Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Доказательство. Если с = О, то утверждение очевидно. Пусть с ф О. Примем с за первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между собой. Число (аа+ ЗЬ,с)/~с~з первая компонента вектора аа+ ВЪ. Точно так же (а,с)/~с~з и (Ъ,с)Дс~~ первые компоненты векторов а и Ь. Согласно предложению 5 ~ 1 (аа+,ЗЬ,с)/~с( = а(а,.с)/)с~ + В(Ь,с)Дс~ . Отсюда прямо получается доказываемое равенство. Легко показать, что такая же формула справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов.

Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество (а, ДЬ + ус) = (1(а, Ъ) + ", (а, с). Теорема 1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов а и Ь выражается через их колтоненты (о ы аз, аз) и (Ды Вг, Вз) по формуле (а, Ь) = о~(Зд + глзах + озДз.

(2) Действительно, подставим вместо а его разложение и воспользуемся предложением 2: (а, Ь) = (азе, + азез + азез, Ь) = а~(е,, Ь) + аз(ез, Ь) + аз(ез, Ь). Теперь доказываемое следует из формулы (1). Отметим, что требование ортонормированности базиса очень существенно. В произвольном базисе выражение скалярного произведения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, связанных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированпые базисы. Если почему-либо все же надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения сомножителей по базису и., раскрыв скобки, подставить в полученное б4.

Скалярное, слзешаннвс и векторное произведения длине ~АВ'. Она положительна, если направление .4'В' совпадает с направлением е, и отрицательна в противоположном случае. Величина (4В, е)/~е) не меняется при замене е на соцаправленный вектор Ле, Л ) О, и меняет знак при замене е ца противоположно направленный вектор. Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная пряльая и ось), если на ней указано определенное направление.

Подробнее это определение рассматривается в начале п. 2. Определение. Число (АВ,е)/)е~ называется скалярной проекцией вектора АВ на ось 1, определяемую вектором е (или на вектор е), и обозначается Пр1.4В или Пр .4В. Из определения следует, что Пр,АВ = ~АВ~созд, где у .. угол между АВ и е. Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат. 2.

Ориентация прямой, плоскости и пространства. Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси). Окажем о пем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентированной плоскости и ориентированного пространства. Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что прямая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один.

Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными или положительными. Задать ориентацию можво, указав какой-либо базис и считая положительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис. Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированными, осли в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко ез е~ б Ряс. 13. Левый базис 1а), правый базис (б) второму производится в одну сторону, и противоположно ориентированными в противном случае.

На рис. 10, а базисы ориентирова- Гл. В Веннюрнал алгебра 28 ны одинаково, а на рис. 10, б противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинаково, базисы разных классов ориентированы противоположно.

Определение. Плоскость ориентирована, если из двух классов базисов на ней выбран один класс. Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положительно ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса. В планиметрии часто ориентируют плоскость., считая положительными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки.

Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое направление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость. Но если выбрать одно из полупространств, ограничиваегиых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота. Определение. Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму а 6 Рвс.

14. Левый базис (е), правый безас (6) направленным против часовой стрелки. В противном случае базис называется левыле (рис. 13). Представим себе, что ца рис. 14 концы векторов лежат в плоскости рисунка, а их общее начало за плоскостью. Тогда поворот от вектора ез к вектору ез и затем к ез для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого .- по часовой стрелке. Определение.

Пространство называетсн ориентированным, если из двух классов базисов 1правых или левых) выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными. Ниже мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространства, считая положительными правые базисы. Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным. Если пространство ориентировано, то ориентацию любой плоскости в нем можно задать, указав ориентацию прямой., перпендикуляр- д~. Скаллрное, еле|ионное и векторное произведения ной этой плоскости. При этом положительным базисом а, Ъ на плоскости считается такой, который вместе с положительным базисом п на прямой составляет положительный базис пространства а, Ь,п. Это внешний способ задания ориентации. Говорится, что ориентация плоскости определяется нормальным вектором и. Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним образом задать ориентацию прямой линии.

Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положительным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положительным базисом плоскости составляет положительный базис пространства. 3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда. Если прямая ориентирована, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: считать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположноы случае.

Именно так мы приписываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию. Обобщим это определение. Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух векторах так, что две его смежные стороны являются векторами с общим началом. Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскости параллелограмм считается положительно или отрицательно ориентированным, смотря по тон|у, как ориентирована определяющая его пара векторов. На ориентированной плоскости принято считать площадь ориентированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентирован положительно, и ранна той же площади со знаком минус, если отрицательно.

Мы будем обозначать плошадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, через Яь(а, Ь). Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векторах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являются векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориентированныл|, если зти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрицательна смотря по тон|у, какук| тройку образуют векторы, на которых он построен. В ориентированном пространстве объем ориентированного параллелепипеда число со знаком: объем положительно ориентированного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного . — отрицательным.

При выбранной нами правой ориентации пространства положительными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, построенных на правых тройках нектаров. Гл. й Векторная алгебра зо 4. Смешанное произведение. Если пространство ориентировано, мы можем ввести Определение. Смешанным произведением векторов а, Ь и с (в данном порядке) называется число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны, и равное нулю, если компланарны. Смешанное произведение векторов а, Ь и с обозначается (а, Ь,с).

При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов а., Ь и с мы получаем, сравнивая ориентации троек векторов (схь рис.

14), (а, Ь, с) = (с, а, Ь) = (Ь, с, а) = — (Ь, а, с) = — (с, Ь, а) = — (а, с, Ь) . (7) Следуюшее предложение устанавливает связь между скалярным произведением и смешанным произведением. Предложение 3. Каковы бы ни были векторы Ь и с, найдетск единственный (ке зависящий от а) вектор с1 такой, что при любом а выполнено равенство (8) (а, Ь, с) = (а,с1). Д о к а з а т е л ь с т в о Докажем сначала существование вектора с1, а потом установим, что такой вектор возможен только один. Пусть векторы Ь и с коллинеарцы.

Тогда при любом а векторы а, Ь и с компланарны и (а, Ь,с) = О. Поэтому мы можем положить с1 = О. Рассмотрим неколлинеарные векторы Ь и с и предположим сначала, что а, Ъ и с нс компланарцы. Построим на них ориентированный параллелепипед и при- Н мем за его основание параллелограмлц поста роенный на Ь и с (рис. 18).

Введем ориентацию на прямой ОХ, перпендикулярной основанию. Мы зададим ее с помощью вектора и длины 1, составляющего с Ъ и с правую тройку и, Ь, с. (Тройка Ь, с, и также правая.) Рвс. 15. Здесь трой- (а,п) -- скалярная проекция вектора а яа а, Ъ, с левая на и. По модулю опа равна высоте параллелепипеда ОН, а знак ее определяется ориентацией тройки а, Ь,с. Действительно, (а,п) ) О тогда и только тогда, когда концы векторов а и п лежат в одном полупространстве, т.

Характеристики

Список файлов книги