Теория вероятности (543705), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

24) ; 25) ; 26) ; 27)

Комбинаторные задачи

1) В карточке спортлото 36 клеток. Играющий должен отметить 6. Каково число всех возможных вариантов?

2) Сколькими способами можно выбрать четырех человек на 4 различные должности из 15 кандидатов на эти должности?

3) В группе 28 студентов. Сколькими способами можно избрать 6 делегатов на профсоюзную конференцию?

4) Правление фирмы выбирает трех человек на различные должности из 10 кандидатов. Сколькими способами это можно сделать?

5) Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

6) Из 20 милиционеров необходимо составить наряд из 6 человек.. Сколькими способами это можно сделать?

7) Сколько прямых можно провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

8) Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1,2,3,5,7,11,13, берущихся попарно? (а любых, в том числе неправильных?)

9) В группе детского сада 10 детей. Сколькими способами их можно поставить в колонну парами?

10) Сколькими способами можно переставить буквы слова «хорошо» так, чтобы три буквы «о» не шли подряд?

11) Сколько трехзначных чисел можно из множества цифр 1,2,3,4,5,6 а)без повторений; б)с повторениями?

12) Сколькими способами можно переставить цифры числа 123456789 так, чтобы четные цифры остались на четных местах?

13) Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать?

14) На конференции по математике должны выступить 4 студента А, Б, С, Д. Сколькими способами их можно разместить в списке докладчиков, если Б не может выступать до того момента пока не выступит А?

15) Специалист по информационным технологиям ежедневно «посещает» 6 определенных сайтов в Интернете. Если порядок просмотра этих сайтов случаен, то сколько существует способов его осуществления?

16) В премьер лиге чемпионата страны по футболу 16 команд, в сезоне они встречаются друг с другом 2 раза: на своем и чужом поле. Сколько игр проводится в премьер лиге? Команды, занявшие 1,2,3 места, награждаются соответствующими медалями. Сколькими способами могут распределиться призеры? А команды, занявшие 2 последних места, покидают премьер лигу. Сколькими способами может сформироваться «клуб неудачников»? Сколькими способами могут распределиться места с 1-го по 16-е?

17) В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого 10-тиугольника, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?

18) Из скольких различных предметов можно составить 210 размещений по два элемента в каждом?

19) Замок сейфа открывается, если набрана правильная комбинация из четырех цифр от 0 до 9. Кода Вы не знаете. Найти наибольшее число безуспешных попыток для а) код не содержит одинаковых цифр; б) код содержит одинаковые цифры.

20) Из отделения военнослужащих 12 человек формируется караул, состоящий из начальника караула, его заместителя и трех караульных. Сколькими способами возможно сформировать такой караул? Найдите три различных подхода к решению задачи.

21) Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «математика»?

22) Сколько можно сделать костей домино, используя числа 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

23) Сколькими способами можно разместить 12 предметов в трех различных ящиках?

24) Сколькими способами можно разбить 2n рабочих на бригады по два человека?

25) На погранзаставе 40 рядовых и 8 офицеров. Сколькими способами можно составить наряд по охране границы, если он состоит из дух офицеров и четырех рядовых?

26) В стройотряде 15 студентов. Сколькими способами можно их можно разбить на три бригады численностью 3, 7 и 5 человек? Решите эту же задачу при условии, что в каждой бригаде назначается старший.

27) Сколько можно изготовить трехцветных флажков, если использовать следующие цвета: белый, синий, красный, желтый, зеленый, черный?

28) Группа из 28 студентов обменялась фотокарточками. Сколько было фотокарточек?

29)В команду должны быть отобраны 4 спортсмена из 10. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?

30) Сколькими способами можно 5 шариков разбросать по 8 лункам, если каждая лунка может уместить все 5 шариков?

31)В корзине 12 яблок, 10 груш и 20 слив. Сколькими способами могут разделить между собой эти фрукты двое ребят, так чтобы каждый из них получил не менее четырех фруктов каждого вида?

32) Аккорд – одновременное звучание двух и более нот. Сколько аккордов модно воспроизвести на семи нотах?

33)Как известно, автомобильные номера содержат три буквы (используется 26) и три цифры. Сколько различных номеров существует? В нашем городе автомобильные номера начинаются с «К». Сколько таких номеров можно составить?

34)Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня, 2 слона, 2 ладьи, короля и ферзя) на первой линии шахматной доски?

35) Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

36)На плоскости проведено n прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

37)На одной из параллельных прямых отмечено 10 точек, на другой 7. Каждая точка одной прямой соединена с каждой точкой другой прямой. Найдите число точек пересечения полученных отрезков, если никакие три из них не пересекаются в одной точке.

Элементы теории вероятностей

Классическое определение вероятности

Наблюдаемые нами события можно разделить на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Случайным называют событие, которое может произойти, либо не произойти, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Т.е. под случайным событием, связанным с некоторым опытом, будем понимать всякое событие, которое либо происходит, либо не происходит при осуществлении этого опыта.

Вместо слов «осуществлена совокупность условий» зачастую говорят «произведено испытание».

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Система событий образует полную группу для данного испытания, если любым исходом его является одно или только одно событие этой группы.

Возможные, исключающие друг друга, результаты одного испытания называются элементарными исходами испытания.

Исход испытания называется благоприятствующими некоторому событию, если в результате этого исхода появляется указанное событие.

События называются равновозможными, если нет оснований считать одно из них более или менее возможным, чем остальные.

Определение. Вероятностью Р(А) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу n всех возможных элементарных исходов испытания, образующих полную группу, т.е Р(А) =

Свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события А удовлетворяет неравенству 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Относительная частота и статистическая вероятность

Классическое определение вероятности при переходе от простейших примеров к сложным задачам наталкивается на трудности принципиального характера. Во-первых, число элементарных исходов испытания не всегда конечно, во-вторых, очень часто невозможно представить результат в виде совокупности элементарных исходов, в-третьих, трудно указать основания, позволяющие считать элементарные исходы равновозможными. Поэтому используют также статистическое определение вероятности.

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний m, в которых событие А появилось, к общему числу n фактически проведенных испытаний,

т.е. W (A) = .

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, которая состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Для осуществления статистической вероятности события А требуется:

а) возможность хотя ба принципиально, проводить неограниченное число испытаний, в каждом из которых событие А наступает или не наступает;

в) устойчивость относительной частоты события А в различных сериях большого числа испытаний.

Задачи на непосредственное вычисление вероятностей

1) На трех одинаковых карточках напечатаны буквы К,Н,Х. Карточки положены буквами вниз и перемешаны. После чего извлекаются по одной, переворачиваются и кладутся слева на право. Какова вероятность, что Вы прочтете название нашего учебного заведения?

2)Та же по смыслу задача, но на карточках напечатано В,М,Э,1,2. Какова вероятность, что Вы прочтете название группы? А если на карточках напечатано В,М,Э,2,2 то искомая вероятность останется прежней?

3)Куб, все грани которого окрашены распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней а) одну, б) две, в)три.

4)При стрельбе относительная частота попаданий оказалась равной 0.85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов.

5)Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.

6)Набирая номер телефона абонент забыл последние 2 цифры и, помня лишь то, что эти цифры различны набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

7)В ящике из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на удачу 6 деталей 4 стандартных. (Это, так называемая задача о выборке, обобщите ее и составьте аналогичные.)

8)Восемь различных книг расставляются рядом на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.

9)В забеге участвуют 5 спортсменов: А, Б, В, Г, Д, каждый из которых имеет одинаковые шансы на успех. Какова вероятность того, что парвые три места займут соответственно бегуны А, Б, В?

10)Автобус должен сделать 8 остановок. Найти вероятность того, что никакие два пассажира из пяти, едущих в автобусе, не выйдут на одной и той же остановке.

11)Из 15 билетов выигрышными являются четыре. Какова вероятность того, что среди 6-ти билетов, взятых на удачу, будет два выигрышных?

12)Монета подброшена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится цифра.

13)В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, наудачу поставленная в круге, окажется внутри квадрата?

14)Квадрат со стороной a разбит на 4 части отрезками прямых, соединяющих середины противоположных сторон. В этот квадрат брошена монета радиуса r < a/4. Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадратов, на которые разбит основной квадрат.

15)Внутри круга радиуса 20см. проведены две непересекающиеся окружности – одна радиусом 5см., другая – радиусом 10 см. Найти вероятность того, что точка, взятая наудачу внутри большого круга, окажется лежащей внутри одной из малых окружностей.

16)Двое друзей условились встретиться в определенном месте между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определить вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.

17)Из коробки, содержащей карточки с буквами а, к, о, р, р, т, т извлекают одну за другой буквы и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность, что Вы прочтете слово трактор?

18)(Занимательная задача: легкомысленный член жюри) В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью p, а третий для выяснения решения бросает монету. Окончательное решение выносится большинством голосов. Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью p. Какое из этих жюри вынесет правильное решение с большей вероятностью?

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Суммой А + В событий называется событие, состоящее в том, что в результате опыта наступит или событие А, или событие В, или оба вместе. ( Другими словами, суммой А+В событий А и В называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий):

Характеристики

Список файлов книги