mordkovitch-gdz-9-2000-1-670 (542431), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Система примет вид:t 2 + p 2 = 90 t 2 + 144 + t 2 − 24t = 90 t 2 − 12t + 27 = 0t + p = 12 p = 12 − t p = 12 − tt1=9, t2=3,при t=9; р=3 (1); при t=3; р=9 (2);Рассмотрим первую пару x + 2 y = 9  x = 9 − 2 y  x = 0,6 y − 2 x = 3 5 y = 21 y = 4,2Рассмотрим вторую пару x + 2 y = 3  x = 3 − 2 y  x = −3y = 3 y − 2 x = 9 5 y = 15Решения (−3; 3), (0,6;4,2).x x + y + y = 15б)  ( x + y ) x = 56y p + t = 15  p = 15 − tПусть х+у=р, x =t. Система примет вид: 2 pt = 56yt − 15t + 56 = 0по теореме Виета: t1=8, t2=7,при t=8; р=7 (1), при t=7; р=8 (2).Рассмотрим (1)56xx= =8 x = 8 y, y ≠ 0 9y9 y = 77 x + y = 7y =9Рассмотрим (2)x =7 x = 7 y, y ≠ 0  x = 7y = 1y x + y = 8 8 y = 811156 7; ), (7; 1).9 9x x + y + y = 9xв) Пусть х+у=р, =t.

Система примет вид:(x+y)xy= 20yРешения: (p + t = 9 p = 9 −t pt = 20  2t − 9t + 20 = 0по теореме Виета: t1=5, t2=4,при t=5, p=4 (1), при t=4, р=5 (2).рассмотрим (1)10xx= =5 x = 5 y, y ≠ 0 3y2 x + y = 4 6y = 4y =3Рассмотрим (2)x =4x = 4 y x = 4y x + y = 5 5 y = 5  y = 1Решения: (10 2; ); (4; 1).3 31 1y−xy−x1x − y = 2 xy = 2 xy = 2  x −г)  ( y − x)( y + x)x+ y111 −= 16 = 16 =8  +22 xy xxy ⋅ xy xyЗаменим первое уравнение суммой первого и второго211= 10= 5  x = x x51 11 + = 8  = 3 y = 1 x y y31 1Решение ( ; ).5 3141.( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 yа) ( x − y ) 2 − 2 y = 3 − 2 x( x + y ) 2 + 2( x + y ) − 35 = 0( x − y ) 2 + 2( x − y ) − 3 = 0112( x + y ) 2 + 2 x = 35 − 2 y( x − y ) 2 + 2 x = 3 + 2 y1=2y1=8yПусть х+у=р, х−у=t; p 2 + 2 p − 35 = 02t + 2t − 3 = 0 p = 5, p = −7по теореме Виета: р1=5, р2=−7, t1=1, t2=−3; t = 1, t = −3Всевозможные пары: (5, 1) (1), (−7; 1) (2), (5; −3) (3), (−7; −3) (4).x + y = 5 x = 5 − y x = 31.

