1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 4
Текст из файла (страница 4)
находящимся в ограниченном этой поверхностью объеме. Это закон Гаусса, эквивалентный в случае статического (т. е. создаааемого неподвижными зарядамн) поля экспериментальному закону Кулана, описывающему взаимодействие неподвижных точечных зарядов. Для получения интегральной формы уравнения (1.3) выберем замкнутый контур ! и вычислим поток левой и правой частей (1.3) через произвольную (незамкнутую) поверхность 5, опирающуюся иа контур !. Поток ротора В преобразуем с помощью математической теоремы Стокса в циркуляцию вектора В по контуру 1> Подставляя сюда й>' Е кз (1.2), приходим к уравнению, связывающему изменение плотности заряда с плотностью тока и выражающему закон сокранення заряда: — + йт) =О.
др д! О У) В интегральной форме это уравнение (уравнение непрерывности) — арбу= — $)да д Г (!.0) говорит о том, что изменение полного заряда в некотором объеме У может быть обусловлено только переносом заряда (потоком вектора плотности така) через замкнутую поверхность 5, ограничивающую этот объем Вторая пара уравнений Максвелла йэ В=О, (1 9) дВ го! Е+ — =0 д! (1.10) не содержит нстпчников электромагнитного поля р и ).
Так же как и первая пара (1.2) и (1.3), это линейные дифференциальные уравнения первого порядка, но в отличие от неоднородных уравнений (!.2) н (1.3] этн уравнения олнородны. Интегральная форма уравнения П.91 ~ада=0 (1.1!) говорит о том. что поток индукции магии~ного поля через любую замкнутую поверхность 5 равен нулю. г. е линни индукции магнитного полн представляют собой замкнутые кривые. В нн>егра.>ьной форме уравнении (1.10) у Ед! =-.
— -3-3 Вда б (1.12) 5 мы узнаем экспериментально открытый фарадеем закон электромагнитной индуицни: элю в замкнутом контуре ! определяется скоростью изменения потока магнитной индукции через поверхность 5. ограниченную контуром й Покажем, что нз уравнений Максвелла (1.2) — (1.3), (1.9) — (1.10) следует возможность существования связанных между собой изменяющихся во времени н в пространстве вихревых электрического н магнитного полей даже прн отсутствии нсточннков, т. е. пря р=О н )=О. Такие поля я представляют собой электромагннтные волны в вакууме.
Запишем уравнения Максвелла, используя векторный днфференцнальный оператор «набла»". 57 =1 — +1 — + й —. д дк ду дз (1.13) 13 о том, что изменяющееся электрическое поле дЕ/д! (ток смешения), так же как и ток проводимости ), создает нихреаое магнитное поле. Необходимость добавления члена с током смещения в случае переменных во времени полей видна из топ>, что только тогда уравнения (1.2) н (1.3) будут удовлетворять закону сохранения заряда. Чтобы показать это, возьмем лнвергеицию от левой и правой частей уравнения (1.3).
Учитывая, что дивергенция ротора любого векторного поля тождественно равна нулю, и изменяя во втором члене порядок дифференцирования по времени и по координатам. получаем д ! — — йч Е = — Д!ч 1. (1.6) д! во Дивергенция любого вектора а с помощью оператора э7 записывается как скалярное произведение т7а, а ротор а — как веиторное произведение э7Ха. Полагая в уравнениях (1.2) и (1.3) р=О и 1=0, вместе с уравнениями (1.9) и (!.10) получаем э7 Е = О, (1.14) с»С7 Х В= Е, (1.16) т7 Х Е = — Й (1.15) (1.17) 47 В=О (точкой над буквой обозначено, как обычно, дифференцирование по времени].
Увидеть существование решений этой системы уравнений в виде волн можно, если из уравнений (1.15) и (1.17), включающих напряженность электрического поля и индукцию магнитного поля, получить уравнения, содержащие только одно из полей (например, Е). Составим векторное произведение оператора т7 на обе части уравнения (1.17): (1.18) Аналогично можно показать, что точно такому же уравнению удовлетворяет и индукция В магнитного поля: т7 эв — ~1 В = О.
с Уравнение (1.20) имеет решения в виде бегущих волн, распространяющихся со скоростью с. Например, если все компоненты векторов (! 2!) ' При применении этой формулы к выражениям. содержащим операторный множитель \у, нужно заботиться, чтобы он оставался впереди тех множителей, на которые ан действует в исходном выражении. 47 Х ( 7 Х Е) = — С Х В- Преобразуем левую часть (1.!8), раскрывая двойное векторное произведение по формуле* А Х(В Х С)= В(АС) — (АВ) С. В полу- чившемся выражении т7 Х (~ Х Е) = т7(Ч ° Е) — Ч»Е первый член равен нулю, так как напряженность Е удовлетворяет уравнению (1.14). В результате (1.18) принимает вид 47 Е=т7ХЙ.
