной оси,проходящей через один из его концов. Какую угловую скорость ω0 надосообщить стержню, чтобы он повернулся на 90 °?4.71. Частица массы M начинает двигаться соскоростью v0, составляющей угол α с горизонтом, погладкой внутренней поверхности вертикальногоθцилиндра радиуса R. Найти силу давления частицы настенку цилиндра.4.72. Цепочка массой m, образующаяокружность радиуса R, надета на гладкий круговойωконус с углом полураствора θ, вращающийся сРис.4.35ωвокругпостояннойугловойскоростьювертикальной оси (рис.4.35). Найти натяжение цепочки.805.Гравитационное поле5.1.Основные понятия и законыПо современным представлениям, в природе существует четыревидафундаментальныхвзаимодействий:гравитационное,электромагнитное, ядерное и слабое. Последние два из них предметизучения ядерной физики.
Большинство сил, с которыми оперируетмеханика относятся к нефундаментальным – сила упругости, силатрения.Важнымифундаментальнымисиламиявляютсягравитационные силы, выражение для которых дает закон всемирноготяготения: сила, с которой две материальные точки массамиm1 ипритягиваются друг к другу, прямо пропорциональны массамm2этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния междунимиrrrrrmmmm rF = γ 1 2 2 , F12 = γ 1 2 2 e12 , F21 = − F12 , F21 = F12 = F ,(5.1)rrrгдеγ = 6,67 ⋅ 10−11 м3 (кг ⋅ с 2 ) - гравитационная постоянная, e12 единичный вектор, направленный от первой точки ко второй (рис.5.1).rF12m1re12rrrF21m2РисГравитационноевзаимодействиеосуществляетсячерезгравитационное поле.
Тело массы M создает в пространстве вокругсебя гравитационное поле.Напряженностьюгравитационного поля называетсяrr Fg= ,(5.2)mrгде F - сила, действующая на точку массы m , помещенную вгравитационное поле, созданное телом массы M . Напряженность – этосила, действующая на единичную массу со стороны поля.Как всякое стационарное поле центральных сил, гравитационноеполеявляетсяпотенциальным,гравитационныесилы–консервативными. Напомним, что работа консервативных сил приперемещении по замкнутому контуру равна нулю. Например, придвижении спутника по орбите вокруг Земли работа гравитационныхсил равна нулю.Используя определение потенциальной энергии, данное втретьем разделе, получим выражение для потенциальной энергиигравитационного поля.81Работа консервативной гравитационной силы равна убылипотенциальной энергии dA = − dU .
Проинтегрировав это соотношениеполучим выражение для потенциальной энергииααU = − ∫ F (r )dr = − ∫ 2 dr = + C ,(5.3)rrгде α - постоянная, С - постоянная интегрирования. За ноль отсчетапотенциальной энергии можно принять любой уровень. Обычносчитают, что при r → ∞ U = 0 , следовательно, С = 0.rMm rПоскольку F = γ 2 er , т.е. α = − γMm , потенциальная энергияrчастицы массы m в гравитационном поле, созданном телом массы Mопределяется выражениемMmU = −γ.(5.4)rПотенциалом гравитационного поля называется величина, равнаяпотенциальной энергии частицы единичной массы в данной точке поляUϕ= .(5.5)mРабота, совершаемая силами гравитационного поля над частицеймассы m при перемещении ее из точки 1 поля в точку 2, равна убылипотенциальной энергии(5.6)A12 = −(U 2 − U1 ) = U1 − U 2 = m(ϕ1 − ϕ2 ) .Вслучаецентральноrg симметричного поля F = F (r )очевидно, чтопродифференцировав U или ϕ по r ,αdsSrr мы получим соответственноndsвыражения силы (5.1) инапряженности поля (5.2).Соотношения(5.1)-(5.6),записанные для материальныхточек массами M и m, будутсправедливы и для системы,состоящей из однородногоРис.
5.2шара массы M и частицы массыm, и для двух однородных шаров, если под r понимать расстояние междуих центрами.Рассмотрим в качестве примера гравитационное поле Земли,считая Землю однородным шаром массы M. В этом случаеrнапряженность g - это ускорение свободного падения вгравитационном поле Земли. Получим выражение для него.82rЭлементарным потоком вектора g сквозь поверхность dsназывается скалярное произведениеr rdΦ g = ( gds ) = gds cos α ,(5.7)rr rгде ds = ds ⋅ n , n - единичный вектор нормали к поверхности, α - уголr rмежду векторами g и n (рис.5.2).rПотоком вектора g сквозь произвольную поверхностьназываетсяr rΦ g = ∫ dΦ g = ∫ gds = g ⋅ 4πr 2 = 4πγM ′ .SSТеоремаГаусса:потокΦgвекторанапряжённостиrгравитационного поля g сквозь произвольную замкнутую поверхностьравен с множителем ( 4πγ ) суммарной массе M ′ , заключённой внутриэтой поверхности(5.8)Φ g = ∫ dΦ g = 4πγM ′SВыберем в качестве гауссовой поверхности поверхность сферырадиуса r (рис.5.3).Если r < R, r = R − h масса, заключенная внутри поверхности S,M ′ - это масса шараM4M ′ = ρ πr 3 = 3 r 3 ,(5.9)3R4где масса Земли M = ρ πR 3 , ρ - плотность Земли.3MИз соотношений (5.8), (5,9) получим g ⋅ 4πr 2 = 4πγ 3 r 3 , откудаRвнутри Земли (при r < R )γMγMg = 3 r = 3 (R − h ) .(5.10)RRРис.5.3Рис.
