irodov_1 (523132), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Отметим также, что с ростом, например, глубины ямы, т. е. УО, число уровней энергии Е и связанных состояний будет увеличиваться, а вероятность обнаружения частицы в области 2 Еолебаиия молекул В ЙТОМНОЙ физике к осциллятору сводится задача о колебаниях молекул и многие другие важные задачи. Применим полученные выводы к колебаниям, например двухатомных молекул. На рис. 4.9 изображена потенциальная энерГия У ВзаимодейстВия атомоВ В двухатомнОЙ молекуле (типа ЫЙС1) в зависимости от расстояния Г между ядрами атомов. Из вида кривой ЩГ) следует, что атомы В Молекуле МОгут совершать колебания относительно равновесного расстОяния Го между ядрамиу и у молекулыр следовательн01 должны суще ствовать дискретные колебательные уровни энергии.
Они описываются той же Формулой (4.23), где теперь под О надо понимать Оо = ~хф, ц — приведенная масса Молекулыр ~ Ш1ШЗ/(Ш1 + Ш2) Нижняя часть потенциальной кривой на рис. 4.9 совпадает с параболой (она изображена пунктиром), поэтому при малых колебаниях молекулы ведут себя как идеальные, гармонические осцилляторы, и их нижние колебательные уровни должны быть эквидистантны, как показано на рис.
4.10. У Наличие дискретных колебательных уровней приводит к появлению В молекулярных спектрах ЛИНИЙ, связанных с переходами между эти- | ми уровнями В СООТВетствии с правилом отбора (4.24), и поэтому весь колебательный спектр должен состоять из одной линии (см. рис. 4.10). Впрочем при этом наблюдается не чисто колеба- во тельный, а так называемый колебашельно-вращательный спектр (см.
5 5.3). АНГармоеичность (Отклонение От ГармоеичнОсти), наступающая при увеличении интенсивности колебаний, приводит к тому, что с увеличением кВантовоГО числа у энерГетические уровни сгущаются, и в Формулу (4.23) необходимо вводить поправку на ЙЕГармоничность. Ь2 —— О. Из условия непрерывности у и у„в точке х = О следует, ЧТО щ(0) = ~р2(О), или а1+ Ь1 = а2, у'(0) =~р2(О), или а1Й1+ Ь1Й1 — — азй2.
Из совместного решения этих двух уравнений находим, что отношения амплитуд отраженной и прошедшей Волн к амплитуде а1 падающей ВОлны равны: (4. 30) Для определения интересующих нас коэффициентов В и Е) введем понятие плотности потока вероятности У. Скорость распространения ВерОятности такого потока просто сОВпйдйет с классической скоростью и частицы, и мы можем написать и = р~т = ЬЙ/т, поскольку согласно (3.1) р = ЬЙ.
Таким образом, В соответствии с видом Ч'-функции (4.26) для падающей, отра- ЖВБНОИ И Щ)ОШВДШОИ ВОЛН МЫ ИМОЭМ Теперь можно записать выражения для коэффициентов отра- жения В и пропускания В: (4*31) Отсюда следует, что В+ Ю = 1, что и должно быть по определению. Кроме того, видно, что значения В и З не зависят от направления движения частицы: слева направо на рис. 4.11 или наоборот. Заметим, что в классическом случае В = 0 при Е > Уэ. 2. В случае Е < Го формулы (4.30) остаются справедливыми. Однако Й2 будет чисто мнимым согласно (4.28).
При этом выражение (4.31) для коэффициента отражения следует записать 'ГИК: Здесь числитель и знаменатель — Величины комплекснО-сопряженные. Значит В = 1, т. е. отражение частиц будет полным. Но у-функция при х > 0 не обращается в нуль.
В самом деле, полагая Й2 — — 1в, где Й = 2т(УΠ— Е)/Ь получим, что уз ся е ~ и плОтнОсть Вероятности местопОложения частицы Р~х) = Р~О) е 2~*. Видно, что с увеличением глубины проникновения х плотность вероятности Р(х) убывает экспоненциально. Это убывание происходит тем быстрее, чем больше разность (Ур — Е). Обычно глубину проникноВения Определяют как расстояние 1р на ЕОтО- ром Р~х) убывает В е раз. При этом в (4.33) 2Й1 = 1 и 1 = 1/2Й = Ь/ Можно убедиться, что для электрона при Уо — Е = 10 з эВ глубина проникновения 1 = 10 7 см.
Таким образом у-функция проникает в область х > О, несмотря на то, чтО падающая Волна Отражается пОлнОстью. В классической физике проникновение частиц под барьер запрещено, поскольку в этой области кинетическая энергия оказывается отрицательной, чего быть не может. Но мы уже знаем, что разделение полной энергии Е на кинетическую и потенциальную не совместимО с сООтнОшением неОпределеннО- стей (3.20), см.
также стр. 95. Туниельный эффект. Способность квантовых частиц в силу своих волновых свойств заходить под барьер приводит к так называемому туниелькомц эффектц. Он заключается в следующем. Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер У~х), Т0 она с определенной вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, т. е. пройти область, где Е < У. 4.ХО. Пдо~о~деиие ~~сш~ы ~ерез порю~. Частице.
м®ссы ~ д~и:а~ется слева направо в потенциальном поле (рис. 4.Щ, которое в точке х = О испытывает скачок Уо. При ж < О энергия частицы равна Е. Найти коэФфициент О'ГРижениЯ Я, если .Е 4. Ур. Р е ш е н и е. Здесь следует повторить рассуждения, приведенные в ~ 4.5 для случая 1. Отлн хи8 33жлючз8тся лишь В тОм„чтО В выражении для Йз (4.28) должно, как видно из рис. 4.15, стоять не Š— Ус, а Е + Уэ.
Таким образом, искомый коэФФициент с учетом того, что Й1 к Йз, МОЖНО 3ЗПИСИТЬ ТЗК: (здесь мы пренебрегли величиной Й1/Йз в квадрате), Отсюда следует (чисто квантовый эФФект), что чем меньше Е, тем ближе В к единице. С классической точки зрения это в ПРИБЦИП8 НВВОЗМОЖБО. ОСНОВЫ КВИНТОВОЙ ТВОРИИ 5 5.1.
Операторы физических величин Средние значения физических величин. Понятие среднего значения различных физичВских величин является весьма важным в квантовой теории. Рассмотрим зтот вопрос на конкретном примере — Определим среднее значение координаты х час- ТИЦЫ, ВСЛИ ИЗВВСТНЙ 88 ф-ФУНКЦИЯ» КОТОРУЮ МЫ РЙДИ ПРОСТОТЫ будем считать функцией только одной пространственной коор- ДИК ВТЬХ Ж е Мы уже знаем, что ~ 2 или фх)у*(х) является плотностью вероятности найти частицу в окрестности КОординаты х. Тогда вероятность местонахождения частицы в интервале (х, х+ йх) есть ЙР = ~~~~*йх, и среднее значение х определяется как (5.1) где интегрирование проводится по интересующей нас области.
При этом предполагается, что у-функция является нормиро- ванной в (5.1). т. е. удовлетворяет условию (4.3): В предыдущей ГлавВ былО показано, что состояние квйнто- вОЙ частицы определяется не координатами и Импульсом, а заданием ц7-функции, вид которой зависит От конкретнОГО потенциального поля. Ероме ТОГО, как выяснилось, ~~-функция, описывающая сама по себе распределение по координатам, определяет также распределение по импульсам и друГим динамическим характеристикам частицыр таким как кинВтичВская энергия, МОМВНТ ИМПУЛЬСЙ И ДР. Таким Обрйзому ц~-функция пОлнОстью Определяет не тОлькО «пОлОжение» частицы, но и все 88 динамические характеристики.
Надо только знать рецепты, с помощью которых можно «извлечь» интересующую нас информацию из ~-функции. Е решению етой задачи мы и приступаем. Функции, являющиеся Решением Уравнения (5.16) и Удовлетворяющие естественным Условиям, называют собс~йеея~ы- ~~ ф~й~ц~~~~ оператора 9. Те значения Я, при которых такие Решения существуют, называют собс~лее~~ь~и~ з~ОчВ~~Я~~~ физической величины 9. При этом набор собственных значений для оператора Ц определяет значения 9, которые могут быть найдены из опыта при измерении данноЙ физическоЙ величины, Набор собственных значений физической величины 9 иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Опыт показывает, что В последнем случае измеренные значения Д деЙСТ- вительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями 9.
Примером дискретности в микромире являются Оптические спектры атомов, которые сОстОят из Ряда ОтдельНЬХХ ТОНКИХ Линии. Уравнение (5.16) является обобщением правила квантования энергии, Рассмотренного В предыдущеи главе, на случай любых физических величин. Чтобы убедиться в этом, подставим (5.9) — оператор Й в (5.16): (5.17) Это уравнение Шредингера (4.3) для стационарных состояний. Поэтому сокращеннО егО мОжнО записать В символическоЙ форме (5.18) отличающейся от (5.16) только обозначениями. Момент импульса. Момент импульса М является одной из важнейших характеристик движения. Его значение связано с тем, что М сохран4ытся, если система изолирована или движется в центральном силовом поле.
Однако в квантовой теории момент импульса существенно Отличается От классического. А именно, модуль момента импульса может быть задан сколь угодно точно только с одной из проекций, например, М,. Другие две проекции оказываются полностью неопределенными. Модуль момента импульса. Начнем с квадрата момента. Согласно (5.13) для этого необходимо решить уравнение л Оператор М достаточно сложный, и решение этого уравнения является очень громоздким. Поэтому мы ограничимся приокончательных результатов, причем Только для собственных значений данного Оператора: 1=0, 1,2, ..., где 1 — так называемое орбитальное (или азимутальн,ое) кван- товое число. Отсюда модуль момента ~=0, 1,2, ...
(5.21) Видно, что эта величина является дискретной (квантованной). Следует отметить, что между классическим моментом импульса и соответствую~~им ему оператором имеется су~цественное различие. Елассический момент г х р зависит от выбора точки О, относительно которой берется радиус-вектор г. Оператор же момента импульса не зависит от выбора точки О (в этом можно убедиться, записав проекции момента в сферических координатах). Это означает, что направление момента М В прОстранстВе является неопределенным. Наглядно подобную ситуацию можно попытаться представить так: Вектор М как-тО «размазан» по Образующим конуса, Ось кОтО- рого Совпадает с направлением Координатной оси Я (рис.
5.1). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция М,. Другие две проекции, М„и Мд, оказываются ПОЛНОСТЬЮ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ. Говоря в дальнейшем о «векторе» момента, мы будем иметь В ВИДУ им8нно тзжОи ЫВзнтОВьхи смысл этОЕ ВВличнны. В этой главе мы ограничимся рассмотрением момента для одного электрона. В дальнейшем же по мере усложнения системы выясним, как это отразится на моменте системы Я 6.4). Это значит, что оператор момента импульса заВисит тОлькО от направления координатных осей.
Поэтому его лучше назыВать ОПГ~РЙшором ДГАОВОГО мОМВиши. Не зависят от выбора точки О и собственные значения операторов квадрата и проекции углового момента, М и М,. "2 Проекция момента М,. Поскольку в одном и том же состоянии проекции момента на два различных направления не могут иметь определенные значения, то избранное направление можно взять произвольно. Такое направление обычно принимают за ось Е, так как в этом случае оператор М, дается более простой формулой ~5.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