 x − y = 1 − 2 y = −4  y = 2 x + y = −7  x = −7 − y  x = −32.  x − y = 1 − 2 y = 8  y = −4x + y = 5 x = 5 − y x = 13.  x − y = 1 − 2 y = −8  y = 4 x + y = −7  x = −7 − y  x = −34.  x − y = −3 − 2 y = 4  y = −2Решения (3; 2), (−3; −4), (1; 4), (−5; −2).12( x + y ) 2 + x = 2,5 − y 12( x + y ) 2 + ( x + y ) − 2,5 = 0б) 6( x − y ) 2 + x = 0,125 + y 6( x − y ) 2 + ( x − y ) − 0,125 = 0Пусть р=х+у, t=х−у. Система примет вид12 р 2 + р − 2,5 = 0 26t + t − 0,125 = 0Найдем р: D=1+120=1211−1 + 11 5−1− 11р1==; р2==−2412242Найдем t: D=1+3=4−1 + 2 1−1 − 21t1==; t2==−121212451 p = 12 , p = − 2t = − 1 , t = 1412Получим 4 случая:115  x = 12 x + y = 12 2 x = 61) ; 2)x − y = − 1  y = x + 1  y = 134 4 5 x + y = 12x − y = 11212 x = 2y = x − 112 x =y =14161131x+ y = −23) x − y = − 1432x = −4y = x + 143x=−8 ; 4)y = − 181x+ y = −2x − y = 11252x = −12y = x − 1125x=−24y = − 7241  57  1 1 1 1  3Решения:  ; ,  ; ,  − ; − ,  − ; − 8   2424  12 3   4 6   8142.41 5+=− 26 x − xy y 2 − xy 736−= x 2 − xy y 2 − xy 511=р, 2=t.Пусть 2x − xyy − xyСистема примет вид1 1 41 45 р + 4t = − 6  p = − 30 − 5 t p = − 30 − 5 t7 p − 3t = 6 − 7 − 28 t − 3t = 6 − 43 t = 435  5305  30 51 p = 10t = − 16 x 2 − xy = 10 ( x − y )( x − y ) = 4  x − y = ±2То есть  2 y( x − y) = 6 y − xy = −6  y ( x − y ) = 6x − y = 2 x = 51) ;y ⋅ 2 = 6 y = 3Решения (5; 3); (−5; −3).45 x + y − 1 − 2 x − y + 3 +б) 31++ x + y − 1 2 x − y + 3Пусть а= x − y = −2  x = −52)  y ( −2) = 6  y = −35=027=0511, b=.

Система примет вид:x + y −12x − y + 354a − 5b + 2 = 03a + b + 7 = 05754a − 5(−3a − 5 ) = − 2b = −3a − 751919a = − 2b = −3a − 75 x + y − 1 = −2Значит, 2 x − y + 3 = 10Заменим первое уравнение суммой первого и второго:1141a = − 2b = 1103 x = 6x = 2 y = 2 x − 7  y = −3Решение (2; −3).§ 7. Системы уравнений как математические моделиреальных ситуаций143.Пусть скорости поездов равны u и v соответственно, тогда скорость их700=5.сближения равна u+v, значитu+vЕсли 2-й поезд отправится на 7 часов раньше первого, то в моментначала движения 1-го поезда между ними будет 700−7v километров, отсюда700 − 7v2-е уравнение:=2.

Получим систему:u+v 700 u + v = 5700 = 5u + 5v u = 140 − v 700 − 7v700 = 2v + 9v 700 = 2u + 9v=2  u + v700=280−2v+9v, 7v=420 ⇒ v=60⇒ u=80.Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.144.Пусть u −скорость лодки, v − скорость течения реки, тогда имеем 14=214 = 2u + 2vu = 7 − vсистему:  u + v70 = 144 − 14v 70 = 144 − 14v14= 2,8  u − v70=98−14v−14v, 28v=28⇒ v=1⇒u=6.Ответ: 6 км/ч, 1 км/ч.145.Пусть u − скорость лодки5 10 u − v = 4Получим систему:  9 =3 u + v 4Ответ: 10 км/ч, 2 км/ч.в стоячей воде, v − скорость течения реки.8 = u − v 2u = 20 u = 1012 = u + v v = 4 − 8 v = 2146.a + b = 12 a = 12 − bПусть a и b искомые числа, тогда: ab = 35ab = 35115(12−b)b=35, b2−12b+35=0по теореме Виета: b1=5, b2=7.Т. к.

а=12−b, то а1=7, а2=5.Ответ: 5 и 7.147.a + b = 46a = 46 − bПусть а и b − искомые числа, тогда:  2 222a + b = 1130 a + b = 11302222(46−b) +b =1130, 2b −92b+2116−1130=0. b −46b+493=0.D = (−46) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 493 = 144 ,46 + 1246 − 12b1==29, b2==17.22a1 = 46 − 29 = 17; a2 = 46 − 17 = 29Ответ: 17 и 29.148.a − b = 24 a = 24 + bПусть а и b − искомые числа, тогда: a ⋅ b = 481 a ⋅ b = 4812b +24b−481=0. D1=144+481=625. b1=−12−25=−37, b2=−12+25=13.Т.

к. по условию задачи b натуральное число, то b1 не подходит, значитb=13⇒а=37.Ответ: (37, 13).149.Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда:a − b = 16a = 16 + b22 22+=+ab553abab + 553 = a + bb2+16b=256+b2+32b+b2−553. b2+16b−297=0. D1=64+297=361.b1=−8−19=−27, b2=−8+19=11. Т.

