1612046027-b2966d9bc3565eaf031de379950ee43c (533750), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пусть θ1 ! 1.Тогда согласно закону Снеллиуса угол преломления на первойгранице равенθ1.nУгол падения на вторую границу равен θ2 “ α ´ ψ1 . Рассмотрим сначала случай ψ1 ă α, представленный на рисунке. Тогдаθ2 ą 0. Угол преломления на второй границеψ1 “ψ2 “ nθ2 .Поскольку нормаль ко второй границе составляет с горизонталью угол α, то угол наклона выходящего луча равен1002012/2013 Контрольная работа 2.2, вар. 1ˆ˙θ1θ1 “ α ´ ψ2 “ α ´ n α ´“ θ1 ´ pn ´ 1qα.n(1)Если α ă ψ1 , то θ2 ă 0 и ψ2 ă 0 – преломленный луч выйдет по другую сторону от нормали, нежели на рисунке. Нетрудноубедиться, что формула (1) подходит и для этого случая.Теперь рассмотрим два луча, исходящие из щелевого источника: один – горизонтально, другой – под малым угломpn ´ 1qα. Прошедшие черезпризму лучи наклонены подуглами p1 ´ nqα и 0 соответственно.
Продолжения выходящих лучей пересекаются в точке S1на высоте d1 “ apn ´ 1qα над источником S. Т. е. выходящие лучираспределены так, как если бы призмы не было, а вместо щелевого источника-оригинала был щелевой источник-изображение ˚ .Очевидно, что нижняя призмасоздает изображение, смещенноена расстояние d2 “ apn ´ 1qβ внизот оригинала. Таким образом, система эквивалентна схеме Юнга.Оба изображения когерентны. Но,поскольку в точке C фазы лучей,выходящих из верхней и нижнейпризмы, равны, а расстояния S1 Cи S2 C различны, то нижний источник-изображение отстает по˚Наши рассуждения справедливы, пока вертикальный размер призмыменьше либо одного порядка с d1 ! a.
В противном случае продолжениелуча, преломленного на расстоянии h " apn ´ 1qα от оптической оси, уже непройдет через точку S1 , пучок преломленных лучей перестанет быть гомоцентрическим.101Решенияфазе от верхнего:¯´´aaa2 ` d21 ´ a2 ` d22 « k a `φS2 ´ φS1 “ k“kd21 ´d222a2 pn´1q2 α2 ´a2 pn´1q2 β2“ ka2a“ kapn ´ 1q2 αd212a´a´d222a¯“2 ´β22Другой дополнительный сдвиг по фазе δφ в точках экранавозникает из-за несимметричного расположения источников относительно плоскости x “ 0:δφ “ k1pd1 ` d2 q d2 ´dd2 ´ d21a2 pn ´ 12 qpβ2 ´ α2 q2“k 2“k.L2L2LФаза в интерференционном слагаемом Ipxq включает оба фактора:2 qx“φpxq “ pφS2 ´ φS1 q ` δφ ` k pd1 `dL´`1“ k a2 pn ´ 12 qpα2 ´ β2 q 2a´12L˘`apn´1qpα`βqxL¯.Положение полос максимальной интенсивности находим из условия φpxq “ 2πm, где m - целое.
Получим:xmax,m ““L2πk apn´1qpα`βq mλLapn´1qpα`βq m`L´a2 pn´ a2 pn ´ 1q2´ 1qpβ ´ αq.`12a´12L˘pα2 ´β2 qLapn´1qpα`βqРасстояние между интерференционными полосами:∆xmax “λLapn ´ 1qpα ` βq102“2012/2013 Контрольная работа 2.2, вар. 2Наконец, обратим внимание на то, что яркости изображенийне одинаковые, поскольку площади призм различны. В этом случае интенсивность на экране зависит от x какIpxq “ I0 p1 ` A cos φpxqq ,где |A| ă 1.Контрольная работа 2.2, вариант 2Решение задачи 1Воспользуемся результатом,полученным при решении задачи 1 вар.1 (см. формулу (3)на стр. 96) для общего случая трех промежутков длинойL1 , L2 , L3 с оптически плотной средой в среднем промежутке:l1 ´ l2 “d22pL1 `nL2 `L3 q .В нашем случае L1 “ L2 “ L3 “l1 ´ l2 “32`nLs3 :¨d22Ls .Таким образом, щелевые источники O1 , O2 излучают с фа3d2зовым сдвигом k 2`n.
