Beklemishev D.V. Kurs analiticheskoj geometrii i linejnoj algebry.. Ucheb. dlya vuzov (10e izd., FML, 2005)(ru)(T)(K)(600dpi)(304s)_MAt_ (522337), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. тройка а, Ь,с правая так гке, как п,Ь,с. Таким образом., (а,п) положительно для правой тройки а, Ь,с и отрицательно для левой. Пусть положительное число 5 площадь основания параллелепипеда. Тогда произведение (а,п)Я по модулю равно объему параллелепипеда, а знак ого совпадает со знаком (а,п). Это значит, .что (а, Ь,с) = Я(а,п). Полученное равенство совпадает с (8), если с1 = Яп. ЗЛ'. Скалярное, смешанное и векторное проюведения Осталось рассмотреть случай, когда Ь и с не коллинеарны, а а, Ь и с компланарны. В этом случае а лежит в плоскости векторов Ь и с и, следовательно, ортогоцален вектору Й, вычисленному по формуле [9).
Поскольку [а, Ь,с) = 0 и [а,п) = О, вектор [9) удовлетворяет равенству [8) и в этом случае. Итак,мы нашли вектор, который удовлетворяет [8) при любох|а и определяетсн только по Ь и с. Допустим, что для фиксированных Ь и с нашлось два вектора с11 и с1з таких, что для любого а выполнено [а, Ь, с) = [а, с11) и [а, Ь, с) = = (а,с1з). Отсюда следует, что [а,с11) = [а, с1з) или [а,й~ — с1з) = О. Поэтому вектор с1, — с1з ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору.
Это доказывает, что вектор с1, определяемый формулой [8), может быть только один. Предложение полностью доказано. Опишем еще раз, как вектор с1 определяется по Ь и с. 1. Если Ь и с коллинеарны, то с1 = О. 2. Если Ь и с пе коллинеарны, то; а) ]с1] = Я = ]Ъ]]с]з1п~р, где р угол между Ь и с; б) вектор П ортогонален векторам Ь и с; в) тройка векторов Ь,с,с1 имеет положительную ориентацию. При нашем выборе ориентации пространства — — это правая тройка. Определение.
Вектор с1, определенный перечисленными выше условиями, или, что то же, формулой [8), называется векторным произведением векторов Ь и с. Подчеркнем, что векторное произведение, как и смешанное, определено только для ориентированного пространства. Разумеется, необходим также выбор единицы измерения длин. Векторное произведение векторов Ь и с обозначают [Ь,с] или Ь х с.
Используя это обозначение, мы можем записать формулу [8) в виде [а, Ь, с) = [а, [Ь, с]). [10) Благодаря этому равенству смешанное произведение и получило свое название. Пример 1. Пусть еыез,ез правый ортонормированный базис. Тогда при выбранной нами правой ориентации пространства [ез,ез] = еы [ез,ез] = ез, [ем ее] = ез. [11) Если Гы Бз, Гз левый ортонормированный базис, то [1з; 1з] = -1ы [7з, Ц = - 6з, [1ы 1з] = -1з Предложение 4. Векторное умножение антикоммутвтивно, т.
е. для лебит векторов [Ь, с] = — [с, Ь]. Действительно, если [а, Ъ, с) = [а, с1), то (а.,с, Ь) = — (а,п) = [а, [ — и)). Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применяя предложе- зг Гл. Е Веккюрная алгебра ние 2 к скалярному произведению (Лаз + даг, [Ь, с]), мы получим (Лаз + раг, Ь, с) = Л(аы Ъ, с) + д(аг, Ъ, с). (12) Из равенств (7) следуют аналогичные тождества для остальных сомножителей.
Например, длн второго сомножителя (а, ЛЬг + рЪг, с) = Л(а, Ьы с) + р(а, Ьг, с). (13) Действительно, мы можем переставить интересующий нас сомножитель на первое место., раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку. Предложение 5. Для любых векторов Ьы Ьг и с и любых чисел Л и р имеет место равенство [ЛЪ| + рЪг.с] = Л[Ьыс] + р[Ьг,с]. В самом деле, правой части формулы (13) можно придать вид (а, Л[Ъы с]) + (а, р[Ьг, с]). Поэтому по предложению 2 получаем (а, [ЛЬг + рЬг, с]) = (а, Л[Ьы с] + р[Ьг, с]).
Так как это верно длн любого вектора а, мы можем, выбрав ортопормировапный базис еы ег, ез, подставить на место а последовательно каждый вектор этого базиса. В силу предложения 1 мы получим равенство всех компонент векторов [ЛЬ| + рЬгч с] и Л[Ьы с] + р[Ьг, с], а отсюда и равенство векторов, которое нам нужно было доказать. Линейность векторного произведения по второму сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности. 5.
Выражение векторного н смешанного произведения через компоненты сомножителей. Если заданы разложения векторов а и Ь по векторам некоторого базиса ем ег, ез, то мы можем раскрыть скобки: [а Ь] = [(а1е1 + агег + азез) (33з е1 + Вгег + Взез)] = = (а1г3г — агг3з)[емег] + (аг(3з — аздг)[ег,ез]+ + (аз/Зг — аг Вз) [ез, ег]. (14) Здесь использовалась антикоммутатинность векторного умножения и то, что векторное произведение двух одинаковых сомножителей нулевой вектор. В примере 1 были сосчитаны попарные вскторныс произведения векторов ортонормированного базиса. Поэтому из формулы (14) следует Теорема 2. В положительно ориентированном ортонормированном базисе векторное произведение выражается через компоненты сомнолсителей формулой [а,Ь] = (о Дз — очаг)ег + (аздг — огфч)е + (агфг — агДг)ез.
(15) Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы следует поставить знак минус. зл. Скалярное, смешанное и векторное проюведения [а, Ь,с) = ",~[сеюЗз — озфз)[еы [ез,ез)) -ь + 'уз(озА — ондз) [ез, [ез, е1)) Ч уз(елзфз — огд1) [ез, [еы ез)). [Слагаемые, содержашие смешанные произнеденин с одинаковыми сомножителями, мы не выписываем, так как они равны нулю.) Отсюда, учитывая равенства [7) и приводя подобные члены, получаем нужный нам результат.
6. Детерминанты второго и третьего порядков. Найденные нами формулы достаточно громоздки. Для их более компактной записи употребляются детерминанты [или определители) второго и третьего порядков. Расслзотрим четыре числа ам аз, дыда. Из них можно составить таблицу, называемую матрицвй второго порядка; о! Оз А /Зз Число о1Дз — свздз называется детерминантом этой матрицы или де- терминантам второго порядка и обозначается щ оз д1 Дз Теперь выражение векторного произведения в правом ортонормированном базисе перепишется так: оз ез ез о1 ез [а,Ь) = д 1 ед+ З ег+ оз 1 2 ез. Из компонент трех векторов можно составить таблицу .. матрицу 3 Д.В. Беклемишев Избежать постоннной заботы об ориентации базисов можно двумя способами.
Можно договориться при правой ориентации пространства, если не оговорено противное, использовать только правые базисы. Такого соглашения мы и будем придерживаться. Второй способ состоит в том, чтобы не фиксировать заранее ориентацию пространства, а выбирать ее так, чтобы используемый базис был ориентирован положительно.
При таком подходе векторное произнедение всегда вычисляется по формуле [15)., но приходится следить за тем, как нектарное произнеденис направлено. Этот подход принят, например, в литературе по физике. Теорема 3. Смешанное произведение векторов а, Ь и с выражается через их компоненты (ам ош оз), [Ды дз, ® и [ й ~7з~ 7з) в про извольном базисе емез,ез по формуле [а, Ь, с) = [озАТз + свзфз7з + + изАТз — елздз7з — от АТз — слФзба) [еы ез,.
ез). Для доказательства заметим, что [а, Ь,с) = [с, (а,.Ь)) и умножигл скалЯРно обе части Равенства (14) на вектоР с = ",~вез + узез + Тзез, Мы получим гл. В Вектернал алгебра третьего порядка а1 а2 аз А Рз Дз 71 72 тз Число Дз дз Аг А А А аг " +аг ' +аз 72 тз тз ьй '71 92 или, что то же самое, 2 дз , 1 , 3 Д1 ггз 92 73 71 73 т1 72 а1 112 аз А Д2 ДЗ 71 тг 73 По теореме 3 в новых обозначениях аг аз (а, Ь, с) = А Вз Дз (ег, ез, ез). 71 72 73 В частности, в правом ортонормированном базисе (18) а1 а2 аз 11а,Ь,с) = А А Дз (17) 71 7г 73 При помощи теоремы 2 и определения детерминанта можно получить следующее выражение векторного произведения через компоненты сомножителей в правом ортонормированном базисе: Е1 Ез ЕЗ (а,Ь,с) = а1 аз аз 191 Д2 ггз (18) Детерминанты тесно связаны с системами линейных уравнений, решения которых удобно записывать с их помощью.
Этим мы зай- мемся в гл. Ъ', а сейчас дадим только геометрическую иллюстрацию. Пусть дана система из трех уравнений агх -~- Ьгу + с12 = ды а2х + ЬЗУ + с22 = дг, азх+ Ьзу+ сзз = дз. Выберем в пространстве некоторый базис и рассмотрим векторы а(а1,аг.,аз), Ь(Ь1,ЬЗ,Ьз), с(сг,сг,сз) и д(дг,дз,дз). Тогда система яв- ляется координатной записью векторного равенства ха+ дЬ+ зс = 11. (19) называется детерминантам этой матрицы или детерлгннантом третьего порядка и обозначается бд.
Скалярное, смеьзанное и векторное произведения Поэтолиу решение системы х,у,г коэффициенты разложения с1 по а, Ь и с. Ыы молкем быть уверены, что система имеет единственное решение, если а, Ь и с не компланарпы, т. е. [а, Ь, с) х: О. Предположим, что это условие выполнено, и найдем решение. Для этого умножим обе части равенства [19) скалярно на векторное произведение [Ь,с]. Ыы получим х[а,Ь,С) = (11,Ь,с), и, следовательно, х равен отношению детерминантов 111 42 дз ал ал аз Ьл Ьл Ьз и Ь1 Ьг Ьз С1 СЛ СЗ С1 С2 Сз Аналогично находятся и остальные неизвестные.
Остановимся на следу'лощих свойствах детермнпантов. Из равенств [7) следует, что детерминант меняет знак при перестановке каких-либо двух строк матрицы. Формула [12) означает, что Лал+ 1лал' Ла.', + ра!,' Лаз + раз Ьл Ьз Ьз Сл Сз сз л л П П П а1 2 аз ал аз аз = Л Ьл Ь2 Ьз + лл Ь~ Ьз Ьз С1 Сз СЗ Сл Сз СЗ ал аз 112 ллз [20) аз ал Дз 61 7. Условии коллииеариости и комплаиарности. Начнем со следующего полезного предложения. П редложение 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
