shpora (522792), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Уравнение моментов. Пользуясь уравнением момента импульса твердого тела .

Первое слагаемое в выражении (7.4) равняется нулю, поскольку производная от радиуса по времени, являющаяся скоростью i-ой части тела, параллельна ее импульсу. Второе слагаемое преобразуем, воспользовавшись 2-ым законом Ньютона: , где - соответственно сумма внешних и внутренних силы, действующие на i-ый элемент тела. Подставим это в уравнение и получим

Закон: Момент импульса системы тел сохраняется неизменным при любых взаимодействиях внутри системы, если суммарный момент внешних сил, действующих на систему равен нулю.

5) Закон сохранения момента импульса механической системы и его связь с изотропностью пространства.

В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т. е. одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.

Лекция 3. Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Связь между потенциальной энергией и силой. Потенциальные энергии тяготения и упругих деформаций. Уравнение изменения механической энергии. Закон сохранения механической энергии и его связь с однородностью времени.

1) Работа и кинетическая энергия.

Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек.

где: — масса тела; — скорость центра масс тела;

— момент инерции тела; — угловая скорость тела.

Единица измерения в системе СИ — Джоуль.

Работа всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы:

2) Консервативная сила. Работа в потенциальном поле.

Консервативные силы (потенциальные силы) — силы, работа которых не зависит от формы траектории.

Для консервативных сил выполняются следующие тождества:

— работа консервативных сил равен 0;

— работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

— консервативная сила является градиентом некой скалярной функции U, называемой силовой.

В потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю.

3) Связь между потенциальной энергией и силой.

Работа: , где -проекция на перемещение. - потенциальная энергия. . - среднее значение на отрезке Для того, чтобы найти положение любой точки необходимо найти предел: - частная производная энергии по направлению. Поскольку направление S было выбрано произвольно, то можно представить это по координатам: Эта функция представляет проекции вектора силы на координатные оси.

4) Потенциальные энергии тяготения и упругих деформаций

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

Ep = mgh,

где Ep — потенциальная энергия тела, m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота положения центра масс тела

5) Уравнение изменения механической энергии

Изменение кинетической энергии системы равно суммарной работе всех сил, действующих на тела этой системы: DEк = Aпот.с.+ Aнепот.с.+ Aвнеш.с.

Изменение потенциальной энергии системы равно работе потенциальных сил с обратным знаком:

DEп = - Aпот.с.

Изменение полной механической энергии равно: DE = DEп + DEк

Из уравнений получим, что изменение полной механической энергии равно суммарной работе всех внешних сил и внутренних непотенциальных сил. DEк = Aвнеш.с.+ Aнепот.с.

6) Закон сохранения механической энергии и его связь с однородностью времени.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени.

Колебания и волны

Лекция 4. Уравнение гармонических колебаний. Представление гармонических колебаний на векторной диаграмме. Сложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот.

1) Свободные незатухаюшие колебания.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. _, где ω – частота колебания, x_m – амплитуда колебания, φ₀ и φ₀’ – начальные фазы колебания.

2) Представление гармонических колебаний на векторной диаграмме.

Для представления величины x, изменяющейся по гармоническому закону x = A·cos(w·t + f0), изобразим на произвольной оси X вектор r, исходящим из точки O. Пусть длина данного вектора равна амплитуде A, а угол с осью X равен фазе Ф. Допустим, что вектор r вращается вокруг точки O с угловой скоростью w против часовой стрелки, что соответствует положительному направлению отсчета углов. Тогда угол между вектором и осью, равный фазе колебаний, будет изменяться по закону Ф(t) = w·t + f0. Значение физической величины x в любой момент времени зададим как проекцию вектора r на ось Х:

rx = x = A·cos(w·t + f0).Итак, скалярное гармоническое колебание можно представить как проекцию вектора с амплитудой A, который вращается вокруг закрепленной точки O с постоянной угловой скоростью w.

3) Cложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний равных и кратных частот.

- гармонические колебания той же частоты с амплитудой

Частоты одинаковы, фазы сдвинуты на , амплитуды различны:

Частоты и амплитуды различны:

- получаем либо незамкнутые траектории, либо фигуры Лиссажу (замкнутые кривые), если частоты кратные.

4) Cложение гармонических колебаний одного направления равных и близких частот.

При сложении двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, результирующее смещение будет суммой ( ) смещений и , которые запишутся следующими выражениями:

, ,

Сумма двух гармонических колебаний также будет гармоническим колебанием той же круговой частоты:

= .

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Лекция 5. Энергия и импульс гармонического осциллятора. Фазовая траектория. Уравнение колебаний физического маятника. Квазиупругая сила. Свободные затухающие колебания. Логарифмический декремент затухающих колебаний. Добротность колебательной системы. Вынужденные колебания. Механический резонанс.

1) Энергия и импульс гармонического осциллятора.

Гармоническим осциллятором называется любая физическая система, совершающая гармонические колебания

Импульс -

Кинетическая энергия потенциальная энергия

Полная энергия

2) Фазовая траектория.

След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек.

Особой точкой называется точка, в которой векторное поле равно нулю и является положением равновесия или точкой покоя динамической системы.

Квазиупругая сила — это сила, пропорциональная смещению тела (аналогично силе упругости), но ее природа не связана с упругой деформацией тела. F_упр=kx, где k = m².

3) Логарифмический декремент затухающих колебаний. Добротность колебательной системы.

Декремент затухающих кол. d равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х колеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Декремент затухающих кол. характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний, а не время такого затухания. Полное время затухания определяется отношением Т/d.

Добротность колебательной системы, отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы, т.к. чем больше Д. к. с., тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Д. к. с. Q связана с логарифмическим декрементом затухания d; при малых декрементах затухания Q " p/d.

где масса m, жёсткость k и коэффициент трения b

4) Механический резонанс.

Механическим резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний тела при совпадении частоты внешнего воздействия с частотой собственных колебаний этого тела.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)