1005154_2 (540901)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

12.9. Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.U t = 16U xx , 0 < x < 1, t > 02 x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 2,U ( x, 0 ) = 1 − x, 1 2 < x ≤ 1,U ( 0, t ) = U (1, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид: π na − t l 2∞U ( x, t ) = ∑ An en =1sinπ nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ... .l 0llВ нашем случае a = 4, l = 1 .Находим:112  2 2An = 2 ∫ x sin π nxdx + ∫ (1 − x ) sin π nxdx  .1 012Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin π nxdx = dv = sin π nxdx, v = − 1 cos π nx =πn11u = x,du = dx2x22 2= − cos π nx +∫0 x cos π nxdx = dv = cos π nxdx, v = 1 sin π nx =nπnπ0πn1u = x2 ,221 x2 22x2=  − cos π nx + 2 2 sin π nx + 3 3 cos π nx  =π nπ n πn0=−14π ncosπn2+12 πnπn sin− 1 .+ 3 3  cos2 π n 2π n2 211u = 1 − x,1dv = sin π nxdx, v = −∫ (1 − x ) sin π nxdx =2du = − dx=1cos π nxπn1πnπn111 1− x= −cos π nx − 2 2 sin π nx  =cos+ 2 2 sin .2 π n2π n πn 1 2 2π nТогда  1πn1πn2 π n An = 2  2  −cos+ 2 2 sin+ 3 3  cos− 1  +πππ4n2n2n2 πnπn πnπn 1168 +cos+ 2 2 sin+ 3 3  cos− 1 . = 2 2 sin2π n2 π n2  π n2 π n 2Общее решение исходного уравнения:U ( x, t ) = 3πn4 π n   −( 4 π n )2 tsin+cos− 1  esin π nx .∑2 π n3 2π 2 n=1  n 22∞213.9.

Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводностив круге.U t = 5∆U , 0 ≤ r < 4, t > 0, U ( r , 0 ) = 16 − r 2 , U ( 4, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ...

– положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 5, R = 4 . Находим4r (16 − r ) J(µ ) ∫2An =24 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 4 r= x ⇒ r = 4 x, dr = 4dx , тогда41112 ⋅ 4232 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()().0n0n0n∫0J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:3x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =30u = ξ 2,du = 2ξ d ξdv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ=x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==32( S1 − S2 ) =324 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn32128.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: 5µ n2  µn r U ( r , t ) = 128∑ 3J0 t. exp  −16 4 n =1 µ n J1 ( µ n )∞1412.22. Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности на отрезке.U t = 25U xx , 0 < x < 4, t > 0 x 2 2, 0 ≤ x ≤ 2,U ( x, 0 ) = 4 − x, 2 < x ≤ 4,U ( 0, t ) = U ( 4, t ) = 0РешениеОбщее решение данного уравнения имеет вид:∞ π na − t l 2U ( x, t ) = ∑ An esinn =1π nxl,2π nxгде An = ∫ U ( x, 0 ) sindx, n = 1, 2, ...

.l 0llВ нашем случае a = 5, l = 4 .Находим:242 1 2π nxπ nx An =  ∫ x sindx + ∫ ( 4 − x ) sindx  .4 2 0442Вычислим отдельно:du = 2 xdx∫0 x sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn442u = x,du = dx2π nxπ nx4 x28cosx cosdx ==−+4π nxπ nx =4 0 π n ∫04πndv = cosdx, v =sin44πn22u = x2 ,π nx2 4 x2π nx 32 xπ nx 128π nx = −cos+ 2 2 sin+ 3 3 cos =πππn4n4n40=−π n 64π n 128  π n 16cos+ 2 2 sin+− 1 . cosπn2 π n2 π 3n3 2du = −dx∫2 ( 4 − x ) sin 4 dx = dv = sin π nx dx, v = − 4 cos π nx =πn444π nxu = 4 − x, 4(4 − x)π nx 16π nx π n 16πn8= −cos− 2 2 sincos+ 2 2 sin . =πn4π n4  2 πn2 π n245Тогда1  1  16π n 64π n 128  π n  An =   − cos+ 2 2 sin+− 1  + cos2 2 πn2 π n2 π 3n3 2π n 16π n  24π n 32  π n 8+ cos+ 2 2 sin+− 1 . = 2 2 sin cosπn2 π n2  π n2 π 3 n3 2Общее решение исходного уравнения: 5π n  t4  3πn4 π n   −U ( x, t ) = 2 ∑  2 sin+ 3  cos− 1  eπ n=1  n2 πn 28∞62sinπ nx4.13.22.