Тогда интенсивность в точках экрана¨ 2Lsзадается выражениемˆˆ˙˙d ¨ px ´ d{2q3d2Ipxq “ I0 1 ` cos k`¨L2 ` n 2LsУсловие нулевого максимума:103Решенияkоткудаˆx0 “3d2d ¨ px0 ´ d{2q`¨L2 ` n 2Ls˙“ 0,d3d2 Ld3d¨L´¨“ ´¨2 2 ` n 2Ls d2 2 ` n 2LsВидность мала (источники некогерентны), если разброс по фазе за счет немонохроматичности δk “ δωc превышает π:ˇˇδω ˇˇ d ¨ px ´ d{2q3d2 ˇˇěπ`¨c ˇL2 ` n 2Ls ˇУмножим обе части неравенства на|x ´ x0 | ěLcd¨δω :πLcd ¨ δωКритическое расстояние от точки x0 оценивается как|xc ´ x0 | “πLcd ¨ δωРешение задачи 2Способ 1 (через матричный формализм).Если рассматривать в качестве оптическойсистемы линзу и зеркало, то матрица M0 оптической системы равна произведению матриц MRпреломления на сферической границе ”воздухстекло“, пустого промежутка в стекле Tn , отражения R от плоского зеркала, пустого промежутка в стекле Tn1 и преломления на сферическойгранице ”стекло-воздух“ MR1 :M0 “ MR1 ¨ Tn1 ¨ R ¨ Tn ¨ MR1042012/2013 Контрольная работа 2.2, вар.
2Составим матрицы по правилам матричного формализма ивыполним умножение ˚ :¨˝10´ 1´nR¨“˝11˛¨‚¨˝0n´1R1¨“˝1 ´Rn0˛ ¨‚¨ ˝1n´1R¨“˝1˛¨‚¨˝1 ´Rn0011˛ ¨‚¨ ˝1n´1R01100 ´1˛ ¨‚¨ ˝1˛¨‚¨˝00 ´1˛ ¨R1 ´n0 1˛ ¨‚¨ ˝‚¨ ˝´1 `n´1RRn101˛ ¨‚¨ ˝2n˛¨‚¨˝1´Rnn´1R´1˛´10´ n´1Rn´1n´ n´1R1n2Rn1˛Rn11˛˛‚“‚“‚“‚˚Поскольку после отражения луч движется влево, длина промежутка вматрице Tn1 отрицательна (´R). Кроме того, описание преломления после отражения в рамках матричного формализма нуждается в корректировке.
Этосвязано с тем, что набора параметров tx, α, Ru еще не достаточно, чтобы однозначно задать угол между падающим лучом и нормалью к поверхности.Необходимо также уточнить, вправо или влево движется луч. Если произошло нечетное число отражений, то при составлении текущей матрицы преломления достаточно принять обратное правило знаков для радиуса кривиз1ны поверхности. Поэтому, в выражении для элемента (2,1) матрицы MRмыприписали положительный радиус кривизны R вогнутой поверхности. Еслиперед преломлением луч испытал четное число N отражений (включая N=0),то действует обычное правило знаков.