5.483Если при r > R, r = R + h (рис.5.4) также применить теоремуГаусса с учетом того, M = M ′ , получимr r(5.11)Φ g = ∫ dΦ g = ∫ gds = g ⋅ 4πr 2 = 4πγM .SSОткуда над поверхностью Земли (при r > R )γMγMg= 2 =.(5.12)r(R + h )2Из формул (5.10),(5,12) при r = R, h = 0 следует, что ускорениесвободного падения на поверхности ЗемлиγMg0 = 2 .(5.13)RПервая космическая скорость vI – это скорость, которую нужносообщить телу массы m, чтобы оно двигалось вокруг Земли покруговой орбите радиуса R (h ≈ 0 ) .Запишем второй закон Ньютона, учитывая, что сила тяготениясообщает телу центростремительное ускорениеmvI2 γMm(5.14)= 2 .RRОткуда получимvI = γM R = g 0 R ≈ 7,9 км с .(5.15)Вторая космическая скорость vII - это скорость, которуюнеобходимо сообщить телу массы m на поверхности Земли, чтобы онопокинуло пределы поля тяготения Земли, т.е. удалилось на расстояниеот центра Земли r = ∞ .Запишем закон сохранения механической энергии E1 = E2применительно к этому случаю.
На поверхности Земли полнаямеханическая энергияmv 2 γmM.(5.16)E1 = EK 1 + U1 = II −R2На расстоянии r = ∞(5.17)E2 = E K 2 + U 2 = 0 + 0 = 0 .СледовательноmvII2 γmM−=0 .R2Откуда получимvII = 2γM R = 2 g 0 R ≈ 11км с(5.18)(5.19)Если массы взаимодействующих тел соизмеримы, например двезвезды (два однородных шара), то они будут двигаться под действиемсил тяготения вокруг из общего центра масс точки С, который84находится на прямой, соединяющей их центры, но не совпадает сцентром ни одной из них.
Такая задача о движении двухвзаимодействующих частиц называется задачей двух тел. Ее решениесводится к рассмотрению движения воображаемой частицы, массакоторой называется приведенной массой частицmmμ= 1 2 ,(5.20)m1 + m2в центральном силовомполеr rμa = F .(5.21)rВ рассматриваемом случае под F понимается сила тяготения(5.1).Поскольку масса Земли M >> m , центр масс С системы двух телM и m совпадает с центром Земли. Следовательно, тело массы m,являющееся спутником Земли, будет двигаться вокруг нее по круговойорбите .Если высота орбиты h (см.рис.5.4), в соответствии со вторымзаконом Ньютона для спутника на орбите получимmv 2γMm=,(5.22)(R + h ) (R + h )2откуда скорость спутника на круговой орбите высоты h равнаv = γM (R + h ) .Аналогично, если считать массу Земли значительно меньшеймассы Солнца, Земля как спутник движется вокруг Солнца по круговойорбите, центром которой является их общий центр масс С – центрСолнца.В общем случае движение планет в поле тяготения Солнцаописывается законами Кеплера:1.Планетыдвижутсяпоэллипсам, в одном из фокусов которыхнаходится Солнце.→v→rb2.Радиус-вектор планеты заαF2равные промежутки времениF1описывает равные площади.a3.Квадратыпериодовобращения двух планет относятсякак кубы больших полуосей ихr2r1T12 a13орбит (рис.5.5) 2 = 3 .T2 a2Рис.5.5Законы Кеплера справедливы также для движения спутниковвокруг планет.855.2.Примеры решения задачЗадача 5.1.
Спутник, движущийся в плоскости экватора, покруговой орбите в сторону вращения Земли будет оставатьсянеподвижным относительно поверхности Земли, если периодобращения спутника Tωравен 24 часам. Найтирадиус R орбиты такогоRстационарного спутникаrMv(рис.5.6). Радиус ЗемлиR0 = 6400 км .mРешение.R0Сила тяготения,действующаянаспутник,равнапроизведению его массыРис. 5.6нанормальное(центростремительное) ускорениеmM2πF = man , an = ω2 R, T =, следовательно, γ 2 = mω2 R .ωRПодставив в это уравнение известное соотношение γM З = g 0 R02 ,g 0 R02T 2g 0 R02 4π23= 42370км .получим= 2 R . Откуда R =4π 2R2TNyyωЗадача 5.2. Найти зависимость весатела массы m от географической широты ϕϕN x (рис.5.7).rrРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
