lr4 (543709), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, _n  ,

t_p- квантиль порядка (1+ Р_Д)/2 для N(0,1).

2. Выполнение в пакете STATGRAPHICS

Уровень доверия

а) Сгенерируем массив z размером kn=5010=500 наблюдений, распределенных нормально с параметрами а=10, ² = 2² = 4 (процедурой H.5. Random Number Generation) и образуем k=50 выборок объема n=10 т.е. матрицу х размерности 10 х 50: процедура A.2. File Operation, операция J.Update, оператором

10 50 RESHAPE z

б) Оценим средние (массив xs длиной k=50) по (1) процедурой A.2, операция J, оператором

SUM x/10

в) Определим квантили f_p порядков (1+ Р_Д)/2 (0.95 , 0.995 , 0.9995) нормального распределения N(0,1):

H.4. Critical Values (критические значения) - (Dist. Number: 14 (Normal)) - F6 - (mean: 0, std. deviation: 1) - F6 - (Area at or below: 0.95) - F6.

г) Определим массив a1 длины k = 50 левых концов интервалов по (5): процедура A.2 , операция J, оператор

xs - f_p * / SQRT ( n )

д) Аналогично определим массив а2 правых концов интервалов.

е) Результаты k = 50 испытаний доверительных интервалов проанализируем по графику, полученному с помощью процедуры E.2. Multiple X-Y Plots, задав

X: COUNT 50

Y: a1

Y: a2

Y: 50 REP 10

Последняя строка потребовалась для изображения истинного значения а=10.

Определим, сколько раз из k=50 доверительный интервал оказался неверным. Это сделаем для трех значений Р_Д (соответственно f_p).

Графики для Р_Д =0.9 и Р_Д =0.99 распечатаем.

Задание. Провести аналогично k =50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.

Интервалы для параметров нормального распределения

Сгенерируем выборку из 20 наблюдений над нормальной случайной величиной со средним а = 10 и дисперсией ² = 4 и определим доверительные интервалы для а и  с уровнем доверия Р_Д : 0,8, 0,9, 0,95, 0,98, 0,99. Выполняется в процедурном блоке G. Estimation and Testing процедурой 1. One-Sample Analysis Результаты выпишем в виде таблицы. C ростом Р_Д интервал расширяется, с ростом n - уменьшается.

3. Выполнение в пакете STATISTICA

Уровень доверия

Работаем в модуле Basic Statistics and Tables.

а) Генерируем k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия ² = 4.

Создадим таблицу с 50 строками (выборками) и 10 (объем выборки) столбцами:

File - New Data - File Name: Doverit (например)- ОК.

Создана таблица 10v  50c; добавим 40 строк после 10-й:

Кнопка Vars (или Edit - Cases) - Add - Number of Cases to Add: 40, insert after Case: 10 - OK.

Сгенерируем наблюдения:

Vars - All Specs - в появившейся таблице Variables Doverit.sta в 4-м столбце Long name выделим 1-ю клетку и запишем в ней

= Vnormal (Rnd (1); 10, 2)

и перенесем эту запись в строки со 2-й по 10-ю:

Edit - Copy (или кнопка Copy) (копирование в буфер),

затем выделим следующую клетку и

Edit - Paste (или кнопка Paste).

Закроем окно. Выполним назначения:

Edit - Variables - Recalculate...(или кнопка Х = ?).

б) Оценим средние:

Edit - Block Stats/Rows - Means.

Образован 11-й столбец MEAN. Присвоим ему имя xs:

выделим столбец MEAN - Vars - Current Specs...-Name: xs - OK.

в) Определим квантили f_p порядков (1 + Р_Д)/2 (0.95, 0.995, 0.9995) нормального N (0, 1) распределения:

Analisis-Probability Calculator - в окне устанавливаем Distribution Z (Normal), выделим Inverse, p: 0.95 - Compute; результат в поле Z: 1.645.

Аналогично определим f_p для остальных вероятностей (2.57 и 3.29).

г) Определим по (5) столбцы а1 и а2 левых и правых концов доверительных интервалов.

Выделим заголовок столбца xs - Vars - Add - Number...: 2, after: xs - OK - выделим новый столбец - Vars - Current Specs - Name: A1 (левые концы), Long name:

= xs - 1,65  2 / Sgrt(10)

После ОК получаем столбец левых концов. Аналогично получаем столбец а2 правых концов.

д) Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически:

выделим столбец а1 и а2 - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - OK (соглашаемся с предложениями).

Видим график (рис.1), по которому определяем число экспериментов (6 из k = 50), в которых интервал не содержит истинного значения параметра. Можем определить координаты любой точки на рисунке, поставив на нее стрелку: координаты в верхнем левом углу. Распечатаем график.