Найтирешениепервойсмешаннойзадачидляуравнениятеплопроводности в круге.U t = 4∆U , 0 ≤ r < 2, t > 0, U ( r , 0 ) = 4 − r 2 , U ( 2, t ) = 0 .РешениеОбщее решение данного уравнения:∞ a2µ 2   µ r U ( r , t ) = ∑ An exp  − 2 n t  J 0  n  ,n =1 R   R где An =R22R J21rU ( r ) J(µ ) ∫0n00 µn r  dr , Jν ( x ) – функция Бесселя первого рода порядка R ν , µ1 , µ 2 , ..., µ n , ... – положительные корни уравнения J 0 ( µ ) = 0 .В нашем случае a = 2, R = 2 . Находим2r (4 − r ) J(µ ) ∫2An =22 J21Сделаем замену2n00 µn r  dr . 2 r= x ⇒ r = 2 x, dr = 2dx , тогда21112 ⋅ 228 23An = 2x1−xJµxdx=xJµxdx−xJµxdx()()()()0n0n∫0 0 n .J1 ( µ n ) ∫0J12 ( µ n )  ∫0Вычислим отдельно интегралы1100S1 = ∫ xJ 0 ( µ n x ) dx и S2 = ∫ x3 J 0 ( µn x ) dx .С этой целью воспользуемся рекуррентными формуламиd νx Jν ( x ) ) = xν J v −1 ( x ) и xJν +1 = − xJν −1 ( x ) + 2ν Jν ( x ) .(dxИз первой из них при ν = 1 и ν = 2 соответственно получаем:xx∫ ξ J (ξ ) dξ = xJ ( x ) , ∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) .20012010Вычислим по частям интеграл:7u = ξ 2,x∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =3du = 2ξ d ξ=dv = ξ J 0 (ξ ) dξ , v = J (ξ ) d ξ0x= ξ J1 ( ξ ) − 2 ∫ ξ 2 J1 ( ξ ) d ξ = x 3 J 1 ( x ) − 2 x 2 J 2 ( x ) .x300Согласно второй из приведенных формул при ν = 1 справедливо равенствоxJ 2 ( x ) = − xJ 0 ( x ) + 2 J1 ( x ) .Тогдаx∫ ξ J (ξ ) dξ = x J ( x ) − 2 x ( − xJ ( x ) + 2 J ( x ) ) = 2 x J ( x ) + x ( x332010102− 4 ) J1 ( x ) .0Вернемся к вычислению интегралов S1 и S2 .

Сделаем замену µn x = ξ , тогдаµnµµnµnξ dξ 1 n1S1 = ∫ J 0 (ξ )= 2 ∫ ξ J 0 (ξ ) dξ =J (µ ) .µ n µ n µn 0µn 1 n0ξ 3 dξ 1S2 = ∫ J 0 (ξ ) 3=µn µ n µ n40=1µ n4∫ J (ξ ) ξ dξ =300( 2µ J ( µ ) + µ ( µ2n0nn2n)− 4 ) J1 ( µ n ) =J1 ( µ n )µn−4 J1 ( µ n )µn3.ПолучаемAn ==8( S1 − S2 ) =84 J1 ( µ n )J12 ( µ n )J21( µn )µ3n= 1 J1 ( µ n ) 4 J1 ( µ n )  J−−µ() =1nµn3  J12 ( µn )  µ n µn832.µ J ( µn )3n 1Общее решение исходного уравнения: µn r 2J0 exp ( − µn t ) .3 2 n =1 µ n J1 ( µ n )∞U ( r , t ) = 32∑18.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания