Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Каков бы ни был базис ел,ез,ез, покорные векторные произведения базисных векторов линейно независимы. Докажем это от противного. Рассмотрим равенство Л[ел, ез) + р[ез, ел) + и[ел, ег) = 0 и допустим, что какой-нибудь коэффициент, пусть для определенности Л, отличен от нуля. Умножив обе части равенства скалнрно на ел, мы полУчим Л[ел,ел, ез) = О. ПолУченное пРотивоРечие Доказывает наше предложение. Следующие предложения дают условия на компоненты векторов в произвольном базисе, необходимые и достаточные для компланарности или коллинеарности векторов.
Предложение 7. Равенство нулю детерминанта ллатрииьл из компонент трех векторов необходимо и достаточно для колтланарности векторов. Это сразу следует из формулы (16), поскольку [ел, ез, ез) ф О. Предложение 8.Пусть[11„112гиз) и[В1,,32,62) компоненты векторов а и Ь в некотором базисе. Векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда Гл. б Векгпорнал алгебра Достаточность условия очевидна: из равенств [20) по формуле [14) следует обращение в нуль [а, Ь), что равносильно коллинеарности векторов.
Заметим, что мы пользуемся формулой (14), которая справедлива дли произвольного базиса. Наоборот, из обращения в нуль [а, Ь] и формулы (14) л1ы могкем вывести (20), так как в силу предложения 6 векторы [ег,ез), [ез, е1] и [е„ег) линейно независимы. В планиметрии признак коллинеарности двух векторов дает Предложение 9.
Обращение в нуль детерминанта матрицы из компонент двух векторов на плоскости необходимо и достаточно для коллинеарности этих векторов. Для доказательства будем считать, что плоскость помещена в пространство и базис в этой плоскости дополнен третьим вектором до базиса в пространстве. Тогда векторы а(аг,сх2) и Ь[Ды В2) на плоскости имеют компоненты (аг,а2,0) и [121,62,0) относительно базиса в пространстве. Применяя предложение 8, получаем условно о1 о2 А Ф> Остальные два детерминанта равны нулю, так как схз =,Вз = О. 8. Площадь параллелограмма.
Если в пространстве заданы два неколлинеарных вектора, имеющих общее начало, то площадь параллелограмма, построенного па этих векторах, может быть найдена через их компоненты в ортонормированном базисе по формуле Я = [[а Ь][ = (агдз — сгздз)~ + [азВ1 — а1Дз)2 + (сг162 — а261)2. [21) Еще одно выражение для площади параллелограмма мы получим, если заметим, что [[а,Ь][ = ]а[ [Ь[2 гйп 1с = ]а[2]Ь[ [1 — совем). В результате )а[2 (а, Ь) [ Ь) а[]2 [22) Найдем теперь площадь ориентированного параллелограмма на ориентированной плоскости. Можно считать, что ориентация плоскости определена вектором и, перпендикулярным плоскости и составляющим правую тройку с положительным базисом на плоскости.
Более того, будем предполагать, что ]п[ = 1. Пусть дан ориентированный параллелограмм, построенный на векторах а и Ь. Рассмотрим скалярную проекцию Прп[а, Ь]. Так как [а, Ь] и п коллинеарны, проекция по модулго равна [[а, Ь]], т. е, площади параллелограмма. Она положительна, если [а, Ъ] и п сонаправлены, и отрицательна в противном случае. Но вектор [а, Ь) сонаправлен с и, если пара векторов а, Ь на плоскости ориентирована положительно.
Поэтому Пр [а, Ь] равна площади ориентированного параллелограмма, построенного на а и Ь. По определению проекции За[а, Ь) = [и, а, Ь) д~. Скалярное, омешаккое и векторное произведения [напомним, что [и[ = 1). На плоскости выберем произвольный [не обязательно положительный) базис еы ез. Примем и за третий базисный вектор и выразим смешанное произведение через координаты сомножителей: 0 0 1 Яь[а,Ъ) = си ог 0 [еыез.,п). )11 да 0 Вычисляя детерминант, находим, что оп равен о~Да — озД, и полу- чаем окончательное выражение [23) Ба[а,Ь) = 6 о Яь[еыег). 11 Дг Эта формула сходна с формулой [16). По сущестну это та же формула, написанная для двумерного пространства.