(1.19) Чтобы выразить '7 Х Й через напряженность электрического поля Е с помощью (1.15), продифференцируем обе части (!.!5) по вре- мени и изменим в левой части порядок дифференцирования по координатам и времени: с'~7 Х Й= Е. Подставляя отсюда т7 Х В в правую часть уравнения (1.19), полу- чаем, что напряженность Е электрического поля удовлетворяет волновому уравнению 7гŠ— ' Е=О.
(. 0) Е и В зависят только от одной пространственной координаты а (плоская волна), то решением уравнения д'Е ' д'Š—,— — — =0 дат с' д!" будет любая функция от единственного аргумента ! ~ г/с: Цг, !) = Е(Р -+- а/с), в чем легко убедиться непосредственной подстановкой.
Знак « — » соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси г, знак « + » — в отрицательном. Отметим, что любое решение системы уравнений !1 !4) (! !7) обязательно удовлетворяет аолиавыч уравнениям 1! ро), !1»з!), но обратное утверждение неверНо, т. е. не всяк!к" решение волновых уравнений дает электромагнитное поле, которое может существовать. Поясним это на простом примере. Волновое уравнение всегда имеет тривиальное нулевое решение, поэтому волновые уравнейня допускают, например, решение в виде бегущей волны электрического пиля без магнитного паля. уравнения Н)аксвелла такого решения не допускают.
Исследуем на основе уравнений . Максвелла свойства бегун]их плоских монохромптинеских электромагнитных волн. В таких волнах зависимость всех компонент векторов Е и В от координат и времени имеет один и тот же вид и выражается гармонической функцией Е(г, 1) =Еао сов(]сг — ш(+ гр). Под Е(г, Ц здесь можно понимать любую из проекций векторов Е и В. Амплитуда Еоо и начальная фаза гр плоской монохроматической волны не зависят от г и С т. е. одинаковы во всем пространстве во все моменты времени («однородная волна»)*.
Никакие реальные волны этим свойством не обладают., поэтому образ плоской моно- хроматической волны представляет идеализацию, применимость которой к описанию реального волнового процесса зависит не только от рассматриваемого процесса, но и от характера решаемой задачи. Условия применимости этой идеализации в каждом конкретном случае требуют специального рассмотрения.
Сейчас же необходимо заметить, что изучение свойств плоской монохроматической волны важно еще и потому, что любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции таких простых волн (благодаря линейности уравнений Максвелла сумма любых решений также является решением). Плоскую монохроматнческую волну (1.22) можно рассматривать как частный случай гармонических воли общего вида Е(г, О= Ее(г) соэ (ы! — и(г)], где Е,(г) и й(г) зависят ат положения г рассматриваемой точки. Поверхности постоянной фазы такой волны, вообще говоря, ие савпадаки с поверхностями постоянной амплитуды.
В таком случае говорят, что волна неоднородна. Аргумент косинуса в (1.22) называется фазой волны. Уравнение поверхности постоянной фазы (или волновой поверхности) йг — ы! = сопз! определяет в пространстве плоскость, перпендикулярную вектору й (называемому волновым вектором). Эта плоскость перемешается в пространстве вдоль направления вектора й со скоростью о=в/й, (1.23) где к — модуль волнового вектора, называемый волновым числом.
Скорость перемещения поверхности постоянной фазы в пространстве называется фазоаой скоростью волны. Период изменения напряженности поля в пространстве — это длина волны )с й = 2п/й = и. 2я/ы = и Т, (1.24) т. е. длина волны представляет собой то расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное одному периоду колебаний Т = 2я/ы. В дальнейшем для зависимости напряженности поля в волне от координат и времени вместо (1.22) удобно использовать комплексную запись Е(г. !)=Йе (Е<®ехр(йр)ехр!(йг — ы!)) Амплитуду Е«е вместе с комплексным множителем ехр (йр) будем рассматривать как одно комплексное число Ео=Еееехр(ир). Его модуль равен амплитуде, а аргумент — начальной фазе колебаний в точке г= О.
Знак «Ке» при записи будем опускать, не забывая, однако, о том. что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений: Е(г, !) = Елеям (1.25) Комплексная запись особенно удобна потому, что при ее использовании дифференцирование напряженности поля по времени д/д! сводится, как видно из (1.25), просто к умножению на — !ы. Стоящее в показателе экспоненты в (1.25) скалярное произведение йг можно записать в виде й„х+й„и+й,х, поэтому дифференцирование Е(г, !) по координате х сводится к умножению Е(г, !) на !к„. Так как оператор ~7 означает дифференцирование по координатам, то его применение к напряженности поля сводится к умножению ее на вектор !й, Поэтому для плоской монохроматической волны, у которой напряженность Е(г, !) электрического поля и индукции В(г, !) магнитного поля записаны в комплексной форме (1.25), уравнения Максвелла (1.14)-- (!.!7) принимают следующий вид: йЕ=О, (1.26) йВ = О, (1.28) стйХ В= — ыЕ, (1.27) йХ Е=ыВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
