Теория вероятности (543705), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

10 В компьютерном классе института 7 IBM типа Pentium и 5 компьютеров других модификаций. Вероятность сбоя в работе в течение учебного занятия для Pentium равна 0.9, для других компьютеров - 0.7. Студент на занятии работает за произвольно выбранным компьютером. 1) Найти вероятность того, что в течение занятия его компьютер не “зависнет”. 2) На занятии компьютер дал сбой в работе, найти вероятность того, что студент работал на Pentiumе.

11)Найти вероятность того, что к первой наудачу извлеченной кости домино можно приставить и вторую.

12)В ящик, содержащий три одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находившихся в ящике.

13)Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 – на «Азоте», 8 – на «Кванте», 7 – на «Арнесте». Какова вероятность того, что студент и студентка, которые дружат, будут направлены на одно предприятие, если руководитель практики ничего не знает об их отношениях?

14)Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. найдите вероятность того, что а) все эти карты разных мастей; б) эти карты одной масти; в) эти карты бубновой масти; г) две карты одной масти, другие две другой масти.

15)В сборной по футболу 7 игроков из «Спартака», 8 – из «Динамо», 6 – из «Локомотива» и 4 – из ЦСКА. Статистикой установлено, что вероятность забить гол в играх сборной для спартаковца составляет 0,5, для динамовца 0,4, для железнодорожника 0,35 и для армейца 0,3. В матче нашими футболистами забито 2 гола. Какова вероятность того, что один гол забил представитель «Спартака», другой – представитель «Локомотива»?

16)Какова вероятность того, что при n бросаниях игральной кости хотя бы один раз появится шестерка?

Формула Бернулли

Пусть проводится серия из n испытаний, в результате каждого из которых событие А может произойти или не произойти. Предполагаем, что вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.

Последовательность испытаний, удовлетворяющих указанному условию, называется последовательностью независимых испытаний (или схемой Бернулли).

Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания имеется лишь два исхода:

1) событие А, P(A) = p; 2) событие , P( ) = q = 1 - p.

Вероятность P_n(k) того, что в серии из n испытаний в схеме Бернулли событие А наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), выражается формулой Бернулли

P_n (k) =

В некоторых задачах требуется определить вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет не менее k раз. Используя теорему сложения вероятностей и формулу Бернулли, искомую вероятность определяют по формуле:

P_n (k) + P_n (k+1) +…+ P_n (n).

Количество n испытаний, которое необходимо произвести для того, чтобы с вероятностью, не менее Р, можно было утверждать, что событие А произойдет хотя бы один раз, определяем по формуле:

n ≥

Наивероятнейшее значение µ появлений события А в n испытаниях равно целой части числа (n +1)p, а если это число целое, то наивероятнейших значений два

µ₁ = (n +1)p - 1, µ₂ = (n+1)p.

Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли становится трудно применимой при больших n. Это связано с вычислением

Существует практически удобный способ вычисления вероятностей P_n(k) -приближенный, но достаточно точный при больших значениях n.

Теорема Лапласа. Пусть p - вероятность появления события А в одном испытании, причем 0 < p < 1. Тогда вероятность того, что в условиях схемы Бернулли в n испытаниях событие А наступит ровно k раз, приближенно выражается равенством

P_n (k) (x), где x = , (x) = , q = 1 – p (1)

Формула (1) дает тем более точный результат, чем больше n.

Для функции (x) cоставлены таблицы, лишь для x ≥0, так как (x) - четная функция, т. е. (-x) = (x). (См. приложения).

Интегральная теорема Лапласа

Во многих задачах требуется вычислить P_n(k_1,k₂) того, что в серии из n испытаний событие А произойдет не менее k₁ и не более k₂ раз. Вычисление этой вероятности с помощью формулы Бернулли при больших n весьма затруднительно.

Удобный приближенный способ вычисления вероятностей P_n(k₁, k₂) в схеме Бернулли дает интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p (0 < p < 1), то имеет место приближенное неравенство

P_n (k_1, k₂) , где где x₁ = , x₂ = (1)

Для вычисления вероятности P_n (k_1, k₂) формулу (1) представляют в виде:

P_n (k_1, k₂) = Ф(x₁) – Ф(x₂) (1`) , где

Ф(х) , функция Лапласа, для которой составлены таблицы значений. Так как Ф(х) функция нечетная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х), то таблицы составлены лишь для х ≥ 0. (См. приложения)

Замечание 1. Формула (1) (или (1`)) дает хорошие результаты при достаточно больших n.

Замечание 2. Вероятность того, что событие А наступит не менее k раз в n испытаниях можно вычислять по формуле (1`), полагая k₁ = k, k₂ = n.

Теорема Пуасона

Рассмотрим схему Бернулли с малой вероятностью p появления события А в одном испытании и с большим количеством n испытаний. Пусть при большом n малая вероятность p такова, что pn = λ , где λ - некоторое число. Вероятность P_n(k) в такой схеме Бернулли описывается теоремой Пуассона. Пусть n→∞, λ >0 постоянно и p = . Тогда в схеме Бернулли из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p, имеет место приближенное равенство:

P_n (k) (формула Пуассона).

(Таблица значений для формулы Пуассона приведена в Приложении).

Замечание. Формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число n испытаний «велико», вероятность события p «мала», а λ = np «не мало и не велико».

Задачи

1 Вероятность сбоя в работе компьютера в одном сеансе работы равна 0.1. Найти вероятность двух сбоев в шести сеансах работы.

2 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 5 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза.

3 Фирма выпускает изделия, из которых 80% высшего качества. Какова вероятность при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 изделий высшего качества?

4 Хлебокомбинат выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий хлебокомбината первосортных окажется не менее 380?

5 Что вероятнее выиграть у равносильного соперника (ничьи исключены): три партии из четырех или пять партий из восьми?

6 Рекламное агентство гарантирует, что в некоей лотерее 2% билетов выигрышные. Вы приобрели 100 лотерейных билетов. Что вероятнее, что четыре билета окажутся выигрышными или выигрышных не будет ни одного.

7 Вероятность появления события в каждом испытании равна 0.25. Найти вероятность того, что в 300 испытаниях событие наступит от 50 до 80 раз.

8 Всхожесть семян новой культуры 85%. На опытном участке посеяли 500 семян. Найти вероятность того, что прорастут от 400 до 450 семян.

9 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 190 и не более 215 раз.

10 Типография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?

11 Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.9. произведено 100 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 80 раз.

12Известно, что в данном селе 80% семей имеют телевизоры. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных семей 2 окажутся без телевизора.

13В квартире 8 электролампочек. Вероятность работы лампочки в течение года равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек.?

14При проведении некоторого испытания вероятность появления некоторого результата 0,01. сколько раз его нужно провести, чтобы с вероятностью 0,5 можно было ожидать хотя бы одного появления этого результата?

15Какова вероятность того, что среди наугад 500 выбранных человек двое родились 8-го марта?

16Найти такое число k, чтобы с вероятность 0,9, можно было утверждать, что среди 900 новорожденных более k мальчиков. Вероятность рождения мальчика 0,515.

Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания приобретает то или иное числовое значение из некоторого множества. При этом заранее неизвестно, какое значение имела случайная величина примет в результате опыта.

Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения изолированы друг от друга и их можно занумеровать.

Характеристики

Список файлов книги