е) повторим пп. г) и д) для двух других значений доверительной вероятности.

Задание: Провести аналогично k = 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии (рис.2 для Р_Д = 0.9; 5 ошибок).

Рис. 1.

Рис .2.

Интервалы для среднего нормальной совокупности

Сгенерируем выборку (столбец) из 20 наблюдений над нормальной случайной величиной со средним а = 10 и дисперсией ² = 4 и определим доверительные интервалы для а с уровнем доверия Р_Д : 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.999. Выполняется командой

Analisis - Descriptive staistics - в поле Statistics выбрать Conf. Limits for means и указывать значение Alpha error: 80 (90, 95 т.д.).

4. Выполнение в пакете SPSS

Уровень доверия

а) Генерация k = 50 выборок по n = 10 наблюдений, нормально распределенных с параметрами: среднее а = 10, дисперсия  ² = 4.

Выборки поместим в таблицу с 50 строками (выборками) и 10 (объем выборки) столбцами (при таком размещении сокращается работа по генерации наблюдений). В первом столбце таблицы выделяем клетку в 50-й строке и вводим точку. 50 строк создано.

Переименуем 1-й столбец:

Data - Define Variable - Name: x 01 - OK

Сгенерируем наблюдения:

Transform - Compute - Target Variable (целевая переменная): x 01, Numeric Expression (числовое выражение):

NORMAL (2) + 10

это выражение вводим кнопками окна - ОК.- Change? - OK.

В первом столбце наблюдения получены. Повторяем, начиная с Transform, заменив х 01 на х 02; и так 9 раз (5 нажатий на 1 столбец). Матрица наблюдений получена.

б) Оценка средних.

В пакете статистики определяются по столбцам (переменным), поэтому выборки-строки преобразуем транспонированием в выборки-столбцы:

Data - Transpose...- все имена переменных переносим в правый список Variables (выделяем все, нажимаем кнопку-стрелку) - ОК.

Теперь имеется 50 столбцов - выборок по 10 строк - наблюдений. Первый столбец case - lbl можно удалить:

выделим его - Edit - Clear (или клавиша Delete).

Определим среднее по выборкам:

Statistics - Summarize - Descriptives...- перенесем имена всех столбцов в правый список, отметим Display labels (имена показывать) - Options...- отметим только Mean; îòìåòèì Display Order: Name (показывать по порядку) - Continue - OK.

В окне Output получаем столбец Mean результатов. Если в столбце есть пропуски или текст, удаляем лишние строки, чтобы столбец результатов состоял из 50 строк с числами.

Сохраним столбец результатов в буфере операцией Copy. Снова транспонируем матрицу (чтобы в дальнейшем не было пустых блоков). Получили 10 числовых столбцов и 50 строк (выборок).

Выделяем 1-й справа свободный столбец и с помощью Edit - Paste помещаем в него столбец средних. Присвоим ему имя as:

выделим его - Data - Define Variable - Name: as

в) Определение столбцов а1 и а2 левых и правых концов доверительных интервалов.

Пусть Р_Д = 0.9, квантиль порядка (1 + Р_Д )/2 = 0.95 есть f_Р = 1.645. Вычислим левые концы:

Transform - Compute - Target Variable: a1, Numeric Expression (по (5), учитывая, что  = 2): as – 1.645  2/ SQRT(10).

Аналогично вычислим левые концы а2.

г) Результаты k = 50 испытаний доверительного интервала представим графически, предварительно образовав столбец а с истинным значением 10 параметра; затем:

Graphs - Line...- Multiple (несколько графиков), Values of individual cases - Define - Line Represent (представить линии): а, а1, а2 - ОК.

Наблюдаем график, из которого видно, сколько интервалов из 50 не содержат истинное значение. Записываем его; оно должно находиться приближенно в пределах 5  2  5  4. График распечатаем или сохраним: File - Save As...

д) Пусть Р_Д = 0.99; тогда f_Р  2.57; если Р_Д = 0.999, то f_Р  3.29. Повторим пп. в) и г) для этих значений Р_Д . Убеждаемся, что с ростом Р_Д число ошибок уменьшается, но ширина интервала увеличивается (чем надежнее гарантия, тем меньше она гарантирует).

Задание: провести аналогично k = 50 испытаний доверительного интервала (7) - (9) для случая неизвестной дисперсии.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Методы построения оценок

Метод моментов

Пусть x₁, ..., x_n - n независимых наблюдений над случайная величиной  с функцией распределения F (x/a), зависящей от параметра a  (a₁, ..., a_R), nR; значение параметра требуется оценить по наблюдениям.

Характеристики

Список файлов лабораторной работы