Filippov (531376), страница 14
Текст из файла (страница 14)
»3»=2>0. О Ь 3 Отсюда получаем условия Ь > О, 6а > 4Ь+ 9. г) Критерий Михайлова. Необход мо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 7(зии)» где 7(Л) — левая часть (6), при изменении и» от 0 до +со не проходила через нач ло координат и сделала поворот вокруг него на угол пп/2 в положительном направлении. Другая (эквивалентнан) формулировка критерия Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы п.„а з > 0 и чтобы корни многочленов р(«) = а„ вЂ” о, -з« -~-а„-4« г Ч(0) =а -» — а -зп+а зп были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня «з, т.
е. 0<«<1 <«<О < (Заметим. что многочлен (6) при Л = зь» равен р(в» ) +»ь»у(ь» ).) П р и м е р. 1(Л) = Л" +2Л" +7Л +8Л +10Л+6. Здесь а„= 6 > О, а з = 10 > О, а многочлены р(«) = 6 — 8«+ 2«з, у(»1) = 10 — 70+ Оз имеют корни «з = 1, «г = 3, гд = 2, пз = 5. Значит, 0 < «з < уз < < «г < уг По критерию Михайлова все корни многочлена 7"(Л) имеют отрицательные вещественные части. 6.
Условия устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в [Ц, гл. П1, 3 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определении устойчивости. 881. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решении данных уравнений с указан- 92 З 15. Устойчивость ными начальными условиями а) 3(1 — 1)х = х. х(2) = О. б) х = 4т — гзх. х(0) = О. г) 21х = х — хз, т(1) = О. в) х = 1 — х, х(0) = 1. 882. ф = — х, у = — 2у. 884. х = -х, у = у. 883.
т=х, у=2у. 885. х= — у, у=2хз 886.:с=у у= — зп1х. 887. х=у, у=ха(1+уз). 888. х = — усозх, у = з1пх. 889. Траектории системы уравнений а*, = Р(х, у), ш = ®х, у), непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. 5). Что можно сказать о поведении решений при 1 -+ +ос? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис. 5 В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение атой системы имеет указанный вид. 890. х = С1 соззс — Сзе ~ у = С11~е ~+2Сз.
892. х=(Сь — Сз1)е ~, у= ' +Сз. 1п(сз -Ь 2) 893. Доказать, что длн устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения з*, = о(г)х (где функция а(1) непре- В задачах 882 — 888 начертить на плоскости х., у траектории данных систем вблизи точки (О, О) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение. з 15. Устолчиааста рывна) необходимо и достаточно, чтобы с 'пш а(а) 2ь ( +со. о В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение 99а. ( 900. ( 901.
( 902. ( 909. ( 2ху — х+ у, бх~ + уз + 2х — Зу. х~+ уз — 2х, Зх — х+ Зу. е'+ "— сов Зх, а?4+ 8х — 2е". 1п(4у+е за), 2у — 1+ ~(1 — бх. ! п(З с" — 2 соз х), 2 ел — ~/3 +12 у 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решеаия этой системы. 895.
Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остаетсн ограниченным при 1 -+ +со. то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремитсн к нулю при б -а +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 897. Доказать, что если линейная однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при 1 -+ +ос решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы хд = оа,(1)х, + паз(1)хз1 хз = аьч(1)ха + азз(1)хз2 если известно, что аы (1) + азз(1) а?2 > 0 пРи 1-а +ос? 'я 1о. Устойчивость х = ф(у — х), 904..
я у = 2" — 2 соя ( — — х) . 3 ян(2 — у) — 2х, ъ~9+ 12х — Зе", ев — е-39 42 — 3 81п(х + у), 1п(1+ з — Зт). В задачах 907 — 912 исследовать, при каких значениях параметров а и о асимптотически устойчиво нулевое решение.
~~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ 2 9 х = ах — 2у+х, 907. у=х+ у+ху. 909. х = х+ ау+ у, у = Ьх — Зу — хз. 911. х = 2 е с — т/4+ау, у = 1п(1+ х + ау). х = ах+у+х, 908. у =х+иу+у . т = у+81пх 910. ~ ~ ~ ~ 9 у = ах+ бу. т = 1п(с+ах) — е", 912. д = Ьх+ тку. 913. Исследовать, устойчиво ли решение х = — с~, д = с системы х = у — 21у — 2у — х, у = 2х+ 21~ + ез' 914. Исследовать, устойчиво ли решение х = соя~, у = = 2 шпу системы у х =!и х+ 28ш 26 2' В задачах 915 — 922 для данных систем найти все положения равновесия и исследовать их на устойчивость. х=у х х, 2 915.
у = Зх — х' — д 916. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 9 ' = ( — 1)(у — 1), у =ху — 2. 900. ( 906. ( у = (4 — хз) сояз — 2хшп21 — соязз 95 з15. Устойчивость 918. х=1п( — х+у ), 91т "=д' ~ ~ ~~ ~ ? с у =- яп(х -ь У). 2 — 2Я+**+ 2, 1п(х — 3). еи — е*, ~/Зх+ уз — 2. 1п(1 + у + япх), 2:,— 92 9" .:2. — япу, 2* -1 2б 2* В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. х=х — у, 923.
д=:+д . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ! з т=у — х+ху, 924. у = х — у — х — уз. 925. х 2з .в д= у+у ° 92'Т. х=д Зх х у = бх — 2у. х = — х — хд2 929. у=у — х * = — Л(:в) — Уз(д), У зз(х) У4(у) где зеп )2(л) = айвз, 9 = 1, 2, 3. 4. В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса — Гурвица или критерием Михайлова. 919. ( 929.( 921. ( 922.
( 926. х=хд — т. +у у=х у ° 928. х=2д — х — д', д= т — 2У. 930. х = х — у — ху, д — 2х д дз З 15. Устойчивость 932. у'о + уо + у' + 2у = О. 933. до'+ 2уо+ 2д'+ Зу = О. 939. у~~ 940. у~и 941. ух+ 2у~~ + 4уо'+ бди+ бу'+ 4у = О. 942 ухЧ 2уьч+Зу +бр +бр +2у О 943 ч1У + Ъ~~У+ 6~/ + 7уо+ 4уь+ 4у 0 944. ух + 4д У+ Ори'+ Вбдо+ 19д'+ 13у = О. 945. дч + 4д У + 1бдо' + 25уо + 13д' + Оу = О.
946 цУ + Зуьи + 10 от + 22уо + 23у~ + 12у 0 947. у~ + бдт" + 15до' + 48уо + 44у' + 74у = О. 948 ух+ 2утч +14уг +Збуо+23у'+68у 0 В задачах 949 †9 исследовать, при каких значенинх параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. ро' + ауо + Ьу' + 2у = О. 950. до' + Здо + ау' + Ьу = О.
951. д~ч+ 2у'о+ Зри+ 2у'+ ау = О. 952. у~~ + ауо' + уо + 2у' + р = О. 953. ау~и+ уо'+уи+ у'+ Ьу = О. 954. у~ + уо' + ауо + у' + Ьу = О. 955. у~и+ ау'и+ 4уо+ 2у'+ Ьу = О. 956. у~и + 2уо' + ауо + Ьу' + у = О. 934. ути 935. у" 938. у'У + 2уо' + 4уи + Зу' + 2у = О. + 2уо'+ Здо+ 7д'+ 2у = О. + 2уо'+ буо + 5у'+ бу = О. + 8у'о + 14до + Збу' + 45у = О. + 13уо' + 16уо + 55у' + 76у = О. + Зуо' + 26у" + 74у' + 85у = О. + 3,1уо'+ 5,2уо + 9,8у'+ 5,8у = О. 116. Особые точки 957.
у~~+аул'+ 4уо+ Ьу'+ у = О. 958. у~и + 2уи' + 4уо + оу' + 1~у = О. Для исследования устойчивости уравнений с периодическими коэффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии и вычислить мультипликаторы, см. (ос], гл. 1И, з 15, з 16. 959. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения х + р(г)х = О, р(1) = а~ (О < 1 < к), р(Ь) = Ь (х < 1 < 2х), р(1+ 2х) = р(1), при следующих значениях параметров: 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1) ' . А(1 + 2) = А(г), А(1) = ~ „„~ при 0 < 1 < 1, А(1) = ~ ~ при 1 < Ь < 2.
/О а1 /О 01 916. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Особой точкой системы — =Р(х у): — =Ю(х, и) с1х с!у Йг ' ' Йс нли уравнения Йу Я(х у) (2) Йх Р(х, у)' где функции Р и Я непрерывно днфференцируемы, называетсн такая точка, а которой Р(х, у) = О, Я(х, у) = О. 2. Для исследования особой точки системы Й. — = ох+ Ьу, Йг Йу — = ох+ Йу Й1 (5) а) а=ОД в) а = 0.5. д) а = 1, Ь= О; Ь=О; б) а=0,5, Ь=1; г) а=0.75. Ь=О: е) а = 1, Ь = 1,5. з 16.
Особые точки или уравнении ад +дп (4) йх ах+ >ш надо найти корни характеристического уравнения (=О. (5) Если корни вещественные, различные и одного знака, то особая точка — увел (рис. 6„а), если резных знаков — седло (рис. О,б), если корни комплексные с вещественной частью, отличной от нуля, то особая точка — фокус (рис.
О,е), если чисто мнимые,— центр (рис. О,г); если корни равные и ненулевые (т. е. Л1 Лз ВВ 0), то особан точка может быть вырожденным узлом (рис. О,д) или дикритическим узлом (рис. О,е), причем дикритический узел имеет место только в случае системы — „, = ох; зл = 1, з = ор (или уравнения;-,л = л), а во всех остальных случанх при Л| = Лз ф О особая точка явлнется вырожденным узлом. Если же один или оба корня уравнения (5) равны нулю. то а б! ~ = 0 и, следовательно, дробь в правой части уравнения (4) с И~ сокращаетсн. уравнение принимает вид -'л = Й, и решения на плос- 1 кости х, р изображаются параллельными прямыми.
в) б) е) д) Рис. 6 Чтобы начертить траектории (кривые. изображающие решения на плоскости т, у) в случае узла, седла и вырожденного уз- 316. Особые точки ла, надо прежде всего найти те решения, которые изображаются прямыми. проходнщими через особую точку. Эти прямые всегда /о 61 направлены вдоль собственных векторов матрицы ~ ), составленной из коэффициентов данной системы (3).
В случае узла кривые касаются той примой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего м е н ь ш е м у по абсолютной величине значению Л. В случае особой точки типо фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку НеЛ и, во-вторых, определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибудь точке (з, у) вектор скорости ( л',, ф), определяемый по формулам (3).
Аналогично исследуетсн направление движения в случае вырожденного узла. П р и м е р 1. Исследовать особую точку з = О, д = О системы (6) Составляем и решаем характеристическое уравнение = О, (2 — Л)(1 — Л) = О, Лд = 1, ! ° 2 — Л О Лг =2. Корни вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особан точка — узел (того же типа, что на рис. 6,а). Длн Лг = 1 находим собственный вектор (О, 1), а для Лз = 2— вектор (1, 1). На плоскости з, у строим прямые, направленные вдоль этих векторов, а затем кривые„ касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как (Лг! ( )Лз(, см. рис, 7.
Другой способ построения интегральных кривых. Разделив одно из уравнений (6) на другое, получим уравнение вида (4) Рнс. 7 ду зьр ( бз 2з или — = бз 2з 1, бр к+у) 100 316. Особые точки Прямые, проходящие через особую точку, ищем в виде у = йх (а также х = 0). Подставляя в написанные уравнения. находим й = 1. Значит, у = х и х = 0 — искомые прнмые. Остальные интегральные кривые строятся с помощью изоклин (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
