1612046027-b2966d9bc3565eaf031de379950ee43c (533750), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Изменение потока внешнего поля компенсируется полем, возникающим вследствие токасамоиндукции:B0 ¨ pπr 2 ´ a2 q “Периметр контура равен4a “ 2πr,тогдаr“2aπ80LI.c2012/2013 Экзаменационная работа 1и искомый ток˜ ˆ ˙¸˙ˆ22ccca2 B0 4222I “ B0 ¨ pπr ´ a q “ B0 ¨ a π´1 “´1 .LLπLπРешение задачи 6Через фиксированное поперечноесечение проводника за время dt проωaходит заряд dq=q 2πadt, что эквиваdq qωptq qkлентно току Iptq= dt = 2π = 2π t, протекающему по неподвижному кольцу.Мгновенное магнитное поле в центре кольца радиуса a с током I равноBptq “2πIptqqkez “tez .cacaВнутри круга радиуса r ! a поле можно считать однородным.Тогда поток вектора 1c dBdt через сечение круга радиуса r составит1 dΦ1 dB1 qkπqkr 2“¨ πr 2 “¨ πr 2 “ 2 .c dtc dtc cac aСогласно закону Фарадея циркуляция электрического поля поокружности радиуса r равна2πrEprq “ ´πqkr 21 dΦ“´ 2 ,c dtc aоткудаπqkr 2qkr“´ 22c a ¨ 2πr2c a(направление показано на рисунке).Eprq “ ´81РешенияРешение задачи 7Поле магнитного диполя аксиально симметрично, причем Bα “ 0, поэтому индуцируемое им электрическое поле имеет только азимутальную pα´q компоненту.
Скин-эффектслабый, поэтому считаем, что токи,индуцируемые внутри диска, не меняют распределение магнитного поля. Тогда по закону Фарадея внутри диска имеем ˚ş1 ,tqEα pr, θ, tq ¨ 2πr sin θ “ ´ 1c dBr pr,θdS “dt“ ´ im0 ωeciωtоткудаşθ01θ2iωt ,02 cos2πr 2 sin θ1 dθ1 “ ´2π iωmcr sin θ er3Ê “ Eα pr, θ, tq “iωm0сr 2sin θ eipωt`πq ,ipωt`πq .0ĵ “ σEpr, θ, tq “ σ iωmсr 2 sin θ e˘`можно вычислять по любой поверхности, натяПоток вектора ´ 1c dBdtнутой на контур, но удобно это делать по сферическому сегменту радиса r.Учтем при этом, что r-компонента магнитного поля равнаˆ˙mpmr cos θqrpm ¨ rqrm cos θ2mBr “ ´ 3 ` 3¨ er “ 3´“ 3 cos θ.rr5r5r3r˚Симметрия задачи позволяет вычислить Eα , вообще избегая интегрирования. Для этого запишем уравнение Максвелла через вектор-потенциал:rot E “ ´1 d rot A,c dtоткудаEα pr, θ, tq “ ´ˇˇˇ iω rm ˆ rs ˇiωˇ “ ´ iω m0 sin θ eiωt .Aα pr, θ, tq “ ´ ˇˇccr3 ˇcr2822012/2013 Контрольная работа 2.1, вар. 1Интенсивность тепловыделения в кольце, усредненная по времени, равна (учитываем, что для тонкого диска z « h, r « cosh θ ,dr « cosd θ и элементарный объем dV “ 2πr 2 sin θdrdθ “sin θ“ p2πd ¨ h2 q cos3 θ dθ)`˘ θş0ş0 2xQy “ 12 Re Ê ĵ ˚ dV “ σ ωmс0“ πd ¨ σ` ωm ˘2 θş00с0sin3 θ cos θdθh2sin2 θ cos4 θπdh4“ πd ¨ σ` ωm ˘20сhsin θ¨ h2 cos3 θ dθ “sin4 θ04 .Контрольная работа 2.1, вариант 1Решение задачи 1Из нечетности функции f ptq следует,что Refω =0, а Imfω =2Imf˜ω , гдеf˜ω “żτf ptqeiωt dt.0Мнимая часть подынтегральнойфункции нечетна по ω, поэтомунечетна и спектральная плотность, вчастности, fω p0q=0.Вычислим мнимую часть fω :şτImfω “ 2Im f ptqeiωt dt “0(şτşτ“ 2 Im f ptqeiωt dt “ ´2h sin ωtdt “0“2hω pcos ωτ02´ 1q “ ´ 4hω sin83ωτ22hωˇτcos ωtˇ0 ““ ´hωτ2 sinc2ωτ2 .РешенияИтак, fω =´ihωτ2 sinc2ωτ2(см.
