irodov_1 (523132), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Таким образом, для определения собственных значений и собственных функций этого оператора надо, согласно (5.16), решить уравнение Подстановка у = Се ~ приводит после сокращения на общий множитель е"~ к уравнению — Йа = М„из которого а = ~М,/Ь. Значит, решение уравнения ~5.22) таково: Эта функция конечна, непрерывна и гладкая. Она должна быть и однозначной, ддя чего должно быть выполнено условие ц~~~р+ 2п) = у(~р). Данное условие Выполняется тОлькО при целых значениях ш В (5.23). Следовательно, проекция углового момента на ось Е являет- сЯ кратноЙ пОстОЯннОЙ Планка: (5.24) Поскольку ось Я выбирают произвольно, равенство (5.24) означает, что проекция углового момента на любое направление квантуется.

Схематически это показано на рис. 5.2. Разумеется, подобные схемы не следует понимать буквально, ибо авектор» М принципиально ие имеет определенных направлений и пространстве. ПО причинам, кОторые Выяснятся в дальнейшем Я 7.1), число ш называют МЯЕНИЖНЫМ КВИНТОВЫМ ЧИ СЛОМ. С точки зрения квантовой теории волновая функция щ, соответствующая Определенному квантовому числу 1, представляет собой супер- пОзицию сОстОяние (щ,~-функций), отличающихся друг От друГа кВантовым числОм ш.

Иначе говоря, состояние с заданным 1 является вырожденным по ш, причем кратность Вырождения, т. е. Число различных значений ш, как следует из (5.24), равно 21 + 1. Как будет показано в дальнейшем Я 7.2), вырождение снимается при помещении атОма. Б МВ.ГБИТБОВ ПОЛО. Проекция вектора не может быть больше модуля этого вектора, т. е. ~М,~ < М, поэтому в соответствии с ~5.20) и (5.21) дол- ЖНО ВЬХПОЛНЯТЬСЯ УСЛОВИЮ !Ш! < равно Мы видим, что при заданном 1 число ш принимает 21 + 1 зна- ЧЕНИИ: образующих спектр величины М,. Заметим, что в квантовой теории при указании орбитального момента принято называть то- лькО 1, поскОльку Оно задает как модуль уГлОВОГО момента, так и все возможные значения его проекций на ось 2.

Так например, когда говорят, что орбитальный момент 1 = 2, то имеется в виду модуль М момента и спектр М,: М =ЬГб, М, = 26„1Ь, О,— 1Ь,-26. (5.25) (5. 26) Ф 5.3. Ротатор В квантовои теории с моментом и пульса М связан не только электрон, но и такой важныЙ вопрос, как вращение молекул. В классической механике кинетическая энергия вращающегося твердого тела определяется формулой Е = М2/2Х, где 1— Момент инерции тела относительно соответствующеЙ Оси вра- ЩВНИЯ. Такая же формула справедлива и в квантовой теории, но только для связи между операторами: (5.32) Из этой формулы следует, что собственные значения оператора энергии, так же как и собственные значения оператора М, яв- "2 ляются квантованными величинами.

Согласно (5.21) имеем (5.33) г=0,1,2, ... где г — вращательное квантовое число (мы просто заменили 1 на г, чтобы подчеркнуть, что это соотношение относится к вращению молекул). Неизменяемую вращательную систему в квантовой физике называют ротатором. Формула (5.33) определяет его энергетические уровни, а значит и вращательные уровни молекулы. Из этой формулы Следует, что расстояние Между вращательными уровнями ротатора (молекулы) растет с увеличением квантового числа г. В самом деле, интервал между уровнями г и г+ 1 = — (г+ 1).

Для вращательного квантового числа г действует правило отбора б) Согласно (5.3) сначала найдем производнУю дЧ~/дх: После подстановки этого выражения в (5.3) получим М вЂ” Ыа') ехр( — 2хЧа )Йх. (р„) = — ИАА ~лр'йх = АА* ехр( — 2х~/а ) Йх = 1. (2) Кроме того, интеграл (1) представляет собой разность двух интег- ралов. Второй их них равен нулю, так как подынтегральная фун- .ецио ~~~ я~~я~~~я я~и.~ной. Ос~й~т(:я ~~р~ый инт~~~йд: (р„> = ЙйАА' ехр( — 2х~/а )Йх. Учитывая (2), получим в результате Р е ш е н и е.

В данном случае в формуле (5.1) под Йх надо пони- мать элемент объема ЙУ. Б качестве такового для упрощения рас- чета наиболее целесообразно взять сферический слой с радиусами г и г+ Йг. Для него ЙГ = 4~т~йг и 5.6. Частица находится в сферически-симметричном потенциальном поле в состоянии, описываемом нормированной пси-функцией .

Характеристики

Список файлов книги