Если еы ез --. положительный ортонормированный базис, то Яь[а, Ь) = о1дз — глад~ [24) Для площади неориентированного параллелограмма в ортонормированном базисе мы получаем формулу Я = [аз~Да — гл Д[, [25) которая следует и из (21). 9. Двойное векторное произведение. Выражение [а, [Ь, с]] называется двойнм.к ввкторкым произведением. Докажем, что [а, [Ь, с]] = [а, с)Ь вЂ” [а, Ь) с. [26) С этой цепью выберем правый ортонормиронанный базис е„еа,ез так, чтобы е1 был коллинеарен Ь, а еа был компланарен Ь и с.
Тогда Ь = Деы с = 'узе1+ П еа и а = ачез + гггег + озез. Отсюда получаем [Ь, с] = )1 улез и [а, [Ь, с]] = — глзД'угег + огд'угеь С друтой стороны, [а, с)Ь = (глз'тз + оз'уз)Деы [а, Ь)с = аз 6[ пез + улез). Разность правых частей двух последних раненств совпадает с найденным выше двойным векторным произведением. Это заканчивает доказательство. 10. Биортогоиальиый базис.
Дадим следующее Определение. Базис, составленный из векторов [еь ез] „[еи е1] „[еь ез] (ен ез, ез) ' (ек еь ез) ' ' [еь еь ез) ' называется взаимным или биортогокальным для базиса ем ел,ез. Из предложения 6 вытекает, что е*, е.', е.* не компланарны и дейстнительно образуют базис. Название "бнортогональный" связано с тем, Гл. В Векгаорнал алгебра что векторы обоих базисов, имеющие разные номера, ортогональны: (е„е,*) = О при г' ф зй Нроме того, (еы еь) = 1 для всех г. Нетрудно проверить, что ортонормированный базис совпадает со своим взаимным.
Предложение 10. Если е,,ег,ез - - базис, взаимный сеь,ег,ез, то произвольный вектор а раскладывается пв этим базисам так: а = (в,е',)ег + (а,е.*)ез + (а,е*)ез, (27) (28) а = (а,е~)е~ + (в,ез)ез + (а,ез)ез. Чтобы доказать (27), умножим равенство а = огег + озе + озез скалярно сначала на е*, затем на е.* и на е*.
Мы получим ог = (а, е*), оз = (а,е~), оз = (а,ез). Аналогично доказываетсн раяенство (28). Предложение 11. Есгт е,,е.'„ез базис, взаимный сеыег,ез, то базис е,*',ег",ез", взаимный с е~,ег,ез, совпадает с ег, ег,ез. Действительно, равенство (28), написанное для базиса е,е.',е*, имеет вид а = (а,е*,) е*, + (а,ег) е.*, + (а,ез) ез . Подставляя сюда вместо а последовательно еы ез и ез и учитывая, что (ее е*) = О при г ~ С а (е„е*,) = 1, получаем ег = е,"*, ез = е'* и ез = ез .
Числа (а,е~), (а,еа) и (а,ез) однозначно определяют вектор а с помощью векторов базиса еы ег, ез. Они называются кввариантными координатами вектора а в базисе еь, ег, ез. По отношению к базису е*„ег,е* это обычные координаты вектора. Обычные координаты, чтобы подчеркнуть их отличие от ковариантных координат, называют контрвариантными координатами.
11. О векторных величинах. В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т. д. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размерностями. С формальной точки зрения, размерность это одночлеп, составленный из какого-то набора символов.
Такие одночлены перемножаются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами. ° Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина. ° Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.
° При умножении векторной величины на скалнрную их размерности перемножаются. ~д. Скаялрное, слешанное и векторное произведения ° Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы Л10).
Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (ллапример, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, ьл/с, 11). Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, та произведение имеет размерность плошади. Масштаб для изображения единиц плолцади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.
Поскольку единица длины у нас выбрана и на меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести це может. Однако оно не так безобидно, как может показаться. Именно, два математика, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (наприьлер, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
