1005155 (540903)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12.25. Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 9U xx , 0 < x < 5, t > 02 x 2 5, 0 ≤ x ≤ 5 2,U ( x, 0 ) = 5 − x, 5 2 < x ≤ 5,U ( 0, t ) = U ( 5, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An esinπ nxn =1l,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 3, l = 5 .Находим:2  2An = 5 552∫0x sindx + ∫ ( 5 − x ) sindx  .55522π nxπ nx5Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =πn5555u = x,du = dx5x2π nx 2 10 2π nx=−cos+x cosdx =5π nxπ nx =5 0 π n ∫05πndv = cosdx, v =sin55πn522π nxu = x2 ,5 5x2π nx 50 xπ nx 250π nx  2cos= −+ 2 2 sin+ 3 3 cos =n5n5n5πππ0=−125π n 250  π n π n 125cos+ 2 2 sin+− 1 . cos4π n2 π n2 π 3n3 21du = − dx∫ ( 5 − x ) sin 5 dx = dv = sin π nx dx, v = − 5 cos π nx =5255πn5π nxu = 5 − x, 5(5 − x )π nx 25π nx 25π n 25πn= −− 2 2 sin+ 2 2 sin .coscos =πn5π n5 52π n2 π n252Тогда2  2  125π n 125π n 250  π n  An =   −cos+ 2 2 sin+− 1  + cos5  5  4π n2 π n2 π 3n3 2π n 25π n  30π n 40  π n 25+cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cos2π n2 π n2  π n2 π 3n 3 2Общее решение исходного уравнения: 3π n  t5  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 210∞22sinπ nx5.13.25.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 2∆U , 0 ≤ r < 3, t > 0, U ( r , 0 ) = 9 − r 2 , U ( 3, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 2, R = 3 .

Находим3r (9 − r ) J(µ ) ∫2An =23 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 3 r= x ⇒ r = 3 x, dr = 3dx , тогда3113An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()nn00∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫02 ⋅ 321182Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ12nµ n40nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==18( S1 − S2 ) =184 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn1872.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 2 µ n2  µn r U ( r , t ) = 72∑ 3J0 t . exp  −9 3 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1414.25. Решить смешанную задачу.U tt = 81U xx ; U ( 0, t ) = −5, U ( 3, t ) = 1;U ( x, 0 ) = 25sin 3π x − 5 + 2 x, U t ( x, 0 ) = 0.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = −5 +1 − ( −5 )3x = −5 + 2 x .Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 81Vxx , V ( 0; t ) = V ( 3; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 25sin 3π x, Vt ( x; 0 ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()tπ na ∫0l 0llllНаходим3325, n = 9;2π nx50π nxAn = ∫ 25sin 3π x sindx = ∫ sin 3π x sindx = 3033 030, n ≠ 9.Bn = 0 .ПолучилиV ( x; t ) = 25cos 27π t sin 3π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = 25cos 27π t sin 3π x − 5 + 2 x .515.25. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .U tt = U xx + 5e−2t sin x .Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ∫ 5e−2 tsin x sin nxdx =010πe5e −2t , n = 1;=n ≠ 1.0,Получаем, чтоU1′′ + U1 = 5e −2t , U1 ( 0 ) = U1′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U1( общ. од н.) = C1 cos t + C2 sin t .6−2 tπ∫ sin x sin nxdx =0U1( част .

неод н.) = A e −2t .U1′( част . неод н.) = −2 A e −2t , U1′′( част . неод н.) = 4 A e−2t .4 A e −2t + A e −2t = 5e −2t ⇒ A = 1 .U1 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t + e −2tU1′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 2e −2t .C1 + 1 = 0,C1 = −1,U1 ( 0 ) = 0,⇒⇒C2 − 2 = 0.C2 = 2.U1′ ( 0 ) = 0.U1 ( t ) = − sin t + 2cos t + e −2t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( − sin t + 2cos t + e −2t ) sin x .7.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания