Filippov (531376), страница 10
Текст из файла (страница 10)
вЬх, сЬх, 2е* — 1, 3е + 5. 656. япх, созх, в1п2х. 655. 2, 3*, 6*. 657. з|пх, яп(х+ 2), соз(х — 5). 661. х, [х[, 2х+ Лх~. 663. а) Явлнютсн ли линейно зависимыми на отрезке [а, 5) функции, графики которых изображены на рис, 1? б) Тот же вопрос длн рис. 2. Рис. 1 Рис. 2 664. Известно, что длн функций ды .... у„детерминант Вронского в точке хе равен нулю, а в точке х~ не равен нулю. Молева ли что-нибудь сказать о линейной зависимости [или независимости) этих функций на отрезке [хо, хг)? 665. Детерминант Вронского дла функций ды ..., у„равен нулю при всех х. Могут ли быть зти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми? 648.
е', ез', ез* 650. 1, япзх, сов2х. 652. 1п(хз), 1п3х., 7. 658. их, ~/х+ 1, ~/т+ 2. 659. агс$8х. агссьих. 1. 660. хз, х[х[. з ~ з[ 649. х, е*, хе*. 651. зйх, сЬх, 2+ е . 653. х, О, е'. 2 12. Линейные уравнения е переменными нову?фиииентами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ры ..., у„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы? 667. Функции уз — — х, уз = х"", уз = ]хз] удовлетворяют уравнению хзуп — 5ху'+ 56 = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ.
668. Доказать, что два решения уравнения ун+ +р(х) р'+ + у(х)р = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы. 669. Даны 4 решении уравнения уи' + ху = О, графики которых касаются друг друга в одной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670.
Пользунсь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ([1], гл. е', конец 2 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условиями (не решан уравненин): а) (х + 1)ун — 2у = О, у(0) = О, у'(0) = 2; б) уи + узх х, = О, у(5) = 1, у'(5) = О. 671.
Могут ли графики двух решений уравнения у~"1 + + рг(х)у~н О + ... + р„(х)у = О (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х. у а) пересекаться. б) касаться друг друга? 672. При каких и уравнение задачи 671 может иметь частное решение у = хз? 673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: Уг —— хз — 2х + 2, дз = (т — 2)з, Уз = хз + х — 1, У4 = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения.
6Т5. х, е*. 6Т4. 1, созх. 676. Зх, х — 2, е'+ 1. 6ТТ. хз — Зх, 2хз+ 9, 2х+ 3. 679,, з 678. е', зЬх, сйх. 680. х, хз, ]тз]. 66 г 12. Линейные уравнен и с переленны.ии неэуеуиииентиии В задачах 681 — 701 найти общие решения данных уравнений, знан их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции ут = ее* или алгебраического многочлена уг — — т +ох" '+ Ьх" г+ ... 681. (2х + 1) ун + 4ху' — 4у = О. 682. хг(х+ 1)ун — 2у = О: ут = 1+ 1~. 683. хун — (2х+ 1)у'+ (х+ 1)у = О.
684. хун + 2у' — ху = 0; уг = '— . 685. ун — 2(1 -~-18~ х)у = О: уг = 18х. 686. х(х — 1) ун — ху' + у = О. 687. (е + 1)ун — 2у' — е у = 0; уд = е — 1. 688. хгун 1п х — ху' + у = О. 689. ун — у'ейх+ 2у = О; уг = шпх. 690. (. ' — 1) ун + (» — 3) у' — у = О. 691. хун — (х + 1) у' — 2(х — 1)у = О. 692. ун + 4ху' + (4л:г + 2)у = О; уг = е * . 693. хун — (2х -1- 1)у' + 2у = О. 694. х(2 е + Цун + 2(х + 1) у' — 2у = О. 695.
х(х + 4)ун — (2х + 4)у' + 2у = О. 696. х(хг + 6)ун — 4(тг + 3)у'+ бту = О, 697. (хг + 1)ун — 2у = О. 698. 2х(т + 2)ун + (2 — л:)у' + у = О. 699. хун' — ун — ху'+у = О; уг = х,, уг =е'. 700. хг(2х, — 1)ун'+ (4х — 3)хун — 2ху'+ 2у = О; у1 = х уг = 1/х. 701. (хг — 2х + 3)ун' — (хг + 1)ун + 2ху' — 2у = 0 уг = х, уг = ее. 2 12. Линейные уравнения е нереленнили наэф4иииентали 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения является многочленом. 702. (т+1)хун+ (х+ 2)у' — у = т+ ~. 703. (2х+ 1)ун+ (2х — 1)у' — 2у = хг+ х.
В задачах 704, 705, зная два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. найти его общее решение. 704. (т, — 1)ун+4ху'+2у=бт:, уг — — х. уг = н++~~. 705. (Зхз + х)дн + 2У' — бхР = 4 — 12хг; дг — — 2х, дг=(х+1) . В уравнениях 706 †7 линейной заменой искомой функции д = а(х)г уничтожить член с первой производной. 706. хгун — 2ху' + (хг + 2)у = О. 707. тгун — 4ху'+ (б — хг)у = О. 708. (1+ ха)ун+ 4хд'+ 2у = О. 709.
таун + 2хгу' + (хг — 2)у = О. 710. хди + у' +:су = О. В уравненинх 711 — 715 заменой независимого переменного 1 = р(х) уничтожить член с первой производной. йхзд 712. (1 + хг) ун + ху' + у = О. 713. хг(1 — хг)да + 2(х — хз)у' — 2у = О. 714, ун — у'+ сену = О.
715. 2хдн + у' + ху = О. 716. Зная три частных решения уг = 1, уг = т,уз = хг линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. 68 212. Линейные уравнения е переменными квэ4фиииенепвми 717. Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все решения уравнении уи+р(х)у'+ д(х)у = О при х — е оо стремятся к нулю вместе со своими первыми производными? указание. Воспользоваться формулой Лиувилля. 718. Доказать, что в случае Л(х) < 0 решения уравнения уи + р(х)у'+ д(т)у = О не могут иметь положительных максимумов.
719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения уи + Л(х)у = О? 720. Могут ли графики двух решений уравнения уи + + Л(х)у = О (функция д(х) непрерывна) располагаться так, как на рис. З,а? рис. З,б? рис. З,в? рис. З,г? г) Рис. 3 721. Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения уи+ р(х)у'+ д(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума. 722. Доказать, что в случае д(х) ) 0 для любого решения уравнении уи + д(х)р = О отношение у'(х)1'у(х) убывает при возрастании т на интервале, где д(х) ф О. 2 12. Линейные уравнения е переменными нвэуефиииентами 69 723. Доказать, что в случае д(х) < 0 все решении уравнения ун + 9(х)9 = 0 с положительными начальными условиями 9(хо) > О, 9'(хо) > 0 остаются положительными при всех х>хв.
724. Доказать, что решение уравнения уи — хгр = 0 с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. 725*. Доказать. что в случае Ч(х) < 0 краевая задача ун+ д(х)У = О, 9(хг) = и, 9(хг) = Ь В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи и теорему сравнении (см. (Ц, гл. М1, Ь' 2, п.
3), оценить сверху и снизу расстояние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решении следующих уравнений на заданном отрезке. 727. у" + 2хй = О, 728. хуи+9=0, 20 < х < 45. 25<х<100. 729 дн — 2ху'+ (х+ 1)гу = 0 4 < х < 19 730. уи — 2е*у' + ег' 9 = О, 2 < х < 6. 731*.
Доказать, что любое решение уравнения ун+ еу = 0 на отрезке — 25 < х < 25 имеет не менее 15 нулей. 732. Пусть хы хг, ... — расположенные в порндке возрастания последовательные нули решения уравнения рн + + д(х)у = О, где д(х) > 0; цри хг < х < оо функция д(х) непрерывна и возрастает. Доказать, что хи+г — х„< хн — х„ (т.
е. расстояние между соседними нулями убывает). 733. В предыдущей задаче обозначим через с конечный или бесконечный предел функции 9(х) при х — э оо. Доказать, что !пп (хи ы — х„) = гг/~/с. при любых а, Ь и хг ф тг имеет единственное решение. Доказать, что это решение — монотонная функция, если Ь = О. 726. Найти расстонние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решения уравнения ун + гпу = О, где гп = сопз$ > О. Сколько нулей может содержатьсн на отрезке а < х < Ь? 70 112.
Линейные ураененил с переменн ми коэффициентами В задачах 738 — 748 исследовать асимптотическое поведение при х г +со решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувиллн (см. задачу Т37) и утверждениями и. 4 (стр. 77). 738 нц 4 740. да+ хгд = О. 742. хди — д = О. 744. хдн + 2д' + д = О.
739. дн — тгд = О. Т41. ди + егхд = О. Т43. ди — хд = О. 745. дн — 2(х — 1)д' + хгд = О. 746'. дн + (х« + 1)д = О. 747*. (хг+ 1)дн — д = О. 748*. хгди+ д1п х = О. В задачах 749 — 750 получить более точное асимптотическое представление решений данных уравнений, применяя два раза преобразование Лиувилля.
734'. Пусть д и г решения уравнений ди + д(х)д = = 0 и за+Я(х)г = О с совпадвющими начальными условиями д(хо) = г(хо) д'(хо) = г'(хо) и на интервале (хо, х«) имеем Ю(х) > д(х), д(х) > О, г(х) > О. Доказать, что иа атом интервале отношение г(х)/д(х) убывает. 735*. Пусть выполнены условия задачи 732 и пусть Ь„= гпак ~д(х)!. Доказать, что Ьг > Ьг > Ьг >... х йх<х„«1 736". Пусть в задаче 733 предел с конечный. Доказать, что Ь„-+ В > О при и -+ оо (в обозначениях задачи 735). 737'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
