Задачник по физике (механика) (550708), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Период обращения вокруг Землипервого спутника в начале его движения был Т1 = 96,3 мин. Найтибольшую полуось R2 орбиты второго искусственного спутника Земли ипериод T2 его обращения вокруг Земли.5.69. Период обращения одного из спутников Юпитера Т1 = 2года, его среднее расстояние от планеты r1 = 23,5 млн.
км. Периодобращения Юпитера вокруг Солнца Т2 = 12 лет, его среднее расстояниеот Солнца r2 = 7 млн. км. Определить отношение массы Солнца M С кмассе Юпитера M Ю .45.70.МинимальноеудалениеотповерхностиЗемли97космического корабля "Восток-2" составляло hmin = 183 км, амаксимальное удаление - hmax = 244 км. Найти период обращениякорабля вокруг Земли.5.71.
Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусуЗемли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 = 10км/c? Сопротивление воздуха не учитывать.5.72. Космический корабльвывели на круговую орбиту вблизи поверхности Земли. Какуюдополнительную скорость в направлении его движения необходимократковременно сообщить кораблю, чтобы он мог преодолеть земноетяготение?5.73. Ракета запущена с Земли с начальной скоростью v0 =15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, еслирасстояние ракеты от Земли будет бесконечно возрастать?Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кромеЗемли, не учитывать.5.74.
С какой линейной скоростью v будет двигатьсяискусственный спутник Земли по круговой орбите: а) у поверхностиЗемли; б) на высоте h = 200 км и h = 7000 км от поверхности Земли?Найти период обращения Т спутника Земли при этих условиях.5.75. Найти центростремительное ускорение an, с которымдвижется по круговой орбите искусственный спутник Земли,находящийся на высоте h = 200 км от поверхности Земли.5.76. Радиус Луны R1 = 0,27R2 радиуса Земли. Средняя плотностьρ1 = 0,61ρ2 - средней плотности Земли. Зная ускорение свободногопадения на поверхности Земли, определить по этим данным ускорениеg 1 свободного падения на поверхности Луны.5.77.
Период обращения искусственного спутника ЗемлиT = 2 часа . Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высотеh над поверхностью Земли движется спутник.986.Колебания6.1.Основные понятия и законыДвижение называется периодическим, еслиx(t ) = x(t + T ) , где T - период.(6.1)Колебание–это хпериодическое движение околоположения равновесия. На рис.6.1 вкачествепримераизображеныпериодическиенегармоническиеколебанияоколоположения 0равновесия x0 = 0.tПериод T – это время, заTкоторое совершается одно полноеколебание.Рис.6.1Частота – число полныхколебаний в единицу времени1ν= .(6.2)TКруговая (циклическая) частота2πω = 2πν =.(6.3)TГармоническими называются колебания, при которых смещениеточкиот положения равновесия в зависимости от времениизменяется по закону синуса или косинуса(6.4)x = A sin (ω0t + α ) ,где A - амплитуда колебаний (максимальное смещение точки отположения равновесия), ω0 - круговая частота гармоническихколебаний, ω0t + α - фаза, α - начальная фаза (при t = 0).Система, совершающая гармонические колебания, называетсяклассическим гармоническим осциллятором или колебательнойсистемой.Скоростьи ускорениепри гармонических колебанияхизменяются по законамdxv== x& = Aω0 cos(ω0t + α ) ,(6.5)dtd 2xa = 2 = &x& = − Aω02 sin (ω0t + α ) .(6.6)dtИз соотношений (6.6) и (6.4) получимa = −ω02 x ,(6.7)99откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямопропорционально смещению точки от положения равновесия инаправлено противоположно смещению.Из уравнений (6,6), (6,7) получим&x& + ω02 x = 0 .(6.8)Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнениемгармонических колебаний, а (6.4)r является его решением.
Подставивr(6.7) во второй закон Ньютона F = ma , получим силу, под действиемкоторой происходят гармонические колебанияF = −mω02 x .(6.9)Обозначим mω02 = k .(6.10)Из (6.9), (6.10) получимrrF = −kx .(6.11)Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки отположения равновесия и направленная противоположно смещению,называется возвращающей силой, k называется коэффициентомвозвращающей силы. Таким свойством обладает сила упругости.
Силыдругой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11),называются квазиупругими.Колебания, происходящие под действием сил, обладающихсобственными(свободнымисвойством(6.11),называютсягармоническими) колебаниями.Из соотношений (6.3),(6.10) получим круговую частоту и периодэтих колебанийω0 =km; T0 = 2π.mk(6.12)При гармонических колебаниях по закону (6.4) зависимостикинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид2mv 2 mA2ω0EK ==cos2 (ω0t + α ) ,22(6.13)2kx 2 mA2ω0U==sin 2 (ω0t + α ) .22(6.14)100Полнаясохраняетсяэнергиявпроцессегармоническихколебаний(6.15)EK + U = const .Подставляя в (6.15) выражения (6.4) и (6.5) для x и v, получимmA2ω02.(6.16)E = EK max = U max =2Примером классического гармоническогоосциллятора является легкая пружина, к которой(рис.6.2). Коэффициентподвешен груз массой mвозвращающей силы k называется коэффициентомжесткости пружины.
