mordkovitch-gdz-9-2000-1-670 (542431), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Методы решения систем уравнений120. y = x −1y = x −1а)  2 2226x−y= x − 2 x − 24 = 0по теореме Виета: x1 = 6 ; x2 = −4 y = x −1 x = 6, x = 4Решения (6; 5), (-4; -5). x = y 2 2 x + y = 6  y + y − 6 = 02б)  x = yпо теореме Виета: x1 = 2 ; x2 = −3x = y 2 y = 2, y = −3Решения (4; 2), (9; -3).x = y + 3x = y + 3x = y + 3x = y + 3 2 22 y − 2 x = 9  y − 2 y − 6 = 9  y − 2 y − 15 = 0  y = 5, y = −3y1 = 5 ; y2 = −3в) Решения (8; 5), (0; -3). y = x 2 y = x 2 22 x − y = 6  x − x + 6  x − x − 6 = 0по теореме Виета: x1 = 3; x2 = −22г)  y = xРешения (-2; 4), (3; 9).121. y − y 2 = −2  y 2 − y − 2 = 0x = 1 − yx = 1 − yпо теореме Виета: y1 = 2 ; y2 = −1xy = −2а) x + y = 1101 y = 2, y = −1x = 1 − yРешения (-1; 2), (2; –1).2 2 2б) 5 x + 2 y = −3 5( y + 5) + 2 y = −3 5 y + 52 y + 128 = 0x − y = 5x = y + 5x = y + 5D= 262 − 5 ⋅ 128 = 676 − 640 = 364− 26 + 6− 26 − 632y1 == −4 ; y2 ==−= −6,4555 y = −4, y = −6,4Решения (1; -4), (-1,4; -6,4).x = y + 5 x = 11 − 3 y x + 3 y = 11  x = 11 − 3 y 222xyyy−+=2+=1422614y − 6y + 8 = 0в) y1 = 4y2 = 2 x = 11 − 3 y y = 2, y = 4Решения (5; 2), (-1; 4).x + y = 8 x = 8 − yг)  xy = 12(8 − y )y = 12x = 8 − y 2 y − 8 y + 12 = 0по теореме Виета: y1 = 6 ; y2 = 2`x = 8 − y y = 2, y = 6Решения (6; 2), (2; 6).122. y 2 − xy = 12а) 3 y − x = 10 y 2 − (3 y − 10 ) y = 12 x = 3 y − 10по теореме Виета: y1 = 3 ; y2 = 2` y2 − 5 y + 6 = 0 x = 3 y − 10 y = 2, y = 3 x = 3 y − 10Решения (-4; 2), (-1; 3).2 2б) 2 x − y = 322 x − y = 82 x 2 − (2 x − 8)2 = 32 y = 2x − 8по теореме Виета: x1 = 12 ; x2 = 4` x = 4, x = 12 y = 2x − 8Решения (4; 0), (12; 16).102 x 2 − 16 x + 48 = 0 y = 2x − 82 x 2 − x(4 x − 17 ) = 33 y = 4 x − 17 2в) 2 x − xy = 334 x − y = 17D = 289 − 264 = 2517 + 5 1117 − 5x1 == ; x2 ==34241111x = , x = 3Решения ( ; 5), (3; -5).22 y = 4 x − 172 x 2 − 17 x + 33 = 0 y = 4 x − 17222 2 2г)  x − y = 24 (2 y + 7 ) − y = 24 3 y + 28 y + 25 = 02 y − x = −7x = 2 y + 7x = 2 y + 7D= 196 − 75 = 121 = 1124−14 + 11−14 − 1125y1 == −1 ; y2 ==−33325 y = −1, y = −3 x = 2 y + 7 29 25 ;− 3  3Решения (5; -1),  −123. x 2 + xy − y 2 = 11 (2 y + 1)2 + (2 y + 1) y − y 2 = 11  y 2 + y − 2 = 0а) x − 2 y = 1x = 2 y + 1x = 2 y +1по теореме Виета: y1 = 1 ; y2 = −2 y = 1, y = −2x = 2 y + 1Решения (3; 1), (-3; -2).22б)  xy + y + x − 3 y = 15  y (− y + 5) + y − y + 5 − 3 y = 15x + y = 5 y = 10x = − y + 5x = − y + 5 y = 10 x = −5Решение (-5; 10). 