lr4 (543709), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть m_k = M^k - момент порядка k. Моменты являются функциями параметра a: m_k= f_k(a₁, ..., a_R). Пусть существуют первые R моментов m₁, ..., m_R. Если бы моменты были известны, можно было бы составить систему уравнений для определения параметров по моментам:

m₁ = f₁(a₁,...,a_R),

. . .

m_R = f_R(a₁,...,a_R );

пусть эта система разрешима относительно a:

a₁ = g₁(m₁,...,m_R),

. . . (1)

a_R = g_R(m₁,...,m_R ).

когда решается задача оценивания, значения моментов неизвестны, однако, для моментов имеются несмещенные и состоятельные оценки

, k =1,...,R.

Подставив их в (1) вместо m_k, получим некоторые оценки для a_j:

(x₁ ,... x_n) = g₁ ( ₁ ,..., _R ),

. . .

( x₁ ,... x_n) = g_R ( ₁ ,..., _R ),

которые называют моментными оценками.

Несмещенностью они, вообще говоря, не обладают; обычно их исправляют. Справедливы следующие свойства.

1. Если функции g_j (), j = 1 ,..., R, непрерывны, то оценки состоятельны.

2. Если функции g_j() дифференцируемы, а распределение при любом a имеет 2R моментов, то оценки асимптотически нормальны:

 N (a_j, .

Замечания.

1. В равенствах (1) вместо первых моментов можно взять любые R моментов так, чтобы система была разрешима.

2. Моментные оценки не всегда обладают хорошими характеристиками. Однако, часто они достаточно просты в вычислительном отношении.

Метод наибольшего правдоподобия

1. Определения. Пусть имеется некоторая совокупность x  (x₁ ,..., x_n) наблюдений. Рассмотрим вероятность (или плотность) p(x/a) получить это x при различных a  (a₁ ,..., a_R). в качестве оценки возьмем то значение а, для которого вероятность p(x/a) максимальна; такой способ оценивания называется методом наибольшего (максимального) правдоподобия.

Функция p(x/a), понимаемая как функция от а, называется функцией правдоподобия. Значение а, доставляющее максимум функции правдоподобия, называется оценкой наибольшего (максимального) правдоподобия:

p(x/a) = p (x/a). (2)

Заметим, что а есть функция наблюдений х: а = а (х). При обычных условиях регулярности максимум находится из системы уравнений

i = 1, ..., R. (3)

Пример. Пусть х  (х₁, ..., x_n) - независимые наблюдения над случайной величиной, нормально распределенной с параметрами b и ² (роль двумерного параметра а в определении играет пара b и ² ). Плотность распределения выборки

p(x/ b,  ²)  p(x₁, ..., x_n /b,  ²) = . (3)

Поскольку значения х₁ ,..., x_n известны, величина p(x₁, ..., x_n/b,²) является функцией от b и ². система (3):

Решение этой системы, т.е. оценки наибольшего правдоподобия:

1. Свойства оценок наибольшего правдоподобия.

Пусть  - случайная величина с законом распределения q( /a), x(x₁,..x_n)- n независимых наблюдений, p(x₁, ..., x_n /a) = - распределение выборки.

При некоторых достаточно широких условиях оценки наибольшего правдоподобия обладают хорошими свойствами, а именно, они состоятельны, асимптотически эффективны и асимптотически нормальны с параметрами (для одномерного случая)

Mа = а, Dа ={n }^-1

условия таковы: а) независимость множества X = x: q(x/a) = 0 от а; б) существование производных и ; в) существование . Доказательство можно найти, например, в 2.

Метод порядковых статистик

Пусть x₁, ..., x_n - n независимых наблюдений над случайная величиной  с функцией распределения, зависящей от параметра a, значение которого тебуется оценить; x₍₁₎ x₍₂₎ ...  x_(n) - вариационный ряд (наблюдения, упорядоченные по возрастанию), x_(k) - порядковая статистика с номером k.

Квантиль x_р выбранного уровня р (например, р = 0.5, x_0.5 -медиана) является функцией параметра а:

x_р = f(a),

выразим а через x_р

а = g(x_р)

и вместо x_р подставим выборочную квантиль = x_([np]+1), которой является порядковая статистика с номером [np] +1; получим оценку

= g(x_([np]+1))

Известны следующие свойства.

Если функция g непрерывна, то оценка состоятельна. Если распределение наблюдений непрерывно с плотностью q(x) , то асимптотически нормальна с параметрами

M = x_р, D =

(теорема Крамера).

Ясно, что таким же образом можно построить оценки и для неодномерного параметра. Основное и очень важное преимущество оценок, основанных на порядковых статистиках, - их устойчивость к засорению наблюдений.

приложение 2. операторы пакета STATGRAPHICS

Здесь описываются операторы, использованные в работах.

N TAKE x –Выбирает заданное число значений с начала (N - поло жительно) или конца (N - отрицательно) массива х.

2 TAKE 1 2 3 4 дает 1 2

–2 TAKE 1 2 3 4 дает 3 4

m n RESHAPE x – Преобразует массив х в матрицу из m строк и n столбцов. Если требуется больше значений, чем в массиве х, значения повторяются циклически; если меньше – значения в конце массива опускаются.

2 3 RESHAPE COUNT 4 дает

1 2 3

4 1 2

n RESHAPE x – Расширяет циклически x до размера n.

7 RESHAPE 1 2 3

дает 1 2 3 1 2 3 1

n REP x – Делает n копий каждого элемента в массиве x.

2 REP 3 4 5 дает 3 3 4 4 5 5

2 3 4 REP 3 4 5 дает 3 3 4 4 4 5 5 5 5.

COUNT n – Создает вектор с целыми числами от 1 до n.

SUM x – Суммирует элементы массива. Если массив - матрица, ре-

зультат есть вектор сумм элементов столбцов.

MIN x – Выбирает минимальное (максимальное) значение в массиве.

MAX x  Если х – матрица, результат есть вектор минимумов

(максимумов) элементов столбцов.

TAN x – Определяет тангенсы элементов массива х. Этот оператор относится к числу загружаемых. Перед использованием необходимо выполнить загрузку процедурой V. 1. Load Operators and Functions, опциями Mathematical functions и Read (после использования рекомендуется выгрузить (чтобы освободить память) опцией Erase).

SORTUP x – располагает в порядке возрастания элементы массива x; если x-матрица, - сортирует все столбцы. Этот оператор, как и предыдущий, относится к числу загружаемых.

заключение

использование пакетов существенно улучшает процесс изучения основ математической статистики, ускоряя его и вызывая интерес у студентов. Это показал двухлетний опыт применения в МЭИ на АВТФ. Данное учебное пособие является началом работы в этом направлении.

Авторам приятно отметить,что изобретателем и вдохновмтелем этого пособия является Наталья Александровна Сливина, зажигательный и неповторимый энтузиаст применения компьютеров и пакетов в преподавании математики. Хотелось бы также отметить участие в деле освоения пакетов студентов АВТФ - прекрасных программистов Евгения Голода, Дмитрия Горбунова, Петра Комарова.

Литература

1. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: Наука, 1982. 256 с.

2. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука, 1968. 548 с.

3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983. 416 с.

4. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Анализ данных на компьютере. М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995. 384 с.

5. Краткое описание пакета STATGRAPHICS. / Э.А. Вуколов, В.В.Лесин, Ю.П. Лисовец др. М.: МГИЭТ. вып. 1, 2. 1993.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы