Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

9)Из всей выпускаемой фирмой продукции 95% составляют стандартные изделия. Наугад отобраны 6 изделий Пусть «х» - число стандартных деталей среди этих отобранных. Найдите D(x).

10)Автомобиль на пути встретит 4 светофора, каждый из которых пропустит его с вероятностью 0,6. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа светофоров до первой остановки.

Непрерывные случайные величины

Функция распределения и плотность вероятности

Закон распределения, рассмотренный выше (в виде таблицы ), пригоден только для дискретных случайных величин. Для характеристики непрерывных случайных величин вводят функцию распределения F(x) = P (X < x), называемую также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения случайной величины X (x-произвольное действительное число).

Заметим, что функция распределения имеет смысл и для дискретных случайных величин и может быть записана в виде: F(x) =

Свойства функции распределения:

1. F(x) – величина безразмерная и 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. F(x) – неубывающая функция, т.е., если x₁ >x₂ то F(x₁) ≥ F(x₂)

3. Р( a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

1. График функции распределения показан на рис2.

Для непрерывных случайных величин нередко вместо функции F(x) бывает удобнее использовать функцию f(x), определяемую равенством f(x) = F’(x) и называемую плотностью вероятности или дифференциальным законом непрерывной случайной величины Х. График плотности показан на рис1.

Свойства плотности вероятности

1. f(x) ≥ 0,

2 . , если же возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , т.е. ƒ(x) при a ≤ x ≤ b

f(x)= 0 при x < a и x > b то

3. Р( a ≤ x ≤ b) = ; 4. F (x) = .

рис1. рис2.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание M(X) непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

M(X) = , где f(x) - плотность вероятности случайной величины X.

Если возможные случайные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то M (X) = .

Аналогично дисперсии дискретной случайной величины определяется дисперсия непрерывной случайной величины:

D (X) = . (*) Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то D(X) = (**)

Практически вместо формул (*) и (**) бывает удобнее использовать соответственно формулы:

D (X) = ; D(X) =

Замечание. Свойства M(X) и D(X) аналогичны соответствующим свойствам числовых характеристик дискретной случайной величины.

σ (X) = - среднее квадратическое отклонение случайной величины (стандарт).

Задачи.

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x).

Найти:

а) функцию плотности распределения f(x);

б) математическое ожидание M(X);

в) дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (X);

г) построить графики функций F(x) и f(x).

5 .3 0, x  0, 5.4 0, x 0,

F(x) = x^ / 9, 0<x3, F(x)= x^ x  2,

1, x>3, 1, x>4,

5 .5 0, x  0, 5.6 0, x 0,

F(x)= x^, 0<x5, F(x)= x^ x  6,

1, x>5, 1, x>6,

5 .7 0, x  0, 5.8 0, x 0,

F(x)= x^, 0 < x  7, F(x)= x^ x  8,

1, x>7, 1, x>8,

5 .9 0, x  0, 5.10 0, x 0,

F(x)= x^ /81, 0 < x  9, F(x)= x^ x  10,

1, x>9, 1, x>10.

Равномерное распределение

Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения непрерывной случайной величины, плотность вероятности сохраняет постоянное значение, а вне этого интервала она равна нулю.

Для равномерно распределенной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку (см. рис3.), плотность вероятности имеет вид:

f (x) =

Функция распределения F(x) = см рис.4

Числовые характеристики M(X) = , D(X) = ; σ (X) = .

рис.3 рис.4

Задачи.

Для случайной величины X, распределенной равномерно на отрезке [a,b], написать функцию распределения F(x), плотность вероятности f(x). Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (X), если задан отрезок:

6.1.1 [1,5]; 6.1.2 [2,6];

6.1.3 [4,8]; 6,1.4 [0,5];

6.1.5 [9,11]; 6.1.6 [8,10];

6.1.7 [4,9]; 6.1.8 [3,13];

6.1.9 [1,6]; 6.1.10 [10,15].