2 2 2в)  x + xy − x − y = 2  x + x(x − 2 ) − x − x + 2 = 2 2 x − 4 x = 0y = x − 2y = x − 2y = x − 2 x = 0, x = 2y = x − 2Решения (0; -2), (2; 0).1032 2 2г)  x + y + 3 xy = −1  y = 1x + 2 y = 0 y = 1, y = −1 x = −2 y  x = −2 yРешения (-2; 1), (2; -1).124.1 1 5 + =а)  x y 62 y − x = 1 − 10 y 2 + 23 y − 6=0 6 y (2 y − 1)x = 2 y − 11 5 1+ = 2 y −1 y 6 x = 2 y − 1Решим первое уравнение.210 y 2 − 23 y + 6= 0 ⇔ 10 y − 23 y + 6 = 06 y (2 y − 1)6 y (2 y − 1) ≠ 0D = 529 − 240 = 28923 + 1723 − 17y1 == 2 ; y2 == 0,32020 y = 2, y = 0,36 y (2 y − 1) ≠ 0 ⇔ y = 2, y = 0,3Для y = 2, x = 2 ⋅ 2 − 1 = 3Для y = 0,3, x = 2 ⋅ 0,3 − 1 = −0,4Решения (3; 2), (-0,4; 0,3).x + y = 6б)  1 − 1 = 1 x y 4y = 6 − x1 − 1 = 1 x 6 − x 4Решим второе уравнение.y = 6 − x 2 − x + 14 x − 24=0 4 x (x − 6 ) 2x 2 − 14 x + 24= 0 ⇔  x − 14 x + 24 = 04 x(x − 6 )4 x ( x − 6 ) ≠ 0по теореме Виета: x1 = 12 ; x2 = 2 x = 2, x = 124 x(x − 6) ≠ 0 ⇔ x = 2, x = 12Для x = 2, y = 6 − 2 = 4Для x = 12, y = 6 − 12 = −6Решения (2; 4), (12; -6).

Ответ в задачнике неверен.1 1 1 − =в)  y x 3 x − 2 y = 2111− =0 − y 2( y + 1) 3 x = 2( y + 1)Решим первое уравнение. 22y2 − y − 6= 0 ⇔ 2 y − y − 6 = 06 y ( y + 1)6 y ( y + 1) ≠ 0104 − 2 y2 + y + 6=0 6 y ( y + 1) x = 2( y + 1)D = 1 + 48 = 49 ; y1 =1+ 71− 73= 2 ; y2 ==−44233 y = 2, y = −2 ⇔ y = 2, y = −26 y ( y + 1) ≠ 03Решения (6; 2), (-1; − ).2 4 12 3+ =1 −г)  x xy y x − y = 1123 4−+ =1 y + 1 y ( y + 1) y x = y + 1Решим первое уравнение:7y − 9 − y2 − y=0y ( y + 1)x = y + 12 2− y2 + 6y − 9= 0 ⇔  − y + 6 y − 9 = 0  − ( y − 3) = 0 ⇔ y = 3y ( y + 1) y ( y + 1) ≠ 0 y ( y − 1) ≠ 0Решение (4; 3).125.a + b = 3а) a − b = 1Заменим первое уравнение суммой первого и второго.2a = 4 a = 2a − b = 1 b = a − 1Решение (2; 1).a + 2b = 5б) − a + 7b = 13Заменим второе уравнение суммой первого и второго.a + 2b = 5 a = 5 − 2b9b = 18b = 2Решение (1; 2).2a + 3b = 3в) 2a − 3b = 9Заменим первое уравнение суммой первого и второго.4a = 12a = 3a = 32a − 3b = 9 6 − 3b = 9 b = −1Решение (3; –1).3a + 5b = 8г) − 3a + b = −2Заменим первое уравнение суммой первого и второго.1056b = 6b = 1b = 1− 3a + b = −2 − 3a + b = −2 a = 1Решение (1; 1).126.40m + 3n = −10а) 20m − 7n = −5Умножим второе уравнение на (–2), заменим второе уравнениесуммой первого и второго.1 1 40m + 3n = −10 40m + 3n = −10 m = −17n = 0n = 04 Решение  − ;0  . 4 n = 03m + 2n = 0,5б) 2m + 5n = 4 3 2Умножим второе уравнение на  −  , и заменим второе уравнениесуммой первого и второго.3m + 2n = 0,53m + 2n = 0,5 m = −0,5Решение (−0,5;1) .