рисунок), |fω |=h|ω|τ2 sinc2ωτ2 .Решение задачи 2Решение задачи значительно упрощается, если принять во внимание следующие соображения. При условии µ1 “ µ2 отраженнаяволна отсутствует для TM-волны, падающей под углом Брюстерак нормалиφT M “ φБ “ arctgn2,n1?где n12 “ ε12 µ12 .Заметим, что при замене E Õ H, ε Õ ´µ все формулы, применимые к TM-волне, переносятся на TE-волну и наоборот (этообусловлено симметричностью уравнений Максвелла без сторонних зарядов и токов проводимости по отношению к такой замене).В частности, угол Брюстера будет характеризовать TE-волну, недающую отражения, и выразится как ˚ccεµ2µ2n2φT E “ φБ “ arctg“ arctg“ arctg.n1εµ1µ1˚В частном случае ε1 “ ε2 и µ1 “ µ2 отраженная волна отсутствует прилюбом угле падения. Это следует из того, что при этих условиях в формулеФренеля для TE-волныE1H1µ2 sin φ2 cos φ ´ µ1 sin φ cos φ2““E0H0µ2 sin φ2 cos φ ` µ1 sin φ cos φ2углы φ2 и φ равны и числитель обращается в нуль.Видно также, что если φ ‰ π4 , то отраженная волна не обращается в нульдаже при n1 “ n2 , если ε1 ‰ ε2 , µ1 ‰ µ2 , так что ε1 µ1 “ ε2 µ2 .842012/2013 Контрольная работа 2.1, вар.
1Решение задачи 3Запишем вектор напряженности электрического поля в отраженной волне какE1 pz, tq “ pa1 , b1 q eipkz´ωtqИз граничного условия Et0 “ Et1 при z “ 0 следует, чтоa1 “ ´E0 , b1 “ ´iE0 .Тогда суперпозиция падающей и отраженной волн даетE0 pz, tq ` E1 pz, tq “ E0 e´iωt pe´ikz ´ eikz , ipe´ikz ´ eikz qq “(1)“ ´2iE0 sin kz e´iωt p1, iq “ 2E0 sin kz e´iωt p´i, 1qМагнитное поле в падающей и отраженной волнах находим,пользуясь общим выражением H “ ωc rk ˆ Es для плоской волныв вакууме:H0 “cω rkˆ E0 s “ r´ez ˆ E0 s “ ´p0, 0, 1q ˆ p1, i, 0qE0 eip´kz´ωtq ““ E0 pi, ´1q eip´kz´ωtq ;H1 “cω r´kˆ E1 s “ rez ˆ E1 s “ p0, 0, 1q ˆ p´1, ´i, 0qE0 eipkz´ωtq ““ E0 pi, ´1q eipkz´ωtq .Тогда суперпозиция магнитных полей в падающей и отражен85Решенияной волнах дает˚H0 pz, tq ` H1 pz, tq “`˘“ E0 e´iωt ipe´ikz ` eikz q, ´pe´ikz ` eikz q “(2)“ 2E0 cos kz e´iωt pi, ´1qСравнивая выражения, записанные в (1),(2), видим, чтоH “ ´E, если sin kz “ cos kz, т.
е. при kz “ π4 ` πn. Отсюда˙ˆπ 1` n , n “ 0, 1, 2, ...zn “k 4Решение задачи 4Решим задачу для общего случаяHlm -волны. Тип отраженной и прошедшей волны можно установить наоснове следующих соображений. Падающая волна представляет собой суперпозицию плоских волн с частотой ω и волновыми вектораmπми с компонентами k0z , k0x “ ˘ lπa и k0y “ ˘ b . При отражении и преломлении каждой плоской волны сохраняются частотаи тангенциальные компоненты волнового вектора. Поскольку решения для отраженной и прошедшей волн являются результатомсуперпозиции соответствующих плоских волн, то параметры kx ,ky и ω войдут в результирующие решения без изменений. С другой стороны решения для отраженной и прошедшей волн должны удовлетворять волновому уравнению с граничными условиямина стенках волновода.
