Filippov (531376), страница 13
Текст из файла (страница 13)
у = Зу — 2х. т = 2т+у+е, 833. у = — 2х+ 2с. 84 2 14. Линейносе система с постоянными ноэфйтициентами 2 + +2 с 843. у = и+ 2р — Зе44. х = 4х — Зр+ в1п1, 842. у = 2т — р — 2совт. т, = 2т — у, у = 2д — т — 5есяп1 т=т — у+81., 844. у = 5т — у.
845. В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. т = 2у — т, еэс у = 4у — Зт+ е24 1 т = у+ 18 1 — 1, 846. 847. ~ у = — т+ 181. 2 т, = — 4т — 2у+ ес — 1 3 +Зу с ес еде. ( 1 т=т — у4- 849. сон т ' р = 2т — р. т = Зх — 2у, у = 2т — у+15 е' ъ6. 850. Решить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: т = Ат, где т — вектор, А — данная матрица. 851. т = Ах, А = 1 4'3 01 — ~0 3).
4с1 й 852. х=Ат„А= ~ ~2 О)' т = т + 2у, 834. р = т — 5япт. т = 2т, — у, 836. у = у — 2х + 181. т = 2т+ 4д — 8, 838. у = Зт+ бу. т = т — у+ 2яп1. 840. у = 2т — р. т = 2т — 4р, 835. +3 с т = т+2у+101 е', 83'Г. у = 2т — 2д. т = 2т — Зу, 839. д = т — 2у+2 аш т = 2т — д, 841. р = т+ 2е". Э 14. Линейные системы с посп2оянными ноэффиииентами 85 А= А= А= А= 853. х = Ат,, 854. т.
= Ах. 855. х= Ах, 856. т, = Ах, 857. т = Ат, 858. т = Ат,, 859. т = Ат, 860. х = Ах 861. т = Ах, 862. т = Ат, 863. т = Ат, 864. х = Ах, 865. х = Ат, '32 — 3) ' (: '-') (' -:) (- -. ') — 3 2 3 ( 3 — 2 2). (-': ) (: ') ( .',) (- .:) (: -'.) ( .
-'.) 86 З14. Линейные системы с поспшянными ноэффиииентоми 2 Π— 1 866. х=Аз:, А= 1 -1 0 3 — 1 — 1 В задачах 867 — ВТЗ найти показательную функцию ел данной матрицы А. 867. А = 871. А = 2 1 0 873.А= 0 2 1 0 0 2 868. А = 870. А = 0 1 0 872.А= 0 0 0 0 0 2 В задачах 874 и 875 найти детей, не вычисляя матрицу е~. 874.А= — 1 2 0 . 875.А= 3 1 — 1 ВТВ. Тело массы гн движется на плоскости я, у, притягиваясь к точке (О, 0) с силой санте, где т расстояние до этой точки. Найти движение тела при начальных условиях з(0) = с1, у(0) = О, т(0) = О, у(0) = о и траекторию этого движении.
877. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке О, а к другому прикреплен груз массы Згп, соединенный другой пружиной с грузом массы 2т. Оба груза двигаютсн без трения по одной примой, проходящей через точку О. Каждая из пружин растягивается на величину ж под действием силы а тт. Найти возможные периодические движения системы.
ВТВ. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых 1з и 1з. При повороте одного шкива относительно другого на любой угол сэ вследствие деформации вала З 15. Устойчивость возникают упругие силы с крутящим моментом Лсо. Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879.
К источнику тока с напряжением Е = 'г'в)пы1 последовательно присоединено сопротивление ??. Далее цепь разветвляется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция А, а в другой — емкость С (рис. 4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление Н. Нри какой частоте ы сила тока наибольшая? Наименьшан? Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об электрических цепях см.
п. 5 З 11. 880*. Какое условие достаточно наложить на собственные значении матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) х = Ат + 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции 1(1) периода ы? Указание. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е~, функцию 1(1) н начальные условия. Воспользоваться условием периодичности. 8 15. УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений ьЬь — *=ть(ь,зм ..., з„), 1=1, ...,ьь, или, в векторной записи (2) дть Пусть есе гь и, непрерывны при ьо (1 ( со. дзь Решение з = у(Е) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в > О существует такое д ) О, что для 215. Устойчивость вснкого решения х(1) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству ~х(бо) — 1о(1о)! < 6, при всех 1 ) го выполняетсн неравенства ~ (1) — 1(1И < .
Если же для некоторого г > О такого 6 не существует, то решение 1о(1) называется неустойчивым. Решение х(1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Лнпунову и, кроме того, все решении с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к ю(1) при 1 -ь +со, т.е. если из неравенства (3) следует х(й) — Ьз(1) -ь О (1 -ь +ос). Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора 1о. Вопрос об устойчивости данного решения х = фб) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решении у(г) = О другой системы, получаемой ич (2) заменой искомой функции х— — 1(г) =у.
2. Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть х;(1) = О (г = 1...., и) — решение системы (1). Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций Д, линейную часть вблизи точки хз = ... = х„= О, например, по формуле Тейлора. Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему Н~, Ж вЂ” = а,зхз+ ... +ажх„+чрс(И хм ..., х„), ь = 1, ..., гц (4) где а;ь — посгпоянные, а рч -- бесконечно малые вьиае первого по- рядка. точнее, при ~х~ < ео )фг) < у(х)/х!, г = 1, ..., и, у(х) ь О при )х) — ь О, (5) д ) )=,л,) г...~ь~.
Тогда если все собственные значения матприцы (аш), ь, й = = 1, ..., и, имеюзп отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво. 89 х15. Устойчивость П р и м е р. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = ь/4+ 4у — 2е'+", у = вшах -1- 1п(1 — 4у), а = сопле. Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем < х = -2х — у -1- уч (х, у), у = ах '1у+ фг(х у) где функции грг и фг равны О(х~ + у ) и, значит, удовлетворяют условию (б). Находим собственные значении матрицы коэффициентов 4 Л ~ — О, Л +6Л+8+а=О, Лиг= — Зхъ6 — а. При а > 1 корни комплексные, НеЛкг = — 3 < О, а при — 8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво.
При а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво. При а = — 8 имеем Лг = О, Лг = — 6 и вопрос об устойчивости не решаетсн с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Производной от функции о(й хц ... ..., х„) в силу системы (1) называется функция до ~ до ди до Ж ~О1 д1 дхг дхо где хц ..., 1"„— правые части системы (1).
Теорема Л нпунова. Если существует дшрференцируемая 4Унниип о(хц ..., хп), УдовлетвоРЯгощ Я в области '1х~ < Ео Усло- виям 1) о>Оприх~О.е(0)=0. 2) — ) <Опри1х)<ео,1>1о, до сй ОЦ то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову. Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие 3) — < — ш(х) <О приО<1х! <ео,1>уо, до дт 01 а 41унплия ш(х) непрерывна при 1х! < во, то нулевое решение сис- темы (1) асимптотичесни устойчиво. з15.
Устойчивость Теорема Чета ее а. Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области 1' пространства хм .... х„ существуетп диу1ференцируемая угункция о(тм ...... „т„), причем 1) точка х = 0 принадлежит границе области )г, 2) о = 0 на границе области 1' при )х! < ео, 3) в области 1' при 1 > го имеем о > О. д,' >м т(х) > О, -!(г,- 4ункция т(х) непрерывна. Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво. Не существует общего метода построения функции Ляпуно- ва о (когда решение системы (1) неизвестно). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы в = 2 бггхгхг или в виде сУммы квадРатичной фоРмы и интегРалов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной систе- мы. 4.
Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения аоЛ -~-агЛ" '+ ... +а дЛ+а =О, ао >О, (6) с вещественными коэффициентами. а) Необходимое условие: все аг > О. В случае и < 2 это условие явлнется и достаточным. б) Условие Рауса — Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительн ми все главные диагональные миноры матрицы Гурвица аг ао О 0 0 О ... 0 аз аг аг ао 0 0 ... 0 аз аг аз аз аь ао ..
0 0 0 О 0 0 0 ... и На главной диагонали атой матрицы стоят числа аы аг, ..., ан. В каждой строке индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа. Числа а, с индексами з > п или з < 0 заменяются нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: аь ао 0 Ьз= аз аг аг, ... (7) аз аз аз ~аг ао Ь~ = аы Ь~ = ~ ~аз аг ' х 15.
Устойчивость в) Условия Льенара--Шнпара. Необходимо и достаточно, чтобы все а, > 0 и ч»побн»3„з > О. »Л» — з > О. »3„з > О, ..., где г.'з, те же, что в (7). Эти условие равносильны условиям Рауса — Гурвица, но удобнее, так как содержат меньше детерминантов. Пример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Л + оЛз+ +ЗЛ+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные частиу Пишем условия Льенара — Шипара: 2 1 0 о>0. Ь>0. гааз= 3 а 2 =Оа — 4Ь вЂ” 9>0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
