irodov_1 (523132), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При нахождении возможного значения минимальной энергии Е„частицы мы обычно считаем, что импульс частицы по порядку Величины раВен 8ГО неопределенности, т. е. я - Лр. На каком основании7 Чтобы понять, почему это так, представим себе, что частица в этой области имеет энергию Е > Е„„,. Тогда ее импульс может быть представлен как р = <р> + Лр. Теперь начнем мысленно уменьшать энергию Е, а значит и импульс Я>>. При этом Л~Р не меняется, поскольку Лр Ь/1 согласно соотношению (3.20).
Еогда Е станет равной Е„„„величина (р> обратится в нуль и останется только Лр. Эту величину и принимают за р. Теперь перейдем к ЙтОму Водорода. Оценим его размер и попытаемся понять, почему электрон не падает на ядро (как это можно объяснить с помощью соотношения неопределенностей). Точное положение электрона в данном атоме запрещено принципом неопределенности: был бы бесконечно большой разброс в его импульсе. Поэтому для оценки наименьшей возможной энергии Е„„„электрона в кулоновском поле ядра можно положить разброс расстояний электрона от ядра Лг г и Лр = р. Тогда согласно (3.20) р Ь/г, и энергия Е может быть представлена как ~3.22) Значение Г, при которОм Е = мин, мОжнО найти, приравняв пр дную аЕ~аг к ну Отсюда следует, что (3.
23) Полученный результат полностью совпадает с боровским ради- усом (2.23). Подставив ~3.23) в (3.22), мы найдем энергию Е„„„: = — 13,6 эВ, 2Ь~ ~3.24) что также соВпадает с энерГией ОснОВЕОГО сОстОяния атома ВО- дорода Р.25). Разумеется, совпадение наших грубых оценок с значениями г и Е следует считать случайным. Важно лишь то, что получен верный порядок этих Величин и что, ОснОвываясь на ВОлнОВых представлениях, или принципе неопределеннО- сти, можно понять, почему атомный электрон не падает на ядро.
Размер атома ЯВляется результатом компромисса двух слагаемых энергии (3.22), имеющих противоположные знаки. Если увеличить отрицательное слагаемое (потенциальную энергию), уменьшив г, то увеличится кинетическая энергия, и наоборот. ностью. Пси-функцию, удовлетворяющую условию ~4.3), назыВают нОрмированной. Принцип суперпозиции. Итак, непосредственный физический смысл имеет не сама Ч'-функция, а квадрат ее модуля ~Ч'~2 или Ч'Ч' . И тем не менее в квантовой теории оперируют с Ч'-функцией, а не с экспериментально наблюдаемой величиной ~Ч'~2. Это необходимо для истолкования волновых свойств микрочастиц — интерференции и дифракции. Ситуация здесь совершенно идентична ТОЙ, какую мы имеем В волновой теории.
В волновой теории принимается лринций сулерпозиции самих волновых полей, а не их интенсивностей. Именно так вводятся В теорию явления интерференции и дифракции Подобным же образом в квантовой теории принимается как Один из ОснОВных постулатов лринцил суйерйоЗиции пси-функций.
Если у некоторой системы возможными являются состояния Ч'1 и Ч'2, то для нее существует также состояние где С1 и е2 — некоторые Постоянные коэффициенты. Найдя таким образом Ч', можно далее определить и плотность вероятности Ч'Ч' пребывания системы в этом состоянии. Подтверждением принципа суперпозиции ~4.4) является со- ГЛЙСИВ С ОПЫТОЫ ВЫТВИЗЮЩИХ ИЗ НОГО СЛЕДСТВИИ. 5 4.2. Уравнение Шредингера ПОиск уравненияр управляющего изменениями сОстОяния системы, т. е.
ее 'Р-функции во времени успешно был завершен Э. Шредингером (1926). Это — основное уравнение нерелятивистской квантовой теории, уравнение Шредингера. Данное уравнение было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, которыЙ Невозможно Вывести из прежних представлений и теориЙ. Справедливость этого уравнения установлена тем~ что Все вытекающие из него следствия подтВерждены экс- ПЕРИМЕНТОМ. Сформулировав это уравнение, Шредингер сразу же применил его к атому Водорода и получил для уровней энергии спектр, точно совпадающий с0 спектром по первОначальноЙ теории Бора и соответственно — с результатами наблюдениЙ. Это уравнение называют уравнение~ Шредингера для ста~иоиарных состояний.
В отличие от него, (4.5) называют временным или общим уравнением Шредингера. В дальнейшем мы будем иметь дело только с уравнением ~4.8) и будем записывать его ~как это обычно принято) в виде Еще рйз напомним, что потенциальная энергия — функция У(г) — здесь определяется классически, как если бы никакими волновыми свойствами частица не обладала. Квантование. В отличие от первоначальной теории Бора, где кВантОвание Вводилось искусственно, В теории ШрединГерй Оно возникает автоматически. Достаточно только учесть, что физический смысл имеют лишь те решения уравнения (4.9), которые удовлетворяют естественным или стандартным условиям. Эти условия состоят в том, что пси-функция ~(Г) должна быть конечной, однозначной, непрерывкой и гладкой (т.
