Математическая статистика (DOC) (543619), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

13) Строительная компания хочет оценить возможность успешного бизнеса на рынке ремонтно-строительных работ. Провели случайную бесповторную выборку, из 1000 домовладельцев отобрали 600 человек. По этой выборке определено, что средняя стоимость строительных работ, которую предполагает оплатить отдельный домовладелец, составляет 500 у.е. С какой вероятностью можно гарантировать, что эта стоимость будет отличаться от средней стоимости строительных работ в генеральной совокупности по абсолютной величине не более чем на 10 у.е., если стандартное отклонение стоимости строительных работ в выборке составило 50 у.е.?

14) Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера кредита. Из 9706 клиентов опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого кредита в выборке составило 675 у.е. со стандартным отклонением 146 у.е. Найдите границы 95% доверительного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в генеральной совокупности.

15) Выборочные обследования показали, что доля покупателей, предпочитающих новую модификацию компьютеров, составляет 60% от общего числа покупателей данного товара. Каким должен быть объём выборки, чтобы можно было получить оценку генеральной доли с точностью не менее 0,05 при доверительной вероятности 0,9

16) При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала СТС. Постройте 99%-й доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала СТС.

17) Для оценки остаточных знаний по математическим дисциплинам были протестированы 25 студентов 3-го курса групп ЭВМ. Получены следующие результаты в баллах: 107, 90, 114, 88, 117, 110, 103, 120, 96, 122, 93, 100, 121, 110, 135, 85, 120, 89, 100, 126, 90, 94, 99, 116, 111. По этим данным найдите 95%-й интервал для оценки среднего балла тестирования всех студентов 3-го курса.

18) Среднемесячный бюджет студентов Невинномысский химический колледж оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0,954 найдите наименьший объём выборки, необходимый для такой оценки. если среднее квадратическое отклонение предполагается равным 100 рублей, а предельная ошибка средней не должна превышать 20 рублей.

Проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется предположение о выборке.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Выдвинутая гипотеза называется основной (нулевой) и обозначается Н_0.

По отношению основной гипотезе всегда можно сформулировать альтернативную (конкурирующую), противоречащую ей, которую обозначают Н_1.

Цель статистической проверки гипотез состоит в том, чтобы на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы Н_0.

Если выдвигаемая гипотеза сводится к утверждению о том, что значение некоторого неизвестного параметра генеральной совокупности в точности равно заданной величине, то эта гипотеза называется простой. В других случаях гипотеза называется сложной.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основании выборочных данных, то решение неизбежно сопровождается вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону.

Так, в какой – то небольшой доле случаев α нулевая гипотеза может оказаться отвергнутой, в то время как она справедлива. Такую ошибку называют ошибкой 1-го рода, а её вероятность – уровнем значимости α

Наоборот, в какой – то небольшой доле случаев β нулевая гипотеза принимается, в то время как на самом деле она ошибочна. Такую ошибку называют ошибкой 2-го рода. Вероятность ошибки второго рода β. Вероятность 1- β называют мощностью критерия.

Результаты решения относительно нулевой гипотезы можно увидеть в таблице

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (К), который является функцией от результатов наблюдения.

Статистический критерий – это правило, по которому определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с высказанной гипотезой Н₀.

Выбор критерия может быть осуществлён на основании различных принципов. Чаще всего пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить наиболее мощный критерий.

Значение критерия, рассчитываемое по специальным правилам на основании выборочных данных, называется наблюдаемым значением критерия К_набл.

Значения критерия, разделяющие совокупность значений критерия на область допустимых значений и критическую область, определяемые на заданном уровне значимости α по таблицам распределения случайной величины К, выбранной в качестве критерия, называют критическими точками К_кр.

Областью допустимых значений называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ не отклоняется.

Критической областью называют совокупность значений критерия К, при которых нулевая гипотеза Н₀ отклоняется в пользу конкурирующей Н₁.

Различают левостороннюю и правостороннюю критические области. Если конкурирующая гипотеза – правосторонняя, т.е а > a₀ то и критическая область – правосторонняя.

рис. 10

Если конкурирующая гипотеза – левосторонняя, т.е а < a₀ то и критическая область – левосторонняя.

рис. 11

Если конкурирующая гипотеза – двусторонняя, т.е , то и критическая область двусторонняя.

рис. 12

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

• если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза отклоняется в пользу конкурирующей

• если наблюдаемое значение критерия принадлежит области допустимых значений, то нулевую гипотезу нельзя отклонить.

Задачи

1) 7 студентов из 10 сдавали практические работы так, как будто они были списаны друг у друга. На уровне значимости 0,05 определите, случайно ли это, или студенты действительно списывали.

2) На уровне значимости α = 0,025 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности , если известны эмпирические и теоретические частоты

m (эмп)i	5	10	20	25	14	3
m (теор)i	6	14	28	18	8	3

3) Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выполнение определённой технологической операции на конвейере. От работающих на этой операции поступили жалобы, что они в действительности затрачивают на неё больше времени. Для проверки жалобы произведены измерения времени выполнения этой операции у 16 работниц, занятых на ней и получено среднее время 42 с . Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости α = 0,01 отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой операции соответствует норме, если: а) исправленное выборочное отклонение s – 3,5с; б) выборочное среднее отклонение – 3,5 с?

4) Экономический анализ производительности труда предприятий позволил выдвинуть гипотезу о наличии 2 типов предприятий с различной средней величиной показателя производительности труда. Выборочное обследование 42 предприятий 1-й группы дало следующие результаты: средняя производительность труда 119 деталей. Выборочное обследование 35 предприятий 2-й группы показало, что средняя производительность труда составляет 107 деталей. Генеральные дисперсии соответственно равны 126,91 (дет.²) и 136,1 (дет.²). Считая, что выборки извлечены из нормально распределённых генеральных совокупностей Х и Y ,на уровне значимости 0.05, проверьте, случайно ли полученное различие средних показателей производительности труда или же имеются 2 типа предприятий с различной средней величиной производительности труда.

5) Предполагается, что применение новых компьютерных технологий сократит время решения задач. Хронометраж времени решения 9 задач без компьютерных технологий дал следующие результаты: среднее время решения 57 минут, исправленная выборочная дисперсия s_х² = 186,2 (мин²). Среднее время решения 15 задач с применением компьютерных технологий 52 минуты, а исправленная выборочная дисперсия s_у² = 166,4 (мин²). На уровне значимости α = 0,01 ответьте позволило ли применение компьютерных технологий сократить время решения задач.

6) Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0,97. Среди случайно отобранных 200 изделий проверяемой партии оказалось 193 соответствующих стандарту. Можно ли на уровне значимости α = 0,02 принять партию

7) Для завода изготавливают однотипные детали. Для оценки их качества сделаны выборки из продукции этих заводов и получены следующие результаты

На уровне значимости α = 0,025 определите, имеется ли существенное различие в качестве изготавливаемых деталей?

8) Компания, производящая средства для похудения, утверждает, что приём таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем в неделю 400гр веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту терапию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430гр со средним квадратическим отклонением 110гр. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400гр. Уровень значимости α = 0,05

9) Компания утверждает, что новый вид зубной пасты лучше предохраняет зубы, чем зубные пасты других фирм. Для проверки в случайном порядке выбраны 400 детей, пользовавшихся новой пастой и 300 детей, которые пользовались зубными пастами других фирм. После окончания эксперимента было выяснено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из другой группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее. Принять уровень значимости α = 0,05

Характеристики

Список файлов книги