Из второго закона НьютонаxF = – kx получимдля груза на пружинеуравнение,совпадающеепоформесдифференциальным уравнением гармонических mxколебаний (6.8) Следовательно, груз на пружинепри отсутствии сил сопротивления среды будетсовершать гармонические колебания (6.4).Рис.6.2Гармонические колебания (6.4) можнопредставить в виде проекции на оси координат вектора, величинакоторого равна амплитуде A, вращающегося вокруг начала координат сугловой скоростью ω 0 . На этом представлении основан методвекторных диаграмм сложения гармонических колебаний содинаковой частотой, происходящих по одной осиx1 = A1 sin (ωt + ϕ1 ) ,(6.17)x2 = A2 sin (ωt + ϕ2 ) .Амплитуда результирующего колебания определяется потеореме косинусовA = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) .(6.18)Начальная фаза результирующего колебания ϕ может бытьнайдена из формулыA sin ϕ1 + A2 sin ϕ2.(6.19)tg ϕ = 1A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2При сложении однонаправленных колебаний с близкимичастотами ω1 и ω2 возникают биения, частота которых равна ω1 − ω2 .Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимноперпендикулярных колебанияхx = A1 sin (ωt + ϕ1 ) ,(6.20)y = A2 sin (ωt + ϕ2 )имеет вид101x2 y 2xy+−2cos(ϕ1 −ϕ2 ) = sin 2 (ϕ2 − ϕ1 ) .(6.21)22A1 A2A1 A2Если начальные фазы ϕ1 = ϕ2 , то уравнение траектории – прямаяAAy = 2 x , или y = − 2 x .A1A1Если разность фаз Δϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,x2 y2точка движется по эллипсу 2 + 2 = 1 .A1 A2dOФизический маятник – это твердое тело,способное совершать колебания вокругзакрепленной оси, проходящей через точку Оϕ,не совпадающую с его центром масс СC(рис.6.3).
Колебания являются гармоническимипри малых углах отклонения.Момент силы тяжести относительно оси,rпроходящей через точку О, являетсяmgвозвращающим моментом и выражаетсясоотношениемrrРис.6.3M = mgd sin ϕ ≈ mgdϕ .(6.22)Основное уравнение динамики вращательного движения имеетвид (см. формулу (4.18))M = I ⋅ε ,(6.23)где I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей черезточку О, ε - угловое ускорение.Из (6.23), (6.22) получим дифференциальное уравнениегармонических колебаний физического маятникаd 2ϕ mgd+ϕ= 0.(6.24)dt 2I(6.25)Его решения ϕ = ϕ0 sin ω0t ,mgd.IИз (6.3) получим формулу периода колебаний физическогомаятникаIT0 = 2π.(6.26)mgdМатематический маятник – материальная точка, подвешеннаяна невесомой нерастяжимой нити длиной L.
Из (6.26) полагая d = l,I = ml 2 , получим формулу периода колебаний математическогомаятникаlT = 2π.(6.27)gгде ω0 =102Тело, подвешенное на легкой упругой проволоке (рис.6.4) ,совершает крутильные колебания вокруг оси, совпадающей спроволокой. При повороте на малый угол в проволоке возникаетвозвращающий момент упругих силM = −c ⋅ ϕ .(6.28)Коэффициентвозвращающегомоментаϕзависит от материала проволоки и ее размеровMπG r 4,(6.29)⋅c=ϕ2 Lгде G - модуль сдвига, характеризующий упругиесвойства материала, r - радиус проволоки, L - еедлина.Рис.6.4Основное уравнение динамики вращательногодвижения имеетвидr& r&Iϕ = M .(6.30)Из (6.28), (6.30) получимдифференциальное уравнениегармонических крутильных колебанийd 2ϕ c+ ϕ = 0.(6.31)dt 2 I(6.32)Его решение имеет вид ϕ = ϕ0 sin (ω0t + α ) ,где ϕ - угловое смещение от положения равновесия, ϕ0 – амплитудаколебаний.Сравнив уравнения (6.8) и (6.32), получим значения угловойчастоты и периода крутильных колебанийcω0 =,(6.33)IIT = 2π .(6.34)cСвободные колебания становятся затухающими из-за наличиясил сопротивления.
Например, когда материальная точка колеблется ввязкой среде, при малыхскоростяхrr на нее действует силаrсопротивления среды Fсопр = −rv = −rx& , где r - коэффициентсопротивления среды. Поэтому из второго закона Ньютонаm&x& = − kx − rx&получим дифференциальное уравнение затухающих колебанийrk&x& + x& + x = 0 .(6.35)mm2k ⎛ r ⎞Его решение для случая, когда>⎜⎟ , имеет видm ⎝ 2m ⎠x = A0e −βt sin (ωt + α ) ,(6.36)103гдеA0e −βt - амплитуда собственных затухающих колебаний, β коэффициент затухания, ωугловая частота затухающихколебаний, α - начальная фаза.2k ⎛ r ⎞<⎜Для случая⎟ система совершает апериодическоеm ⎝ 2m ⎠движение к положению равновесия.Коэффициент затухания β- величина обратная времени, закоторое амплитуда убывает в e разrβ=.(6.37)2mхКруговаячастотазатухающих колебанийω = ω02 − β2 .(6.38)− βtA0eПериодзатухающихколебанийA1A22π2π0T==.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