е. без изломОВ) ВО Всем прОстрйнстве, даже В тех тОчках (линиях, поверхностях), где потенциальная энергия У~г) терпит разрыв. Эти условия не представляют чего-нибудь особенного. Это обычные требования, накладываемые нй искомое решение диффе- РЕНЦИЙЛЬНОГО УРЙВНЕНИЯ. Решения, удовлетВоряющие этим услоВиям, оказываются Возможными лишь при некоторых знйчениЯх энерГии Е. Их нйзыВают СОбственными значениями, Й функции ~7(Г), являющиеся решениями уравнения (4,9) при этих значениях энергии,— собствениыми функцияли, принадлежащими собственным значениям Е.
В этом и состоит естественный и общий принцип КВЙНТОВВНИЯ. Собственные значения энергии Е и принимаются за возможные значения энергии В соответствующих стационарных состояниях. Эти значения энергии Е могут быть дискретными (квантованными) или непрерывными, образуя дискретный или непрерывный энергетический спектр. В общем случае зависимости потенциальной энергии У(г) от координат, решение уравнения Шредингера представляет собой весьма громоздкую задачу.
Бо если мы все же нашли это Исходим из уравнения Шредингера (4З). Для одномерного случая в пределах ямы (где У = О) это уравнение упрощается: (4. 10) Общее решение уравнения (4.10) имеет вид у(х) = а е1п(йх + а), где я и и — произвольные постоянные. Теперь самое главное: мы должны потребовать от функции ~(х), чтобы она удовлетворяла естественным (стандартным) условиям. Видно, что у(х) в виде (4.12) однозначна и конечна. Она должна быть еще и непрерывной, а именно, вне ямы частица быть не может, значит там фх) = О, и для непрерывности у-функции необходимо, чтобы при х = 0 и х = 1 функция (4.12) была бы равна нулю.
Из условия у(0) = аяша = 0 ф1) = а в~пЫ = 0 (4.13) где и = 1, 2, 3, ... (и = О отпадает, так как при этом у = 0 — частицы вообще нет). Подставив Й из (4.13) в (4.Щ, получим Еь 2 и, и=1,2,3, ... шР Энергия оказалась квантованной и ее спектр — дискретный (рис. 4.1, б).
Снабдим решения на участке 1 индексом 1, а на участне 2— индексом 2. Теперь запишем уравнение Шредингера для этих ДБух у'чзсткОБ ." у" + А~у~ — — О, у~ + хауз —— О, (4. 16) (4.17) Общие решения этих уравнений имеют вид щ(х) = а зп~(йх+ а), уз(х) = Ье + се~. Они должны удовлетворять естественным условиям. Из условия непрерывности ~-функции, учитывая, что при х < О ~~ =О, имеем щ~(О) = О, откуда и = О. Из требования конечности Ч/-функции следует, что коэффициент с = О, поскольку экспонента с положительным показателем соответствует непрерывному росту вероятности обнаружения частицы в области 2 с увеличением глубины проникновения х.
И наконец, требование непрерывности и гладкости у-функции в точке х = 1 означает, что Отсюда мы прикодим к трансцендентному уравнению (4.18) которое удобнее представить через синус по формуле В результате получим (4.19) вшИ =+СЫ, где С = Ь./ Изобразив графики левой и правой частей этого уравнения (рис. 4.4), найдем точки пересечения прямой с синусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям Е, будут соответствовать тем точкам пересечения, для которых $аИ < О согласно (4.18). Это значит, что корни уравнения (4.19) должны находиться в четных четвертях окруж- ности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными отрезками).
Из рис. 4.4 видно, что корни уравнения (4.19), т. е. связан- НЫВ СОСТОЯНИЯ, СУЩВСТВУЮТ В такой яме не всегда. ПунктирОм показано прВдВльноВ поло- Рис. 4.4 жение прямой СЙ1. Например, первый уровень, как следует из этого рисунка, появляется при условии Ы = к~2, когда СЫ = 1, откуда Е = Го.
ВтороЙ уровень — при И = (3/2)7Г и т. д. Таким образом, в данной яме при Е < Ус спектр собственных значений энергии Е оказывается дискретным. Этим значе-,.;:, % „: Ч~з состояния частицы и характе- О РИЗУЮЩИВ ЭТИ СОСТОЯНИЯ l~ ~~ ~$ ~У-ФУНКЦИИ, ОДНЙ ИЗ КОТОРЫХ Рис. 4.5 показана на рис. 4.5. Следует еще раз ОтмВтить, чтО такая потенциальная ямй, кйк показывает расчет и график на рис. 4.4, может не содержать и ни одного уровня (это будет при условии ОГО < ш2 У/Зт). В этом случае движение частицы не локализовано в конечной области, 88 движение| как говорят, мкфц,имшно. Нельзя не обратить внимания на тот удивительный (с точки зрения классики) факт, что частица, будучи в связанном состоянии, может оказаться и в области 2 (см.
рис. 4.3), где ее полная энергия Е < Уо. Объясняется это тем, что равенство Е = К+ У в квантовой теории теряет смысл: кинетическая К и потенциальная У энергии в силу принципа неопределенности не могут Одновременно принимать точные значения. В самом деле, Г зависит от координат, а К вЂ” от импульса частицы. ПоЭТОму Не СЛВДУВТ УДИВЛЯТЬСЯ ТОМУ, ЧТО В НЕКОТОРЫХ МЕСТЙХ ПОЛ- ная энергия Е < У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
