1612046027-b2966d9bc3565eaf031de379950ee43c (533750), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Матрица составной линзыравна произведению двух матриц: A “ M2 M1 , где M1,2 – матрицыпреломления на первой и второй границах линзы соответственно.229РешенияM2 M1 “˜11´n2´|R2 |01¸ ˜¨1n1 ´1´ ´|R1|01¸.Вычислим элемент1 ´ n2 n1 ´ 1p1 ´ n1 q|R2 | ´ p1 ´ n2 q|R1 |a21 “ ´`“´.|R2 ||R1 ||R1 | ¨ |R2 |С другой стороны a12 “ ´ f1 , откуда фокусное расстояниеf“|R1 | ¨ |R2 |ă 0 ´ линза рассеивающая.p1 ´ n1 q|R2 | ` p1 ´ n2 q|R1 |В случае |R1 | “ |R2 | “ R фокусное расстояние равноf “´R2¨2p n1 `n2´ 1q.Решение задачи 3Условие максимума m-го порядка в отраженном свете с учетом того, что скачок по фазе, равный π, возникает только приотражении от передней границы:p2m ´ 1qλ1, m “ 1, 2, 3, ...4nДля наименьшей длины волны λ1 “ 500 нм, соответствующейзеленому цвету, имеемd1 “p2m ´ 1q ¨ 500« 94 ¨ p2m ´ 1q.4 ¨ 1.33По условию, эта толщина не превышает 200 нм, откуда m “ 1.Тогда для нижней части пленки имеемλ2d2 “.4nИскомая разность толщин равна50∆λ““ 9.4 нм.∆d “4n4 ¨ 1.33d1 “2302015/2016 Экзаменационная работа 2Экзаменационная работа 2Решение задачи 1Разрешение, ограниченное размером δx пикселя, оправдано,когда этот размер не меньше размера дифракционного пятна вфокальной плоскости:δx ě f ¨ θ “ f ¨fλ“λ¨ .ddТогда условие на размер матрицы, содержащей N пикселейвдоль одной стороны:X ě N ¨ δx “ N λ ¨f.dМинимальные размеры матрицы, обеспечивающие заданноеразрешение во всем интервале параметров, отвечают значениямλ “ 600 нм, fd “ 22:Y “ Ny λ ¨fd“ 4000 ¨ 600 ¨ 10´9 ¨221“ 5.28 ¨ 10´2 м « 5.3 см,X “ Nx λ ¨fd“ 6000 ¨ 600 ¨ 10´9 ¨221“ 7.92 ¨ 10´2 м « 8 см.Решение задачи 2Эффективное число зон Френеля, укладывающихся в отверстие (для наблюдателя в точке P ), определяется выражениемm“a2.λzpОтсюда видно, что одновременное увеличение вдвое диаметраa отверстия и расстояния zp до точки P приводит к удвоениюэффективного числа зон Френеля.Построим диаграмму Френеля для произвольного начальногоразмера отверстия:231РешенияE0 – поле падающей волны,E – поле волны в точке P при начальном числе зон Френеля,E1 – поле волны в точке P при конечном числе зон Френеля.Имеем:E “ 2E0 sin α2 , E 1 “ 2E0 sin α,E 12E2“´sin αsin α2¯2“ 4 cos2α2´“ 4p1 ´ sin2 α2 q “ 4 1 ´“E24E02¯.Отсюда для интенсивности получимˆ˙I1I “I 4´.I0Решение задачи 3Поле за стандартной дифракционной решеткой складываетсяиз N слагаемых видаÊn “ Ê1 eipnkd sin θ`kzp ´ωtq ,где θ – угол наблюдения, Ê1 – общий для всех щелей предэкспоненциальный множитель.В случае максимума m-го порядка kd sin θ “ 2πm и суммарноеполе складывается из N синфазных волн:Ê “ N Ê1 eipkzp ´ωtq .Тогда интенсивность выражается какI 9 E12 N 2 .232(1)2015/2016 Экзаменационная работа 2Добавление одной щели на расстоянии x от первой щели даетслагаемое Ê1 eikx sin θ в выражениидля поля Ê:¯´Ê 1 “ Ê1 N ` eikx sin θ .Квадрат модуля Ê 1 находим по теореме косинусов`˘|Ê 1 |2 “ E12 N 2 ` 2N cospkx sin θq ` 1 ,`˘откуда I 1 9 E12 N 2 ` 2N cospkx sin θq ` 1 .Сравнивая с I из (1) и учитывая условие на θ, находим˙ˆcosp2πm xd q11` 2 .I “ I 1`2NN˚Решение задачи 4Кратко опишем картину явления.
