Математическая статистика (DOC) (543619), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

10) Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки в порядке случайной выборки было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1075 часов. Среднее квадратическое отклонение времени горения составляет 100 часов. Используя уровень значимости α = 0.05, проверьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп – более 1000 часов.

11) Компания, выпускающая в продажу новый сорт кофе, провела проверку вкусов покупателей по случайной выборке из 400 человек и выяснила, что 220 из них предпочли новый сорт всем остальным. Проверьте на уровне значимости α = 0,01 гипотезу о том, что по крайней мере 52% потребителей предпочтут новый сорт кофе.

12) Страховая компания изучает вероятность ДТП для подростков, имеющих мотоциклы. За прошедший год проведена случайная выборка 2000 страховых полисов подростков-мотоциклистов и выявлено, что 15 из них попадали в ДТП и предъявили компании требование о компенсации за ущерб. Может ли аналитик компании отклонить гипотезу о том, что менее 1% всех подростков – мотоциклистов попадали в ДТП в прошлом году. Принять уровень значимости α = 0,05.

13) Новое лекарство против гриппа должно пройти экспериментальную проверку для выяснения побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4000 мужчин и 5000 женщин. Результаты показали, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приёме нового медикамента. Можно ли на основании эксперимента утверждать, что побочные эффекты нового лекарства у женщин проявляются в большей степени, чем у мужчин? Уровень значимости α = 0,05.

14) Производитель микрокалькуляторов утверждает, что 95% выпускаемых изделий не имеют дефектов. Случайная выборка из 100 микрокалькуляторов показала, что только 92 из них без дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя на уровне значимости α = 0,05.

15) В 2002 году годовой оборот 4 бирж в регионе Ставропольского края составил 12·10⁴ у.е.; в Краснодарском крае годовой оборот 5 бирж - 125·10³ у.е. Исправленная выборочная дисперсия оборота в регионе Ставропольского края равна 12·10³ (у.е.)², в Краснодарском крае - 2·10⁴ (у.е.)² . Можно ли на уровне значимости α = 0,05 утверждать, что средний оборот бирж в регионе Ставропольского края больше чем в Краснодарском крае.

16) Производитель нового типа аспирина утверждает, что он снимает головную боль за 30 мин. Случайная выборка 100 человек страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 мин при среднем квадратическом отклонении 4,2 мин. Проверьте на уровне значимости α = 0,05 справедливость утверждения производителя.

17) Компания по производству безалкогольных напитков выпускает на рынок новый напиток. Компания хотела бы быть уверенной, что не менее 70% её потребителей предпочтут новый напиток. Этот напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех её потребителей предпочтут новый напиток старому. Принять уровень значимости α = 0,05

18) Владелец фирмы считает, что добиться более высокой прибыли ему помешала неравномерность поставок по месяцам года. Поставщик утверждает, что поставки были не так уж равномерны. Распределение поставок имеет следующий вид:

При α = 0,05 определите кто прав владелец фирмы или поставщик?

Корреляционная зависимость.

Дана система случайных величин (Х;У). Пусть в результате n испытаний получено n точек (х₁;у₁); (х₂;у₂)…(х_n;y_n), Необходимо вычислить коэффициент корреляции этой системы случайных величин.

Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом математическом ожидании получим следующие приближённые равенства:

. Отсюда можно найти коэффициент корреляции по формуле: .

Если , то связь между случайными величинами Х и У достаточна устойчива. Если связь между Х и У установлена, то линейное приближение от х даётся формулой линейной регрессии:

Линейное приближение от у даётся формулой линейной регрессии Прямые различны.

Для построения уравнения линейной регрессии нужно:

• по исходной таблице значений (Х;У) вычислить

• проверить гипотезу о существовании устойчивости между Х и У;

• составить уравнение обеих линий регрессии и изобразить графики этих уравнений.

Способ наименьших квадратов.

Этот способ заключается в отыскании вида и значения параметров функциональной зависимости у = f(x), связывающий зафиксированные значения переменных х и у, подчиняются требованию наилучшего приближения значений функции к данным наблюдения. Этой цели соответствует подчинение искомой функции такому условию, чтобы сумма квадратов отклонений каждого значения такой функции f(x) от соответствующего значения х была наименьшей.

Пусть имеем следующие данные наблюдений:

Это значит, что сумма [f(x₁)-y₁]²+ [f(x₂) – y₂]² +…+[f(x_n) – y_n]² должна удовлетворять условию минимума функции нескольких независимых переменных; или ими оказываются параметры, т.е. неизвестные коэффициенты искомой функции у = f(х), которая может иметь вид: f(х) = ах + b отыскиваются из нормальной системы

откуда легко получить ;

Для параболической функции F(x) = ах² +bх + с коэффициенты находятся из системы линейных уравнений:

Задачи

1) Туристическая компания предлагает места в гостиницах приморского курорта. Менеджера компании интересует, насколько возрастает привлекательность компании в зависимости от её расстояния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам города была выяснена среднегодовая наполняемость номеров и расстояние в км. до пляжа.

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

2) Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного тех. обслуживания (Y). Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей.

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

3) Врач исследователь выясняет зависимость площади поражённой части лёгких у людей, заболевших эмфиземой лёгких, от числа лет курения. Статистические данные, собранные им в некоторой области имеют следующий вид:

Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов. Если человек курил 30 лет, то сделайте прогноз о степени поражения лёгких у случайно выбранного пациента

Характеристики

Список файлов книги