к. b∈N, то b=11⇒а=27.Ответ: (27, 11).150.Пусть а и b − искомые натуральные числа, тогда:a + b = 50a = 50 − b22 222+=−ab11ab50b − b + 11 = 2500 + b − b − 100bb2−150b+2489=0. D1=752−2489=3136=562.b1=75−56=19, b2=75+56=131. Тогда а1=31, а2<0⇒а=31, b=19.151.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогдаb = 2ab = 2a10a + b = 4( a + b) 6a − 3b = 010a + b = 3ab10a + b − 3ab = 0 2210a + 2a − 6a = 0 2a = a116Решениями полученной системы является пара чисел (0, 0), (2, 4), нопоскольку число 0 не принято считать двузначным, то ответом задачиявляется число 24.Ответ: 24.152.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогда10a + b = 6a + 6b 4a = 5b10a + b − ab = 34 40a + 4b − 4ab − 136 = 050b+4b−5b2−136=0. 5b2−54b+136=0. D=729−680=49=72.27 − 7 2027 + 7 39b1===4, b2==.5555По смыслу задачи b∈N⇒b=4⇒а=5.Ответ: 54.153.Пусть a b − искомое 2-значное число, тогдаa + b = 12a = 12 − b10a + b + 36 = 10b + a 9a + 36 = 9b108−9b+36=9b.18b=144.b=8⇒а=4.Ответ: 48.154.a− искомая дробь, тогдаba +1 1=2a + 2 = b + 1 b = 2a + 1 2 2b +1 22222a + b = 136 a + b = 136 a + b = 136a2+4a2+4a+1−136=0.

5a2+4a−135=0. D1=16–4⋅5(–135)=2716.В условии задачи опечатка.Пусть155.Пусть а и b − стороны прямоугольника, тогдаa + b = 14a = 14 − b 2 222+=100aba + b = 100196+b2−28b+b2=100. b2−14b+48=0. D1=49−48=1.b1=6, b2=8, тогда а1=8, а2=6.Ответ: 6 и 8 см.156.Пусть а и b − катеты, тогда117a + b = 49a = 49 − b 2 222a + b = 1681 a + b − 1681 = 0222b −98b+2401−1681=0. b −49b+360=0. D=2401−1440=961=312.b1=49−31=18, b2=49+31=60.49 + 3149 − 31b1 == 40 ; b2 ==9;22a1 = 49 − 40 = 9 ; a2 = 49 − 9 = 40 ;1⋅ 40 ⋅ 9 = 180 (м2).2Ответ: 180 см2.S=157.Пусть а и b −катеты, с – гипотенуза, тогда:a − b = 23a = 23 + b 2 222+=1369aba + b − 1369 = 0529+2b2+46b−1369=0. b2+23b−420=0.

D=529+1680=2209=472.−23 + 47b1 == 12 ;2−23 − 47b2 == −35 – не подходит по смыслу задачи;2a = 23 + 12 = 35 ; c = 352 + 122 = 37 ; р=12+35+37=84 (дм).Ответ: 84 дм.158.Пусть а и b − катеты, тогдаa + b + 37 = 84 a = 47 − b 2 222a + b = 1369 a + b − 1369 = 02209+2b2−94b−1369=0. b2−47b+420=0. D=2209−1680=529=232.47 − 2347 + 23=12, b2=35. a1=35, a2=12.b1=2211S= ab= ⋅35⋅12=210 (см2).22Ответ: 210 см2.159.Пусть u − скорость лодки в стоячей воде и v − скорость течения реки,20 20+=7 u − v u + vтогда  2 = 5 u − v u + v118По смыслу задачи на u−v и u+v не равны нулю. поэтому можноумножить обе части каждого из уравнений на u2−v2, получаем:20u + 20v + 20u − 20v = 7u 2 − 7v 2 7u 2 − 7v 2 − 40u = 02u + 2v = 5u − 5v7v = 3u77 ⋅ 40v73 v 2u = v=0.−7v2−393227u − 7v − 40u = 049v2−9v2−120v=0.

Характеристики

Список файлов книги