Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Случайную величину называют непрерывной, если она может принимать любые значения из некоторого промежутка (конечного или бесконечного).

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами, например, X, Y, а их возможные значения соответствующими малыми буквами x_1, x_{2, …} x_n; y_1, y_2,…., y_m. Вероятность того, что случайная величина примет значение, равное x_i, обозначают

P(X = x_i) = p_i.

Законом распределения случайной величины называется соответствие между ее возможными значениями и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Простейшей формой задания этого закона для дискретных случайных величин является таблица, первая строка которой содержит все возможные значения случайной величины, а вторая – их вероятности:

Отметим, что p₁ + p₂ +…+ p_n = 1.

Для того, чтобы придать закону более наглядный вид, прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности. Точки (x_i p_i ), i =1, 2,…n, соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Дискретные случайные величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на их вероятности, то есть, если X - дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

находится по формуле: M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + …+ x_np_n.

Отметим, что при большом числе опытов среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины приближается к ее математическому ожиданию.

Замечание. Математическое ожидание случайной величины есть величина неслучайная.

Основные свойства математического ожидания:

1.Математическое ожидание постоянной величины равно постоянной, т.е., если

С = const, то M(С) = М

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е M(CX) = CM(X).

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин, т.е. M(X+Y) = M(X) +M (Y)

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M(XY) = M(X) M(Y), где X и Y- независимые случайные величины.

5.Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р. Тогда математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях М(Х) = np

Дисперсия дискретной случайной величины

Пусть X – случайная величина. Случайную величину │X – M(X)│ называют отклонением. Очевидно, что математическое ожидание отклонения равно 0:

M [X – M(X)] = 0

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения от ее математического ожидания, т.е. D (X) = M((X - M(X)))². (1)

Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины по отношению к ее математическому ожиданию.

Нередко вместо формулы (1) в вычислениях используют эквивалентную ей формулу

D (X) = M(X²) – (M(X))² (2)

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D(С) =0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат, т.е. D(CX) =C²DX.

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D(X ± Y) = D(X) ± D(Y),

4. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события А постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X) = npq.

Следствие: D(C + X) = D(X), где С – постоянная.

Замечание. Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата единицы размерности случайной величины X. Это создает определенные неудобства, поэтому вводят показатель рассеяния случайной величины, имеющей ту же размерность, что и случайная величина. Для этого извлекают квадратный корень из дисперсии. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением (стандартом) и обозначают

σ(X), т.е. σ(X) =

Отметим, что среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин:

σ(X₁ + X₂ + X₃ + … + X_n ) =

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k: , в частности, ,

Пользуясь этими моментами формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

D (X) = M(X²) – (M(X))² =

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х – М(Х))^k

, в частности ,

Нетрудно вывести соотношения:

Приведем знаменитое в теории вероятностей неравенство П.Л. Чебышева:

P( x - a  )  , где х – значения случайной величины, а – математическое ожидание,  - любое напер заданное сколь угодно малое число. Это неравенство позволяет оценить вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Из этого неравенства можно получить закон больших чисел:

(P(w – p) < )  1, где w – относительная частота появления события А в n независимых испытаниях, p – классическая вероятность его появления в каждом отдельном испытании, т.е.: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании.

Задачи

1.Найти математическое ожидание a) M(X), b) дисперсию D(X), c)среднее квадратическое отклонение (X) дискретной случайной величины X по заданному закону распределения.

1.1 1.2

1.3 1.4

1.5 1.6

1.7 1.8

1.9 1.10

2)Найти математическое ожидание числа появления события А в 20-ти независимых испытаниях, если в каждом испытании вероятность наступления события равна 0,25.

3)Найти математическое ожидание произведения n = 15 числа очков при одном бросании двух игральных костей.

4)Случайная величина Х может принимать два возможных значения: x₁ с вероятностью 0,3 и x₂ с вероятностью 0,7, причем x₂ > x_1. Найти x₁ и x₂, зная. что М(Х) = 2,7 и D(X) = 0,21

5)Стрелок поражает мишень с вероятностью 0,7. Он производит 4 выстрела. Построить закон распределения случайной величины Х: х₀ - мишень не поражена, х₁ – мишень поражена одним выстрелом и т.д. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение

6)У охотника 4 патрона. Он стреляет по зайцу, пока не попадет или пока не кончаться патроны. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.

7)Стрельба по мишени ведется до k-го попадания. Запасы патронов не ограничены. Вероятность попадания p. Вычислить, сколько в среднем будет израсходовано патронов.

8)В урне а белых и b красных шаров. Наугад вынимают k шаров (k < a + b). Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров.

Характеристики

Список файлов книги