Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 4
Текст из файла (страница 4)
° В трехмерном пространстве базис упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Требование упорядоченности означает, что, например, в случае плоскости а, Ь и Ь,а два разных базиса. Так как векторы базиса линейно независимы, коэффициенты разложения по базису для каждого вектора пространства определены однозначно. Они называются компонентами или координатами вектора в этом базисе. Таким обРазом, если е1, ег, ез базис тРехмеРного пРостРанства, то по формуле а = о1е1+ озез+ озез каждому вектору сопоставлена единственная упорядоченная тройка чисел о1, оз, оз и каждой тройке чисел единственный вектор.
Аналогично, вектор на плоскости имеет две компоненты, а на прямой одну. Компоненты пишутся в скобках после буквенного обозначения вектора, например а(1, О, 1) . В аналитической геометрии геометрические рассуждения о векторах сводятся к вычислениям, в которых участвугот компоненты этих векторов. Следующее предложение показывает, как производятся линейные операции над векторами, если известны их компоненты. Предложение 5. При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число. При сложении векторов складываютсл их соотвегпспгвующие компоненпгы.
Действительно, если а = о,е, + озез + озез, то Ла = Л1о1ег + озез+ озез) = (Ло1)е1+ (Лаз)ез+ (Лаз)ез. Если а = оге1+ олег+ озал и Ь = Дге1+ Взел -Ь )3зез, то а + Ь = (оге1 + азез + азез) + (Д1 е1 + 13зез + Пзез) = = (о1+ Д1)е1+ (оз + Пз)ез + (оз + Дз)ез. Для одномерного и двумерного пространств доказательство отличается только числом слагаемых. 40. Системы координат 17 Упражнения 1. Докажите, что точка С лежит на отрезке АВ тогда и только тогда, когда существует число Л Е [О, 1) такое, что для любой точки О выполнено ОС = ЛОА+ [1 — Л)ОВ. Если Л дано, то в каком отношении точка С делит отрезок АВ7 2.
Дан правильный шестиугольник АВСРЕГ, [АВ[ = 2. Найдите координаты вектора АС в базисе АВ, АВ. 3. В некотором базисе на плоскости заданы координаты вектороа а[1, 2), Ъ[2, 3) и с[ — 1, 1). Проверьте, что а и Ь линейно независимы, и найдите координаты с в базисе а, Ь. 4.
Даны три точки А, В и С. Найдите такую точку О, что ОА+ + ОВ -Ь ОС = О. Решив аналогичную задачу лля четырех точек, докажите, что в треугольной пирамиде отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граавй, пересекаются в одной точке. 2 2. Системы координат 1. Декартова система координат.
Фиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку ЛХ. Радиус-вектором точки ЛХ по отношению к точке О называется вектор ОМ. Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел компоненты ео радиус- вектора. О и р е д ел е н и е. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие чорез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат: первая осью абсцисс, вторая осью ординат, третьл -- осью аппликат. Плоскости., проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.
Определение. Пусть дана декартова система координат О, е,, ег, ез. Компоненты х, у, з радиус-вектора ОЛХ точки М называются координатами точки М в данной системе координат: ОЛХ = хе + уег + лез. Первая координата называется абсциссой, вторан -- ордииатой, а третья — — аппликатой. Аналогично опрсделнются координаты на плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на плоскости имеет только две координаты, а на прямой линии --. одну.
АН?г, 1?г) Координаты т<шки пишут в скобках после буквы, обозначающей точку. Например, запись А[2,1/2) означает, что точка А имеет координаты 2 и 1?2 в ранее выбранной декартовой Сз е, системе координат на плоскости (рис. 4). г Д.В. Беклемишев Гл. Л Векгаарнал алгебра 18 А(хи иь ег) 2. Деление отрезка в заданном отношении. Найдем координаты точки Лд на отрезке АВ, которая делит этот отрезок в отнощении Л/р. т, е. удовлетворяет условию — л>о, р>о ~мв~ (рис. 6).
Это условие можно переписать в виде ВАЛд = ЛлтВ. (1) Обозначив через (х1,у1,г1) и (хг,уз;гг) соответственно координаты точек А и В, а через (х,д,г) координаты точки Л1, разложим обе части равенства по базису, причем компоненты векторов .4ЛТ и ЛТВ найдем по предложению 1. Тогда р(х — х1) = Л(хг — х), .р(у — д1) = Л(дг — д), р(г — г1) = Л(гг — г).