Поэтому в матрице MR мы приписалиположительный радиус кривизны выпуклой поверхности.105РешенияВыпишем отдельно элементы матрицы M0 :´ 1 “ 13 ,m11 “2nm12 “2Rn“163 ,m21 “ 2 n´1nR “23R“ 61 ,1m22 “ 2 n´1n ´ 1 “ ´3.Теперь воспользуемся стандартными формулами матричногоформализма ˚ . Положение изображения источникаd2 “ ´1¨ 6 ` 16m11 d1 ` m123“ ´ 311 “ ´11 ă 0m21 d1 ` m22¨6´63Изображение находится слева: на 5 см левее источника.УвеличениеK “ m21 d2 ` m11 “ ´11 13` “ ´ ´ изображение перевернутое.632Способ 2 (эффективная схема без зеркала).Решение упрощается, если учестьзнакомое из обыденной практикисвойство: отраженный от плоского зеркала луч симметричен продолжению падающего.
Тогда ход отраженных лучей можно анализировать по дополнительной картине, полученной симметричным отображением отраженных лучей. Ход лучей на этой картине будет в точности совпадать с тем, какой наблюдался бы вслучае одной сферической линзы (вместо полушара и зеркала).После нахождения изображения на вспомогательной картине его˚Эти формулы с использованием других обозначений приведены, например, на стр. 93 учебного пособия [6].1062012/2013 Контрольная работа 2.2, вар. 2истинное положение получается обратным симметричным отображением. Для сферической линзы обратное фокусное расстояниеравно (см.
задачу 1.34 из [2])n´1211“2““fnR3R6Левая и правая главные плоскости совпадают и проходят через центр линзы.Тогда эффективное расстояние до источника a˚ “ a ` R “ 10и искомое расстояние находится из основной формулы линзы1115´3111111“ ˚` ˚ Ñ ˚ “ ´ ˚ “ ´““fabbfa6 103015Отображая найденную точку относительно плоскости симметрии (где расположено зеркало), получим действительное изображение в точке на расстоянии 15-4=11 см левее крайней точки полусферы. Из рисунка видно, что размеры предмета и изображения относятся так же, как расстояния от них до центра линзы(см. на ход падающего и отраженного из центра линзы лучей).15“ 32 .
Из рисункаПоэтому увеличение по модулю равно |K| “ 10видно, что коэффициент увеличения отрицателен.Решение задачи 3Для определения амплитуды волны в заданнойточке на оси воспользуемся диаграммой Френеля.Действие полной 1-й зоны Френеля описывается вектором OM, а 2-й зоны Френеля – вектором E2 “ MOна вертикальном диаметре окружности радиуса E0(см.
рисунок с диаграммой Френеля).После закрытия полупрозрачной пленкой? действие первой?зоны Френеля уменьшается в 2 раз(так как E9 I) и описывается вектором E1 длиной?0.E1 “ 2E2107РешенияВекторы E1 и E2 направлены противоположно и в сумме даютˆ˙1E “ E2 1 ´ ?2с амплитудой´? ¯E “ E0 2 ´ 2 .Тогда интенсивность в заданной точке равна´? ¯2I “ I0 2 ´ 2 .Решение задачи 4Лучи, выходящие из накв параксиальном приближениилонных граней бипризмы,распределены так, как будто они исходят отпары точечных источников S1 , S2 , смещенных на d “ apn ´ 1qα симметрично относительно оригинального источника S (см. решение задачи 4 КР2.2 вар.
1 2012-2013 ˚ ).Изображение S0 источника лучей, выходящих из вертикальной грани бипризмы, находится там же, где оригинал. Таким образом,система эквивалентна схеме Юнга с тремящелевыми источниками. Яркости источников пропорциональныплощадям соответствующих граней бипризмы. Поэтому для интенсивностей и полей, создаваемых на экране каждым источником в отдельности (без учета интерференции), имеем:I0 “ 2I1 “ 2I2 , E0 “˚??2E1 “ 2E2 .Как и в задаче 1-го варианта, мы полагаем вертикальный размер бипризмы меньше или одного порядка с d, что обеспечивает гомоцентричностьпреломленных пучков.1082012/2013 Контрольная работа 2.2, вар.