Для прямоугольного волновода это могутбыть только волны типа Elm или Hlm , причем, индексы l, m однозначно задаются геометрическими размерами a, b и значениями˚Свойства стоячей волны в случае произвольной поляризации E описаны,например, в учебном пособии [5].862012/2013 Контрольная работа 2.1, вар. 1kx , ky , которые, как уже было отмечено, не изменяются при отражении и прохождении волны.
Elm -волна исключается, так как еепоявление сделает невозможным одновременное выполнение условий непрерывности нормальных компонент Dn и Bn на границераздела двух сред. Таким образом, и отраженная и прошедшаяволна имеют тип Hlm с теми же индексами и частотой, что и падающая.С учетом сделанных предварительных замечаний выпишемвыражения для всех компонент полей в падающей “0”, отраженной “1” и прошедшей “2” волнах ˚ :H0z px, y, z, tq “ H0 cospkx xq cospky yq eipk0z z´ωtqH0x px, y, z, tq “ik BH0zκ 2 0z Bx“ ´ ikκ0z2kx H0 sinpkx xq cospky yq eipk0z z´ωtqH0y px, y, z, tq “ik BH0zκ 2 0z By“´E0x px, y, z, tq “i µ0 ω BH0zByκ2 cik0z kyH0 cospkx xq sinpky yq eipk0z z´ωtqκ2“´0zE0y px, y, z, tq “ ´ κi2 µ0cω BHBx “iky µ0 ωH0 cospkx xq sinpky yq eipk0z z´ωtqκ2cikx µ0 ωH0 sinpkx xq cospky yq eipk0z z´ωtqκ2 cE0z px, y, z, tq “ 0H1z px, y, z, tq “ H1 cospkx xq cospky yq eip´k0z z´ωtqH1x px, y, z, tq “ik0z kxH1 sinpkx xq cospky yq eip´k0z z´ωtqκ2H1y px, y, z, tq “ik0z kyH1 cospkx xq sinpky yq eip´k0z z´ωtqκ2˚Если записать падающую волну как 9 eipωt´k0z zq (вместо eipk0z z´ωtq ), тово всех последующих формулах следует заменить kz на ´kz и ω на ´ω.87РешенияE1x px, y, z, tq “ ´E1y px, y, z, tq “iky µ0 ωH1 cospkx xq sinpky yq eip´k0z z´ωtqκ2 cikx µ0 ωH1 sinpkx xq cospky yq eip´k0z z´ωtqκ2cE1z px, y, z, tq “ 0H2z px, y, z, tq “ H2 cospkx xq cospky yq eipk2z z´ωtqH2x px, y, z, tq “ ´ ikκ2z2kx H2 sinpkx xq cospky yq eipk2z z´ωtqH2y px, y, z, tq “ ´ik2z kyH2 cospkx xq sinpky yq eipk2z z´ωtqκ2E2x px, y, z, tq “ ´iky µ2 ωH2 cospkx xq sinpky yq eipk2z z´ωtqκ2 cE2y px, y, z, tq “ikx µ2 ωH2 sinpkx xq cospky yq eipk2z z´ωtqκ2cE2z px, y, z, tq “ 0,πm222где обозначены kx = πla , ky = b , κ =kx `ky ; l=0, 1, 2, ..., m=0, 1, 2, ...,исключая комбинацию tl, mu “ t0, 0u.Тогда гран.
условия E0x ` E1x =E2x , H0x ` H1x =H2x на границе раздела z=0 после подстановки выписанных выражений и сокращений на общие множители (а также с учетом µ0 =µ1 =µ2 =1)принимают вид:"k0z H0 ´ k0z H1 “ k2z H2H0 ` H1 “ H2с решением1´αH1“,H01`α882012/2013 Контрольная работа 2.1, вар. 2где обозначено α “k2zk0z“bω2bc2n2 ´kx2 ´ky2ω2´kx2 ´ky2c2при отражении терпит скачок на π.d.H1H0ă 0, т. е. фаза волны22ω2 2n ´ π´ πbac222ω2´ π´ πbac2В случае l “ m “ 1 α “p q p q.p q p qКонтрольная работа 2.1, вариант 2Решение задачи 1Из нечетности функции f ptq следует,что Refω =0, а Imfω =2Imf˜ω , гдеf˜ω “żτf ptqeiωt dt.0Мнимая часть подынтегральнойфункции нечетна по ω, поэтомунечетна и спектральная плотность, вчастности, fω p0q=0.Вычислим мнимую часть fω :şτImfω “ 2Im f ptqeiωt dt “0(şτşτşτ2htdpcos ωtq ““ 2 Im f ptqeiωt dt “ 2 hτ t sin ωtdt “ ´ ωτ0“´00ˇ2hˇτωτ t cos ωt 0“ ´ 2hω cos ωτ ``2hωτ2hω2 τşτ02hτ cos ωτ `cos ωtdt “ ´ ωτsin ωτ “2hpsin ωτω2 τ892hω2 τ´ ωτ cos ωτq.ˇτsin ωtˇ0 “РешенияИтак, fω =i ω2h2 τ psin ωτ ´ ωτ cos ωτq (см.
рисунок),|fω |= ω2h2 τ |psin ωτ ´ ωτ cos ωτq|.Решение задачи 2Естественный свет можно разложить на TE- и TM-волны. Приµ1 “ µ2 формулы Френеля для отраженных волн имеют видˇsinpθ0 ´θ2 qE1 ˇ“ ´ sinpθE0 ˇ0 `θ2 qTEˇE1 ˇE0 ˇTM“tgpθ0 ´θ2 qtgpθ0 `θ2 qВидно, что амплитуда отраженной волны может обращатьсяв ноль только для TM-волны при условии θ0 ` θ2 “ π2 (из-за особенности в знаменателе). С другой стороны по закону Снеллиусаsin θ0sin θ0n2sin θ0“““ tg θ0 “,sin θ2sinpπ{2 ´ θ0 qcos θ0n1что определяет угол Брюстера θ0 “ θБ через показатели преломления сред.По условию задачи 2θБ “ φ, откуда искомый показатель преломления жидкостиn1 “ n2 ctgφ3φ“ ctg .222Решение задачи 3Подставим выражение B “ rot A в уравнение Максвеллаˆ˙1 Bprot Aq1 BA1 BB““ rot ´,rot E “ ´c BtcBtc Bt902012/2013 Контрольная работа 2.1, вар. 2откуда имеем:ˆ1 BArot E `c Bt˙“ 0.Следовательно, вектор, записанный внутри ротора, является градиентом скалярной функции координат.
Эта функция –ϕ, котораяпо условию нашей задачи равна нулю:E`1 BA“ ´∇ϕ “ 0.c BtТаким образом, соотношения, позволяющие найти поля E и Bчерез A, установлены.Отметим, что, поскольку вектор-потенциал зависит только отодной координаты, то он описывает плоскую волну. Поэтому?B “ εµrn ˆ Es.С учетом вида зависимости заданного A от r и tBA“ ´iωA,Btrot A “ ik ˆ A.Тогда искомые поля легко находятсяE“´1 BAωωω“ i A “ i pa, ibqeipkz´ωtq “ pa, ibqeipkz´ωt`π{2q ,c Btcccчто представляет собой левополяризованнуюэллиптическую волaну с мгновенной амплитудой E “ ωc a2 sin2 ψ ` b2 cos2 ψ, гдеψ “ kz ´ ωt.B “ rot A “ ik ˆ A “ ikp0, 0, 1q ˆ pa, ibqeipkz´ωtq ““ ikp´ib, aqeipkz´ωtq “ kpb, iaqeipkz´ωtq ,что представляет собой левополяризованнуюэллиптическую волaну с мгновенной амплитудой B “ k b2 cos2 ψ ` a2 sin2 ψ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
