1005154_1 (540899)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

14.9. Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( 0, t ) = −1, U (1, t ) = −3;U ( x, 0 ) = 9sin 3π x − 1 − 2 x, U t ( x, 0 ) = 0.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = −1 +−3 − ( −1)1x = −1 − 2 x .Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 25Vxx , V ( 0; t ) = V (1; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 9sin 3π x, Vt ( x; 0 ) = 0 .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()t∫π na 0l 0llllНаходим119, n = 3;2π nxAn = ∫ 9sin 3π x sindx = 18∫ sin 3π x sin π nxdx = 1010, n ≠ 3.0Bn = 0 .ПолучилиV ( x; t ) = 9cos15π t sin 3π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = 9cos15π t sin 3π x − 1 − 2 x .115.9.

Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0U tt =1U xx + 37 e−6t sin 7 x .49Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ∫ 37 e−6 tsin 7 x sin nxdx =074π37 e −6t , n = 7;=n ≠ 7.0,Получаем, чтоU 7′′ + U 7 = 37 e−6t , U 7 ( 0 ) = U 7′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 7( общ. од н.) = C1 cos t + C2 sin t .2e−6 tπ∫ sin 7 x sin nxdx =0U 7( част . неод н.) = A e −6t .U 7′( част . неод н.) = −6 A e −6t , U 7′′( част . неод н.) = 36 A e −6t .36 A e −6t + A e −6t = 37e−6t ⇒ A = 1 .U 7 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t + e −6t .U 7′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 6e −6t .C1 + 1 = 0,C1 = −1,U 7 ( 0 ) = 0,⇒⇒C2 − 6 = 0.C2 = 6.U 7′ ( 0 ) = 0.U 7 ( t ) = − sin t + 6cos t + e−6t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( − sin t + 6cos t + e−6t ) sin 7 x .314.22.

Решить смешанную задачу.U tt = 64U xx ; U ( 0, t ) = 2, U ( 3, t ) = −7;U ( x, 0 ) = 2 − 3 x, U t ( x, 0 ) = 24π sin 3π x.Сведем задачу к задаче с однородными граничными условиями для функцииV ( x; t ) = U ( x; t ) − W ( x; t ) ,гдеW ( x; t ) = 2 +−7 − 2x = 2 − 3x .3Тогда получаем следующую смешанную задачу:Vtt = 64Vxx , V ( 0; t ) = V ( 3; t ) = 0, V ( x; 0 ) = 0, Vt ( x; 0 ) = 24π sin 3π x .Общее решение данного уравнения:∞V ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlи2π nx2π nxAn = ∫ V ( x; 0 ) sindx , Bn =Vx;0sindx()l 0llπ na ∫0 tllНаходимAn = 0 .31, n = 9;6π nxBn =24sin3xsindx=sin3xsindx=πππ8π n ∫03n ∫030, n ≠ 9.23π nxПолучилиV ( x; t ) = sin 24π t sin 3π x .Общее решение исходного уравнения:U ( x; t ) = V ( x; t ) + W ( x; t ) = sin 24π t sin 3π x + 2 − 3 x .415.22. Решить смешанную задачу для данного неоднородного волновогоуравненияснулевыминачальнымииграничнымиусловиямиU ( x; 0 ) = U t ( x; 0 ) = 0 , U ( 0; t ) = U (π ; t ) = 0 .U tt =1U xx + 48sin 7t sin 8 x .64Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑U n ( t ) X n ( x ) ,n =1где X n ( x ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; U n ( t ) – решения задачКоши U n′′ + a2λn2U n = f n ( t ) , U n ( 0 ) = U n′ ( 0 ) = 0 ; λn – собственные числа задачиШтурма-Лиувилля и f n ( t ) – коэффициенты разложения f ( x;∞t ) = ∑ fn (t ) X n ( x ) .n =1Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примутвид X ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = sinπ nxl,λn =πnlВ нашем случае для данного уравнения X n ( x ) = sin nx ,λn = n .Задачи Коши: U n′′ + a n U n = f n ( t ) , где f n ( t ) находим из соотношения222π nxf n ( t ) = ∫ f ( x; t ) sindx .l 0llfn (t ) =2ππ96∫ 48sin 7t sin 8 x sin nxdx = π0 48sin 7t , n = 8;=n ≠ 8.0,Получаем, чтоU 8′′ + U 8 = 48sin 7t , U 8 ( 0 ) = U 8′ ( 0 ) = 0 .k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i .U 8( общ . од н.) = C1 cos t + C2 sin t .5πsin 7t ∫ sin 8 x sin nxdx =0U 8( част .

неод н.) = A cos 7t + B sin 7t .U 8′( част . неод н.) = −7 A sin 7t + 7 B cos 7t , U 8′′( част . неод н.) = −49 A cos7t − 49 B sin 7t .−49 A cos 7t − 49 B sin 7t + A cos7t + B sin 7t = 48sin 7t .A = 0, B = −1 .U 8 ( t ) = C1 cos t + C2 sin t − sin 7t .U 8′ ( t ) = −C1 sin t + C2 cos t − 7 cos7t .C1 = 0,U 8 ( 0 ) = 0,⇒C2 = 7.U 8′ ( 0 ) = 0.U 8 ( t ) = 7sin t − sin 7t .Общее решение исходного уравненияU ( x; t ) = ( 7sin t − sin 7t ) sin8 x .6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания