Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат, поместив ее начало в полюс О и приняв за базис векторы ег и ег длины 1, направленные соответственно вдоль полярной оси и под углом лгг2 к ней (уггол отсчитывается против часовой стрелки). Как легко видеть из рис. 7, декартовы координаты точки выражаются через ее полярные координаты формулами т = г соз уе., у = г зш,р. (3) 5.
Цилиндрические и сферические координаты. В пространстве обобщением полнрных систем координат являются цилиндрические и сферические системы координат. И для тех, и для других фигура, относительно которой определяется положение точки, состоит из точки О, луча 1, исходящего из О, и вектора и, равного по длине 1 и перпендикулярного к 1. Через точку О проведем плоскость О, перпендикулярную вектору и.
Пуч / лежит в этой плоскости. Пусть дана точка ЛХ. Опустим из нее перпендикулнр ЛХЛХ' на плоскость О. Цилиндрические координаты точки ЛХ это три числа г, уг, 6. Числа г и д полярные координаты точки ЛХ' по отношению к полю- Рис. В Рис. 9 су О и полярной оси 1, а Ь компонента вектора ЛХ'ЛХ по вектору и. Она определена, так как эти векторы коллинеарны (рис. 8). ад. Замена бпэисп и системы координат Сферические координаты точки три числа (г,у1,()). Они определяютсн так: г = ~О.дэХ(.
Как и для цилиндрических координат, 1р угол вектора Охьэ' с лучом| 1, а и --- угол вектора ОЛХ с плоскостью О (рис. 9). УПРажНеНИЯ 1. Дан параллелограмм ОАВС. В нем ~ОА~ = 2, ~ОС~ = 3, угол АОС равен к/3. Найдите координаты точки В в системе координат О, ОС, 0.4. 2. Даны три точки А(х1, у1), В(хи уэ), С(хэ, уэ). Найдите координаты вершины Р параллелограмма АВСР. 3. Нарисуйте на плоскости множества точек, полярные координаты которых связаны соотношениями: а) г = 2/ соево; б) г = 2 сов 32. 4. Пусть О, 1, и - - сферическая система координат.
Введем декартову прямоугольную систему координат О, е1, е, п, где е1 направлен вдоль Н а угол к/2 от е1 к е отсчитываетсн в сторону возрастания полярного угла. Напишите формулы, выражающие декартовы координаты через сферические. 3 3. Замена базиса и системы координат (2) е) Здесь Плн удобства адин ив индексов мы располагаем сверху. Зто не покаветоль степени.
Например, о! читветсв "о один-три". 1. Изменение базиса. До сих пор мы предполагали, что рас- сматривается один базис. Однако выбор базиса ничем не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о нахождении компонент вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом положение нового базиса относительно старого должно быть за- дано, а именно должны быть известны компоненты новых базисных векторов е'„е.', и е! в старом базисе е1, ех, ез. Пустьг е', = а,е, + а',еэ+ а',ез, з е!, = а.',е1+ аэез+ аэез, (1) ез = азе1 + азез + аэез.
1 2 3 Произвольный вектор а разложим по базису е', е', е!31 Р Р и = оэе1 + озе + озез. Компоненты этого же вектора в старом базисе обозначим а1, оз, аз. Раскладывал каждый член предыдущего равенства по базису е1, еэ, ез, в силу предложения б 3 1 имеем а1 = аьа1 + азах + аза',, 1 ~ 1 ~ 11 2 / 2 Р оз = а1а, + ахах + ата'1, асз а1111 + а2112 + а31.13' 3 ! 3 ! 3 ! Вж Х. Ветлорнал алгебуа 22 Соотношения (2) и являются решением нашей задачи.
Если нас заинтересует выражение новых компонент через старые, то надо будет решить систему уравнений (2) относительно неизвестных а1, а!г, а~. Результат будет иметь такой же вид, как (2), только коэффициентами будут компоненты старых базисных векторов в новом базисе. Точно тем же способом получаютсн формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах ца плоскости.
Вот они; а1 = а, 11' 1+ азаз. 1 1 1 1 2 1 2 ю (3) аг = а1111 + агаг. Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу; аг аг аз 1 1 1 2 2 2 а аг а; з з з 111 а2 аз (4) Она называетсЯ матРиЦей пеРехода от базиса ег,е!г,ег к базисУ е1, ег, ез. В ее столбЦах стоЯт компоненты вектоРов е',, е!г, е~з в стаРом базисе. 2. Изменение системы координат. Рассмотрим теперь две декаРтовы системы кооРДинат: стаРУю О, ег, ег, ез и новУю 0', е',, ез, ез.
Пусть ЛХ произвольная точка, и координаты ее в этих системах обозначены (х, у,з) и (х',у',2'). Поставим себе задачу выразить х, у и 2 через х', у' и 2', считая известным положение новой системы относительно старой. Оно опредслнется координатами (а1, а-, аоз) точки 0' в системе кооРДипат О, ег, ег, ез и компонентами вектоРов е1, е!г, ез, составляющими матрицу перехода (4). Радиус-векторы точки ЛХ относительно точек О и 0' связаны равенством ОЛХ = Осг'+ 0'ЛХ, которое мы можем записать в виде Олх = 00' + 2 е' + у'е~ + 2'ез., (5) так как х', у' и г' компоненты 0'ЛХ в базисе е'„е!,е~.
Разложим кажДый член Равенства (5) по базисУ е1, ег, ез, имел в виДУ, что компоненты векторов ОЛХ и 00' равны координатам точек ЛХ и 0', котоРые мы обозначили (х, У, 2) и (ао, а~з, а5). Мы полУчим х = ао + а,х' + азУ' + азз', (6) 2 = ага+ а1х'+ аггУ'+ аг,.'. Равенства (6) представля1от собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.
3. Замена декартовой прямоугольной системы координат на плоскости. Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из (6), если там оставить да. Замена Оазиса и системы координат 23 только первые два равенства и в них вычеркнуть члены с х'. и = е1х + езу + ео, 11 1~ 1 2 ~ 2 / 2 (7) у = ибх +азу +по. Рассмотрим частный случай, когда обе системы координат декартовы прямоугольные. Через со обозначим угол мезкду векторами е1 и е', отсчитываемый в направлении кратчайшего поворота от е1 к ез.
Тпгда (рис. 10) ! е, = соз~ре1+ япуез, к / к1 ез — — соз ~12 х — )е1+ яп ~1о х — (ез. 2) 1 2( В разложении е! ставится знак плюс, осли кратчайший поворот от е', к е.', направлен так же, как кратчайший поворот от е', к ез, т. е. если новый базис повернут относительно старого на угол у. Знак е1 Рис. 10.
Два случая взаимного расположения ортонорми- рованных базисов на плоскости минус в разложении е!2 ставится в противоположном случае, когда новый базис не может быть получен поворотом старого. Поскольку сов (д х — 1 = ~ яп со, аш ) со т — ) = ж соз ус, получаем х=х сов~о~у з1п~7+ио, 1 (8) у = х' зш ис х у' соз я + е„", причем при повороте системы координат берутся верхние знаки.
Упражнения 1. Выведите формулы замены базиса и замены системы координат на прялшй линии. Как меняются координаты точек прямой, если при неизменном начале координат длина базисного вектора увеличивается вдвое? 2. Пусть 0' серсдиаа стороны АВ треугольника 0.4В. Напишите формулы персхода от системы координат О, ОВ, 0.4 к системе координат О', О'О, О'В.
3. Дана декартова система координат О, еь е, ея Как расположена относительно нес система координат О, е',,е!и ез~, если формулы перехода Р 1 1 имеют внд х = 1 — у — х, у = 1 — х — х, х = 1 — х — у . Гл. В Векнюрнал алгебра й 4. Скалярное, смешанное и векторное произведения е1 гх1 = (а,е1), оз = (а,ез), оз = (а,ез) (1) 1. Скалярное произведение.
Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит я. Если угол прямой, то векторы называются ортоганальными.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное произведение по определению равно нулю. Скалярное произведение векторов а и Ь обозначается (а, Ь) или аЬ. Такиги образокй мы можем написать (а, Ь) = (аОЬ! соз <р, где р угол между векторами а и Ь.
Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет сгиысла. Скалярное умножение имеет следуюшие очевидные свойства. ° Коммутативностгп для любых а и Ь выполнено (а, Ь) = (Ь,а).
° (а,а) = ~а~а для любого вектора а. ° Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен О. ° Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют равенствам (емег) = (ег,ег) = (ез,ез) = 1, (ем ез) = (ез, ез) = (ез, ег) = О. Предло кение 1. Если базисные векторы попарно артогональны, то компоненты любого вектора а находятся по форл~улалг (а, е1) (а, ег) (а, ез) о1= '„, аз= '... из= )е1Р ' )ез(г (езр е, В частности, если базис ортонормирован- ный, а = (а,ег)ег + (а,ез)ез + (а,ез)ез. Доказательство.
Пусть а = а~ + + аз + аз, причем каждое слагаемое коллинеарно соответствуюшему базисному вектору. Мы знаем из предложе- ЗЛ'. Скалярное, смешанное и векторное произведения нин 2 ) 1, что аз = ~~а~~Де~~, где выбираетсн знак + или — в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены а~ и ез. Но, как видно из рис. 11, ~~а~) = ~а~ соз р~, где ~р~ угол между векторами а и еы Итак, а~ = (а)сов~о~Де~! = (а,е~)/)е~)з. Аналогично вычисляются и остальные компоненты. О и р е д ел е н и е. Косинусы углов между вектором а и базисными векторами декартовой прямоугольной системы координат называются напрев яющими косинусами этого вектора. Направляющие косинусы это компоненты вектора ао = а/~а~.
Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна квадрату длины а, т. с. 1 (см. ниже формулу (3)). Предложение 2. Для любых векторов а, Ь и с и любых чисел а и Д выполнено равенство (аа+,ЗЬ,с) = а(а,с) + В(Ъ,с). В частности, (аа, с) = а(а, с) и (а + Ь, с) = (а, с) + (Ь,. с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