Поддействием силы со стороны электрического поля падающей волны заряд приобретает: Таким образом,ускорение, а вместе с ним d.заряд становится источником излучения, тоесть на нем происходит рассеяние.Мощность, излучаемая в элементарный телесный угол в волновой зоне, в дипольном приближении равнаˇˇ2: ˆ n ˇˇc ˇˇ dc 2dJ “E dσ,ˇ 2 ˇ r 2 dΩ “4π ˇ c r ˇ4π 0:“где dq2m E0 .˚Условие x “ ´d соответствует стандартной дифракционной решетке с21числом штрихов N ` 1. Видно, что в этом случае II “ pN`1q.N2233РешенияТогда дифференциальное сечение рассеяния без спицыdσ“ r 2 sin2 θ,dΩˇ ˇˇ:ˇсо спицей, учитывая ˇdˇ“q2m E0 sin α:dσ“ re2 sin2 α sin2 θ,dΩгде эффективный радиус частицы re “q2.mc2Решение задачи 5Для одного заряда мощность излучения в полный телесныйугол равна2perω2 q22e2 r 2 ω4xJy ““9 r 2 ω4 .3c33c3Для двух зарядов, вращающихся по орбитам с разными частотами, интенсивности (мощности) складываются:˙ˆ´ a ¯4a2“ ω41 a2 1 ` 2 .xJ 1 y 9 a2 ω41 ` b2 ω42 “ a2 ω41 ` b2 ω1bbДля двух зарядов, вращающихся по орбитам с равными частотами, складываются поля:xJ 2 y 9 paω2 ` bω2 q2 “ ω41 pa ` bq2 ,откуда искомое отношение`˘21 ` abpa ` bq2xJ 2 y¯“´“2 .2xJ 1 y1 ` ab2a2 1 ` ab2(1)Полученный результат неприменим к случаю a “ b, когда xJ 1 yдолжна рассчитываться так же, как и xJ 2 y (через сложение полей,а не интенсивностей).
В то же время при сколь угодно близких,но не равных a и b, формула (1) продолжает работать.2342015/2016 Экзаменационная работа 2Решение задачи 6Способ 1.Частота излучения от левого корабля,наблюдаемая в лабораторной системе отсчета, находится по формуле продольного Доплер-эффекта:d1`βω1 “ ω0.1´βВ системе отсчета, связанной с правым кораблем, это излучение будет восприниматься с частотой, равнойd1`β1`β“ ω0.ω “ ω11´β1´βСпособ 2.В системе отсчета правого корабля источник излучения движется к нему навстречу с относительной скоростью:v1 “2v1`v2c2β1 “,2β.1 ` β2Тогда в этой системе наблюдаемая частота определяется какdd1 ` β11 ` β2 ` 2β1`βω “ ω0“ω“ ω0.0121´β1 ` β ´ 2β1´βРешение задачи 7Интенсивность в точке P станет равной нулю, когда отверстиезаймет две зоны Френеля.
Число зон (параметр Френеля) равноn“D2.λn zp235РешенияОтсюда видно, что длина волны должна стать вдвое меньшепервоначальной. Тогда условие на частоту:ω1 “ ωγp1 ´ β cos θq “ω,2(1)где ω и ω1 – частоты излучения в лабораторной и сопутствующейсистемах соответственно, β – безразмерная скорость источника,θ ´ угол между скоростью источника и направлением наблюдаемого излучения.Чтобы определить θ, для которого возможно удовлетворитьуравнению (1) при минимальнойβ, перепишем уравнение в виде:1 ´ β cos θ “12γи применим графический метод. Правая часть как функция βпредставляет собой дугу эллипса 4y 2 ` x2 “ 1, левая – прямуюy “ 1 ´ x cos θ, наклон которой определяется значением cos θ.
Поскольку излучение приходит слева, то 0 ď cos θ ď 1. Пересечениес дугой возможно, если наклон прямой заключен между положениями, показанными сплошной и пунктирной зелеными линиями.При этом участок дуги эллипса, где возможно пересечение, показан черным цветом. Видно, что β ą 0, а ее минимальное абсолютное значение отвечает условию cos θ “ 1. Это означает, чтоимеет место продольный эффект Доплера.
Для сближающихсяобъектовd31`βω“ 2, откуда β “ .“1ω1´β5236СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Меледин Г. В., Черкасский В. С. Электродинамика в задачах.Новосибирск: НГУ, 2009. Ч. 1. Электродинамика частиц и полей. 70, 78, 120, 124, 132, 165, 174, 198, 211, 212, 214, 215, 2172. Меледин Г. В., Черкасский В. С. Электродинамика в задачах. Новосибирск: НГУ, 2005. Ч. 2. Электродинамика частиц иволн. 107, 1433. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике. Москва: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”,2002. 704.
Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Новосибирск:НГУ, 2003. Ч. 1. Электричество и магнетизм. 1345. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Новосибирск:НГУ, 2009. Ч. 2. Электромагнитные волны. 86, 221, 2246. Гинзбург И. Ф., Погосов А. Г. Электродинамика. Новосибирск:НГУ, 2010. Релятивистское описание. Волновые явления. 106.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