Координаты точки, как и компоненты вектора, величины безразмерные. В частности, они не зависят от выбранной единицы измерения длин. В самом дело, раскладывая векторы в теореме 1, мы сводили дело к разложени1о вектора по коллинеарному с ним ненулевому вектору. Л в этом случае компонента равна отношению длин, взнтому с определенным знаком (предлояеение 2). Легко видеть, что при заданной системе координат координаты точки определены однозначно.
С другой стороны, если задана система координат, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качество координат. Система координат на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание системы координат на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу -- точку. Рассмотрим две точки А и В, координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат О, ег,ег,ез соответственно х1,уг,.г1 и хг,уг,га. Поставим себе задачу найти компоненты вектора АВ.
Очевидно, что АВ = О — 0.4 (рис. 5). Компонсцты радиус-векторон 0.4 и ОВ равны (х1, д1, г1) и (хз, уг, гг) по определению координат. Из предложения 5 81 следует, что АВ имеет компоненты (хз — х1, уг — у1, з — г1). Этим доказано следующее Предложение 1. Чтобы найти координаты вектора, нугкна из координат вга конца вычесть координаты ега начала.
Хй. Системы координат 19 Из этих равенств можно найти х, д и г, поскольку Л + р Х- .О: рх1+ Лхг рщ + Луг рх3 + Лхг (2) х= 1/ = Л+р ' Л+и ' Л+р Если в формулах (2) мы будем считать одно из чисел Л или р отрицательным, то из равенства (1) увидим, что ЛХ находится на той же прямой вне отрезка .4В, деля его в отношении ~Л/р~. Поэтому из формул (2) можно найти координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении как внутренним, так и внешним образоьс На плоскости и оа прямой линии задача о делении отрезка решается точно так же, только из трех равенств в (2) остается соответственно два и одно равенство. 3.
Декартова прямоугольная система координат. Общие декартовы системы координат используются реже, чем специальный класс таких систем декартовы прямоугольные системы координат. Определение. Базис называется ортвнормирвванным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортоцормнрован, называется декартовой прямоугольной системой координат. Нетрудно проверить, что координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат в пространстве по абсолютной величине равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей.
Они имеют знак плюс или ьиинус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично находят координаты точки относительно декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. 4. Полярная система координат. Декартовы системы координат не единственный способ определять при помощи чисел положение точки на плоскости.
Для этого используются многие другие типы координатных систем. Здесь мы опишем некоторые из них. На плоскости часто употребляется полярная система координат. Она определена, если задана точка О, называемая полюсолб и исходящий из полюса луч Е который называется полярной осью. Положение точки ЛХ фиксируется двумя числами: радиусом г = ~0ЛХ~ и углом ~р между полярной осью и М вектором ОЛХ. Этот утол называется полярным углол1 (рис. 7).
г Мы будем измерять полярный утоп в радиа- ег нах и отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки. У полюса г = О, а р не определоно. У остальных точек г ) О, а ~р определяется с е~ точностью до слагаемого, кратного 2л. Это озна- Раи 7 Гл. Х. Ветпарная алгебра 20 чает, что пары чисел (г, уг), (г, 9с + 2к) и вообще (и, уе + 2Ьг), где Л. любое целое число, представляют собой полярные координаты одной и той же точки. Иногда ограничивают изменение полярного угла какими-нибудь условинми, например, О < р < 2л или — и < уг < л.
Это устраняет неоднозначность, но зато вводит другие неудобства. Пусть задана полярная система координат и упорядоченная пара чисел 1г,уе), из которых первое неотрицательно. Мы можем сопоставить этой парс точку, для которой эти числа нвляютсн полярными координатами. Именно, если г = О.,мы сопоставляем полюс. Если же г ) О, то паре (г,уг) ставим в соответствие точку, радиус-вектор которой имеет длину г и составляет с полярной осью угол р. При этом парам чисел гг,уг) и (г~.,чг,) сопоставляется одна и та же точка, если г = гы а уг — уг~ — — 2лЛ, где Л целое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