− 11 n = −5,5 − 11n = −11 n = 1 25m + 2 n = 1в) 15m + 3n = 3Умножим первое уравнение на (–3), и заменим первое уравнениесуммой первого и второго.n = 01 − 3n = 0n = 015m + 3n = 3 15m = 3 m = 1 Решение  ;0  .5 574m + 7 n = 11г) Умножим второе уравнение на5m − 2n = 34m + 7 n = 11 35 m − 7 n = 21 22Решение (1;1) .24m + 7 n = 114m + 7 n = 11 n = 1m = 1 43 m = 43 m = 1 22127. x 2 + y 2 = 61а)  2 x − y 2 = 11Заменим первое уравнение суммой первого и второго.1062 x 2 = 72 2 x − y 2 = 11 x 2 = 36 x = ±636 − y 2 = 11  y = ±5Решения (6; –5), (6; 5), (–6; –5), (–6; 5).2 x 2 − y 2 = 412 x 2 + y 2 = 59б) Заменим второе уравнение суммой первого и второго.2 x 2 − y 2 = 41 24 x = 1002 x 2 − y 2 = 41 50 − y 2 = 41  y = ±3 x = ±5 2 x = 25 x = ±5Решения (5; –3), (5; 3), (–5; –3), (–5; 3). x 2 − 3 y 2 = 22 x 2 + 3 y 2 = 28в) Заменим первое уравнение суммой первого и второго.2 x 2 = 50 x 2 = 25 x = ±5 222 x + 3 y = 28 25 + 3 y = 28  y = ±1Решения (5; –1), (5; 1), (–5; –1), (–5; 1). x 2 − 2 y 2 = 1422 x + 2 y = 18г) Заменим первое уравнение суммой первого и второго.2 x 2 = 32 2 x + 2 y 2 = 18 x 2 = 16 x = ±4  x = ±4 216 + 2 y 2 = 18 2 y = 2  y = ±1Решения (4; –1), (4; 1), (–4; –1), (–4; 1).128. x 2 y 2 + xy = 2а) 2 x + y = 3Введем переменную t = xy .Первое уравнение примет вид t 2 + t − 2 = 0по теореме Виета: t1 = 1; t2 = −2Решим по отдельности две системы xy = 12 x + y = 3 x(3 − 2 x ) = 1 y = 3 − 2x2 x 2 − 3 x + 1 = 0 y = 3 − 2x xy = −22 x + y = 3 x(3 − 2 x ) = −2 y = 3 − 2x2 x 2 − 3 x − 2 = 0 y = 3 − 2x107D = 9 + 16 = 253+5x1 ==243−51x2 ==−421 x = 2, x = −2 y = 3 − 2 xD = 9−8 =13 +1=1x1 =43 −1 1=x2 =421 x = 1, x =2 y = 3 − 2 x12Решения (1; 1), ( ; 2), (2; –1), ( −1; 4).22б) 3(x − y ) − 2(x − y ) = −22 x + 7 y = −5Введем переменную p = x − y .Первое уравнение примет вид3 p − 2 p 2 = −2Решим его:2 p2 − 3p − 2 = 0D = 9 + 6 = 253+53−51= 2 ; p2 ==−p1 =442Решим отдельно две системы:x − y = 22 x + 7 y = −5x = y + 22 y + 4 + 7 y = −5x = y + 29 y = −91x − y = −22 x + 7 y = −51x = y −22 y − 1 + 7 y = −5x = y + 2 y = −1x = 1, y = −11x = y −29 y = −4x=− 17 4 ;−  . 18 9 Решения (1; –1),  − xx2в) 5 y +  y  = 14 5 x + 3 y = 13Введем новую переменную g =108x.y174, y=−189Первое уравнение примет вид:5 g + g 2 = 14 ; g 2 + 5 g − 14 = 0D = 25 + 56 = 81−5+9−5−9g1 == 2; g2 == −722xxТо есть = 2 или = −7yyРешим отдельно две системы:x =2y5 x + 3 y = 13x = −7y5 x + 3 y = 13 x = 2 y, y ≠ 010 y + 3 y = 13 x = −7 y, y ≠ 0− 35 y + 3 y = 1391, y≠0x=32 y = − 1332 x = 2, y ≠ 0y = 1 91 13 ;−  . 32 32 Решения (2; 1), 2г) 4(x + y ) − 7(x + y ) = 155 x − 2 y = 1Введем переменную p = x + y .