Filippov (531376), страница 15
Текст из файла (страница 15)
7). Пример 2. Исследовать особую точку уравнения бу 4х — Зу бх х — 2у (7) Находим корни характеристического уравнении 4 — 3 — Л Л(=0; Л +2Л+5=0; Л= — 1х2с1 Особая точка — фокус. Переходим от уравнения (7) к системе с1х с(у — = х — 2у, — = 4х — Зу. Ж '' Ю (8) а) б) Рнс. 8 3. Для исследования особой точки более общей системы (1) илн уравнения (2) надо перенести начало координат в исследуемую особую точку и разложить функции Р н Я в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) примет вид с(ел — = слхл + ЬУл -~- 7л(хл, Ул), — = схл + с(Ул + ф(хл, Ул), (9) с)1 ' ' сП Строим в точке (1.
0) вектор скорости ( ас, лхл) . В силу (8) ан равен (т — 2у, 4х — Зу). В точке х = 1, у = 0 получаем вектор (1. 4) (рис. 8,а). Следовательно, возрастанию 1 соответствует движение по траекториям против часовой стрелки. Так как вещественнан часть корней Л равна -1 ( О, то особан точка асимптотически устойчива, следовательно, при возрастании 1 решении неограниченно приближаются к особой точке.
Итак,при движении против часовой стрелки интегральные кривые приближаются к началу координат (рис. 8,б). 161 з16. Особые точки у'(хы у») И щ) — тб» ' ' — тО при х» — >О, у»-+О, тьь» т»ь» где т = ;/х~~ + у~з. Очевидно, это условие выполняется (при любам с < 1), если функции Р и Я в исследуемой точке дважды дифференцируемы. Предположим еще, что вещественные части всех корней характеристического уравнения (5) отличны от нуля. 'Тогда особан точка хг = О, уз = О системы (9) будет того же типа, что особая точка системы (3), получаемой отбрасыванием функций х и ф.
Далее, угловые коэффициенты направлений, па которым траектории входят в особую точку, для систем (3) и (9) одни и те же (одиако прямым у = Йх для системы (3) могут соответствовать кривые для системьз (9)), а в случае фокуса направление закручивания траекторий одно и то же. В том случае, когда для системы (3) особая точка — центр, для системы (9) она может быть фокусом илн центром. Для наличия центра достаточно (но не необходимо), чтобы траектории системы (9) имели ось симметрии, проходншую через исследуемую точку. Ось симметрии, очевидно, существует, если уравнение вида (2), к которому можно привести систему (9), не меннется ат замены х на — х (или у на — у).
Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение системы (9) было асимптотически устойчиво при 1 -т +са или при 1 -т -со. Исследование на устойчивость можно провести с помощью функции Ляпунова. Это сделать нелегко, так как в рассматриваемом случае функцию Ляпунова часто приходится брать в виде суммы членов второй, третьей и четвертой степеней относительно х, у. В задачах 961 †9 исследовать особые точки написанных ниже уравнений и систем. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости (х, у).
2х+У Зх+4У' 962. у' = 2У вЂ” Зх ' 963. '= У ° у 964 У» х+ 49 2х+ Зу' 965. у' = Зх — 4у' 966. у' = х — у у — 2х 2у — Зх' 966. у' = х+у где хм у» — новые координаты (после переноса)„и, Ь, с, »1 — по- стоянные. Предположим. что длн некоторого с ) О 103 г16. Осооые точки т 1 (1 + 2) 991. у 3 .~/аг + 89 'Г* — у) ~- г — 2, 99г. р=еи — е. Для уравнений 993 — 997 дать чертеж расположения интегральных кривых в окрестности начала координат. Указание. В задачах 993 — 997 особые точки не принадлежат к рассмотренным в начале г 16 типам.
Для их исследования можно построить несколько нзоклнн. Затем надо выяснить, с каких сторон интегральные кривые входят в особую точку. 994*. 2 е +р 993*. р' = х+ р 995*. у' = 9 -Ь Х 990*. р' = у — а г' 2 ' 9 = г 9-Ь е 993. Доказать. что если особая точка уравнения (аж + 69) с(г: + (оьт + яр) Ду = 0 явлнетсн центром,то это уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Обратное неверно. 999*. Доказать, что если уравнение предыдущей задачи не явлнетсн уравнением в полных дифференциалах, но имеет интегрирующий множитель, непрерывный в окрестности начала координат, то особан точка седло (если ая ф Ьги). 1000". Пусть в уравнении аж+ 69+ р(к, у) Р * + Ф + 9(а, р) функции р и д определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки (0,0), а в самой точке 104 317.
Фагоеал плоскость (О, 0) р = р', = р'„= и = д' = д„' = О. Доказать„что если урав- нение (1) не меняется от замены у на — у, а корни характерис- тического уравнения с — )~ =0 а Ь вЂ” А чисто мнимы, то особая точка (О. 0) — центр. О 17. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 1. О понятиях фазового пространства, фазовой плоскости, автономной системы, траектории см. [1], гл. Н11, 3 1, и. 4, или [3], 3 15, или [4], гл.
3, 3 1. 2. Чтобы построить траектории системы х=А(х,у), у=Уз(х,у) бу Их, у) 1т А(х, у)' (2) Траектории системы (1) будут интегральными кривыми уравнения (2). Их можно построить или решив уравнение (2) (часто оно решается проще, чем система (1)), или с помощью метода изоклин ([( 1), прн этом необходимо исследовать особые точки системы (методами 3 16). Для построения траекторий уравнения х = 1(х, х) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе х = у, у = = 1(х, у),которан исследуется так же,как система (1). 3. Предельным циклом называется замкнутая траектория, у которой существует окрестность, целиком заполненная траекториями, неограниченно приближающимися к этой замкнутой траектории при 1 -+ +ос или при 1 — г — оо.
Предельный цикл называется устойчивым, если траектории приближаются к нему только при 1 — г фсо, неустойчивым — если только при 1 — г — оо, полуустойчивым — если с одной стороны цикле траектории приближаются к нему при 1 — г +со, а с другой стороны при 1 -+ — оо. О предельных циклах см. [3], 3 28, [2], 3 23. на фазовой плоскости х, у, можно или исследовать непосредственно эту систему, или, разделив одно уравнение на другое, свести ее к уравнению первого порндка 105 з 17.
Фаэооал плооаоотаь 1001. х+ 4т, = О. 1002. х — х = О. 1003. х — х+ хз = О. 1004. х — Зхз = О. 1005 х+2хз О 1006 У+2хз 2х= О 1007. х+ е" — 1 = О. 1008. У вЂ” 2о + х + 1 = О. 1009. х — з1пх = О. 1010. х+ 2созх — 1 = О. 1011. У вЂ” 4х+ Зх = О. 1012. У+ 2х+ 5х = О. 1013.
х. — х — 2х = О. 1014. х+ 2х+ хз + х = О. 1015. х+ х+ 2х — хз = О. 1016. х,+ ха — ха+ 1 = О. 1017. х+ 2ь — хз = О. 1018. х, + ~/хз + тз — 1 = О. 1019. х+ЗУ вЂ” 41п зы =О. 1020. х+ х+ вгс1ц(хз — 2х) = О. В задачах 1021 — 1034 начертить на фазовой плоскости траектории данных систем и исследовать особые точки. х=2х+у" — 1, 1021.
у=Ох — у +1. х = у — 4х,, 1022. у=4у-8. х = 4 — 4х — 2у. 1023. у =ху. 1025. х = 2+у — хз, у = 2х(х — у). 1027. х = 1 — хз — у, у = 2ху. х = 2(х — 1)(у— 1028. у=у х=1 — тз — у . 1024. у=2х. х = ху — 4, 1026. у=( -4)(у- ) 2), В задачах 1001 — 1020 для данных уравнений начертить траектории на фазовой плоскости. По чертежу сделать выводы о поведении решений при 1 — > +со. З 17.
Разовая плоскость э: = (х+у)з — 1, 1029. 3, +1 т, = (2х — у) — 9 1030. у = 9 — (х — 2у)з. х = (2х — у)з — 9, 1031. у = (х — 2у) — 9. х,=х +у — бх.— 8у, 1032. ~~ ~ ~ 2 ~ г ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ э у = »Д2у — х+ 5) 1033. у = (х — у)(х — у + 2). ~~ ~ ~ ~ ~ э х=х +уз — 5, 1034.
у = (»э — 1)(х + Зу — 5). 1035. Вывести уравнение движения маятника без сопротивления. Для случая, когда все постоянные, входящие в уравнение, равны 1, начертить траектории на фазовой плоскости. Дать физическое истолкование траекториям различных типов. 1036. Вывести уравнение движения маятника с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости. Дать чертеж траекторий на фазовой плоскости.
У н а з а н н е. Воспользоваться чертежом, построенным длн задачи 1035. 1037. Вывести уравнение движения маятника, на который действует постоянная сила, равная половине веса маятника и направленнея всегда в одну сторону по касательной к дуге окружности, по которой движется маятник. Приняв постоннные 1 и д' равными 1, нарисовать траектории полученного уравнения на фазовой плоскости. Какие движения маятника изображая>тся траекториями различных типов? 1038. Груз массы ьч прикреплен к пружине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