2Кроме того, покажем, что источники-изображения S1 , S2 с одной стороны и S0 – с другой, излучают в общем случае несинфазно. Для этого рассмотрим два луча, преломленных под разнымиуглами в окрестности точки P1 (соответственно на наклонной ина вертикальной грани). Эти лучи имеют в точке P1 одинаковуюфазу, поскольку они проходят одну и ту же оптическую длинупути – от оригинального источника S до точки P1 .
Когда мы описываем соответствующие преломленные лучи как исходящие отисточников-изображений S0 и S1 , то равенство их фаз в точке P1остается в силе. Но оптическая длинахода луча до точки P1 из S0 одна, а изS1 в общем случае – другая. Отсюдаследует, что источники S0 и S1 излучают несинфазно. В силу симметриизадачи то же относится к источникуизображению S2 .Определим оптическую разностьхода лучей S0 P1 и S1 P1 . В параксиальном приближении имеем˙ ˆ˙ˆd¨hh2d2pd ´ hq2´,´ a`“∆ℓ10 « a `2a2a2aaгде h – полуширина малого основания трапеции в поперечномсечении бипризмы. Поэтому отставание S1 по фазе относительноS0 составляетˆ 2˙dd¨hd ¨ pd ´ 2hqδφ10 “ ´k´“ ´k2aa2aОчевидно, что такое же отставание по фазе имеет S2 относительно S0 .109РешенияТогда в результате суперпозиции в точке экрана x формируется полеEpxq “ E0 eiφ0 `E1 eiφ1 `E2 eiφ2Средняя по времени интенсивность равнаxIpxqy “c˚8π EpxqE pxq“ciφ08π pE0 e“c8π“c28π E0`“`E1 eiφ1 `E2 eiφ2 qpE0 e´iφ0 `E1 e´iφ1 `E2 e´iφ2 q “`˘E02 ` E12 ` E22 ` E0 E1 ei∆φ01 ` e´i∆φ01 ``˘˘`˘` E0 E2 ei∆φ02 ` e´i∆φ02 ` E1 E2 ei∆φ12 ` e´i∆φ12 “`1`12`12`?2 cos ∆φ01 `?˘2 cos ∆φ02 ` cos ∆φ12 “??˘`“ I0 2 ` 2 cos ∆φ01 ` 2 cos ∆φ02 ` cos ∆φ12 ,где разности фаз в параксиальном приближении выражаются как´¯d2d2hd∆φ01 “ k d¨x“´`´L2L2aa“k´apn´1qαxL`apn´1q2 α2 pL´aq2L´∆φ02 “ k ´ d¨xL ´´“ k ´ apn´1qαx`Ld22L`d22a´¯´ pn ´ 1qαh ;hdaapn´1q2 α2 pL´aq2L¯“¯´ pn ´ 1qαh ;2apn´1qαx, L “ a ` b.∆φ12 “ k 2d¨xL “kLПрименив к pcos ∆φ01 ` cos ∆φ02 q формулу суммы косинусов,получим1102012/2013 Экзаменационная работа 2´¯¯? ´∆φ01 ´∆φ0202“xIpxqy “ I0 2 ` 2 2 cos ∆φ01 `∆φ`cos∆φ¨cos1222´´¯?apn´1q2 α2 pL´aq“ I0 2 ` 2 2 cos k apn´1qαx¨cosk´pn´1qαh`L2L` cos k 2apn´1qαxL¯?`“ 2I0 1 ` 2 cos Ax ¨ cos B `12˘cos 2Ax ,´¯apn´1q2 α2 pL´aq,B“k´pn´1qαh, k“где A “ k apn´1qαL2LНа графике приведены кривыеI(x) (в относительных единицах) дляразличных соотношений параметровL, a, h.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