Первое уравнение примет вид 4 p 2 − 7 p − 15 = 0D = 49 + 240 = 289 = 17 27 − 1757 + 17p1 == − ; p2 ==38485То есть x + y = − или x + y = 34Решим отдельно две системы:109x + y = 35 x − 2 y = 1x = 3 − y15 − 5 y − 2 y = 15x + y = −45 x − 2 y = 15 x = − 4 − y 25−− 5y − 2y = 1 45x=− −y4− 7 y = 294x = 1y = 23x=−14 y = − 2928329 ;−  , (1; 2). 14 28 Решения  −129.xy(x + y ) = 6а)  xy + (x + y ) = 5Введем новые переменные p = xy и t = x + y .Система примет вид pt = 6(5 − t )t = 6p + t = 5 p = 5−tпо теореме Виета: t15t − t 2 = 6 t 2 − 5t + 6 = 0p = 5−tp = 5−t= 3; t2 = 2при t = 3 : p = 5 − 3 = 2при t = 2 : p = 5 − 2 = 3x+ y =3x+ y = 2То есть (1) или (2)  xy = 2 xy = 3Решим первую систему:x = 3 − yx + y = 3x = 3 − y xy = 2 ⇔ (3 − y )y = 2 ⇔  2y − 3y + 2 = 0по теореме Виета: y1 = 2 ; y2 = 1при y = 3 : x = 3 − 2 = 1; при y = 1 : x = 3 − 1 = 2Для первой системы решения (1; 2), (2; 1)Решим вторую систему:x = 2 − yx + y = 2x = 2 − y xy = 3 ⇔ (2 − y )y = 3 ⇔  2y − 2y + 3 = 0110D= 1 − 3 = −2 < 0 Решений нет.4Решениями исходной системы будут решения системы (1).Решения (1; 2), (2; 1).2222б) 3(x − y ) + 2(x + 2 y ) = 5 3(x − y ) + 2(x + 2 y ) = 5 2( x + 2 y ) − x + y = 1 2( x + 2 y ) − ( x − y ) = 1Введем новые переменные p = x − y и t = x + 2 y .222 2 2Система примет вид: 3 p + 2t = 5 3(2t − 1) + 2t = 5 7t − 6t − 1 = 02t − p = 1 p = 2t − 13+ 43− 41D= 9 + 7 = 16 ; t1 == 1; t2 ==−4777129при t = 1 : p = 2 − 1 = 1; при t = − : p = − − 1 = −7779x− y = −x − y = 17То есть (1) или (2) x + 2 y = 1x + 2 y = − 17 p = 2t − 1Решим первую систему:x − y = 1 x = y + 1x = 1x + 2 y = 1  y + 1 + 2 y = 1  y = 0Решим вторую систему:9x− y = −7x + 2 y = − 179x= y−7y − 9 + 2y = − 1779x= y−73 y = 8719x=−21y = 821 19 8 ; . 21 21 Решения: (1; 0),  −5(x + y ) + 4 xy = 32в)  xy (x + y ) = 12Введем переменные t = x + y и p = xy .Система примет вид5t + 4 p = 32 4 p = 32 − 5t pt = 12 pt = 125 p = 8 − 4 t5  8 − t t = 124 5 p = 8 − 4 t5 t 2 − 8t + 12 = 0 44 +1D4 − 1 12= 16 − 15 = 1; t1 == 4; t2 ==55454411151212 5⋅ 4 = 3; при t =: p = 8− ⋅ = 555 4412x+ y = 4Итак, имеем (1) или (2)  x + y = 5 xy = 3 xy = 5при t = 4 : p = 8 −x + y = 4 x = 4 − yРешим систему (1): (4 − y ) y = 3 xy = 3x = 4 − y 2y − 4y + 3 = 0y1 = 3y2 = 1x = 4− yпо теореме Виета:  y = 1, y = 3Для y = 1 : x = 4 − 1 = 3 ; Для y = 3, x = 4 − 3 = 1 ;Решения системы (1) (3; 1), (1; 3)Решим систему (2):12x + y =5 xy = 5D=12 x = 5 − y 12 − y  y = 5 512−yx=5 y 2 − 12 y + 5 = 05144144 − 500− 20 =<02525Решений нет.