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид:

ƒ(x) = , где a є R, σ > 0 - параметры распределения.

График функции f (x) называют нормальной кривой или кривой Гаусса рис.5.

рис.5

Она обладает следующими свойствами:

1. кривая симметрична относительно прямой x = a;

2) функция имеет максимум ƒ(a) = ;

3) при x ± ∞ кривая приближается к оси Ox;

4) кривая ориентирована вогнутостью вниз при x є (a - σ, a + σ) и вогнутостью вверх при

x ), а – это математическое ожидание нормальной случайной величины, - ее среднее квадратическое отклонение

Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал (α,β) определяется по формуле:

P(α < X < β) = , где Ф(х) – функция Лапласа.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в интервал, симметричный относительно математического ожидания, определяется формулой:

P( < δ) = 2 Φ . Из этой формулы получаем P( < 3δ) = 2 Φ(3) = 0,9973,

откуда следует правило трех сигм для нормального распределения: практически достоверно, что отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.(Слова «практически достоверно означают, что лишь в 0, 27% случаев отклонение нормальной случайной величины от ее математического ожидания может превзойти 3 )

Нормально распределенные случайные величины широко встречаются в природе, на практике. Выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым была доказана центральная предельная теорема теории вероятностей, из которой вытекает следующее следствие: если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то эта случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному.

Задачи

1. Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, известны математическое ожидание M(X) и дисперсия D(X). Записать плотность вероятности f(x) и найти вероятность попадания случайной величины X в интервал (,):

1 M(X) = 1, D(X) = 1, (2,4); 6 M(X) = 2, D(X) = 4, (1,5);

2 M(X) = 3, D(X) = 4, (2,6); 7 M(X) = 2, D(X) = 9, (1,3);

3 M(X) = 5, D(X) = 4, (3,7); 8 M(X) = 6, D(X) = 16, (4,7);

4 M(X) = 1, D(X) = 4, (0,3); 9 M(X) = 3, D(X) = 16, (1,5);

5 M(X) = 8, D(X) = 4, (5,10); 10 M(X) = 4, D(X) = 9, (2,7)

2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно 10, а дисперсия 4. Найти вероятность того, что в результате испытания эта случайная величина примет значение из интервала [12; 14].

3.Производится измерение диаметра вала без системных ошибок. Случайные ошибки  подчинены нормальному закону с D() = 100мм. Найти Р( < 15).

4.15% продукции фирмы представляют изделия второго сорта. Магазин получил 1000 изделий. Какова вероятность того, что в полученной партии продукция второго сорта составит 15%2%?

5. Исследователями установлено, что 20% школьников не знают правил уличного движения. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают правила уличного движения с гарантией в 95%?

1. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а = 950кг. и средним квадратическим отклонением  = 150кг.

6.1Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажеся больше 1250кг.; б) окажется меньше 850кг.; в) будет находиться между 800 и 1300кг.; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50кг.; д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50кг.

6.2.Найдите границы, в которых отклонение веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратического отклонения (проиллюстрируйте правило трех сигм).

6.3.С вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться весь случайно отобранной туши. Какова при этом условии максимальная величина отклонения веса случайно отобранной туши от своего математического ожидания?

7. Фирма собирается приобрести партию из 10000 единиц некоторого товара. Из прошлого опыта известно, что 1% товаров данного типа имеет дефекты. Какова вероятность того, что в данной партии окажется от 950 до 1050 дефектных единиц товара?

8. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания метала в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Найти вероятность того, что для проб с промышленным содержанием металла отклонится от вероятности промышленного содержания металла в каждой пробе не более, чем на 0,05.

9.Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает заказы по почте. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением  = 560 и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

10.Вес тропического грейпфрута – нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0,04. Агрономы знают, что 65% фруктов весят меньше, чем 0,5кг. Найдите ожидаемый вес случайно вфыбранного грейпфрута.

Характеристики

Список файлов книги