Решениями исходной системы будут решения системы (1).Решения: (3; 1), (1; 3).2г) 2(x + y ) + 3(x + 2 y ) = 53(x + 2 y ) − 2(x + y ) = 5Введем переменные t = x + y и p = x + 2 y .2 p 2 + 5 + 2 p = 5 2 2Система примет вид: 2 p + 3t = 5 2 p + 3t = 5  5 23t − 2 p = 53t = 5 + 2 p2 p ( p + 1) = 0t = 5 + 2 p 3 3t = 3 + 3 p p = 0, p = −1t = 5 + 2 p 3 3555 2при p = 0 : t = + 0 = ; при p = −1 : p = − = 1333 3x + y = 0 x + y = −1То есть (1) 5 или (2) x + 2 y = 1 x + 2 y = 3x + y = 0− x − y = 0Решим систему (1): 5 5x + 2 y =x + 2 y =1123 3Заменим второе уравнение суммой первого и второго− x − y = 0y = 535 x = − 3y = 53x + y = −1 − x − y = 1Решим систему (2): x + 2 y = 1 x + 2 y = 1Заменим второе уравнение на сумму первого и второго− x − y = 1  x = −3y = 2y = 2 5 5Решения:  − ;  , (–3; 2). 3 3130.x + y = 6x + y = 6x + y = 6x + y = 6а)  2(x + y )(x − y ) = 12 6(x − y ) = 12  x − y = 22xy−=12Заменим первое уравнение на сумму первого и второго2 x = 8x = 4x − y = 2  y = 2Решение: (4; 2).x = y + 1x − y = 12222 x + y = 5 ( y + 1) + y = 5б) x = y + 12y + y − 2 = 0по теореме Виета: y1 = 1y2 = −2при y = 1 : x = 1 + 1 = 2при y = −2, x = −2 + 1 = −1Решения (2; 1), (–1; –2)x − y = 2x − y = 2x − y = 222 x − y = 8 (x − y )(x + y ) = 8 2(x + y ) = 8в) x − y = 2x + y = 4Заменим первое уравнение на сумму первого и второго2 x = 6  x = 3x + y = 4  y = 1Решение (3; 1).x = 5 − yx + y = 52222 x + y = 17 (5 − y ) + y = 17x = 5 − yy1 = 4по теореме Виета:  2 y − 5 y + 4 = 0 y2 = 1г) 113при y = 1 : x = 5 − 1 = 4при y = 4, x = 5 − 4 = 1Решения (1; 4), (4; 1).131. x 2 − y 2 = 3а)  4 4 x − y = 15 x 2 − y 2 = 3 2 x − y 2 x 2 + y 2 = 15()() x − y = 3 x − y = 3  x = 3 + y 2  x 2 = 3 + y 2 23 x + y 2 = 15  x 2 + y 2 = 5 2 y 2 + 3 = 5  y 2 = 122()222 x = 4  x = ±2 2 y = 1  y = ±12Решения (2; 1), (2; –1), (–2; 1), (–2; –1). x 2 − 2 y 2 = 1  x 2 = 2 y 2 + 1 22444 x + 3 y = 129  2 y + 1 + 3 y = 129б) () x 2 = 2 y 2 + 1 47 y + 4 y 2 − 128 = 0 - биквадратное уравнение.D= 4 + 896 = 9004− 2 + 30y2 1 ==47− 2 − 3032y2 2 ==−, чего быть77не может, тт.к y 2 ≥ 0( )( ) x 2 = 2 y 2 + 1 y 2 = 4Итак  x 2 = 9  x = ±3 2 y = 4  y = ±2Решения (3; 2), (3; –2), (–3; 2), (–3; –2). 2 3 y 2 + 15x =2 x 2 − 3 y 2 = 15 22в)  4 24 x − y = 80  3 y + 15 − y 4 = 802 2 3 y 2 + 15x =2 42 9 y + 90 y + 225 − y 4 = 804114 2 3 y 2 + 15x =2 424 9 y + 90 y + 225 − 4 y − 320 = 04 2 3 y 2 + 15x =2 y 4 + 18 y 2 − 19 = 0 - биквадратное уравнение( )( )D−9 + 10= 81 + 19 = 100; y 2 1 == 1; y 2412= −9 − 10 = −19,чего быть не может, т.к.

Характеристики

Список файлов книги