И.Е. Иродов 'Волновые процессы. Основные законы' (510774), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Он характеризует аатухание волны по мере ее распространения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнитной волны, примером таму служит разобранный првмер. Двсверсвв в веглэщевве света Отсюда находим искомую концентрацию свободных электронов: И = С т,~и /е = 4л'с э~/е~ = 2,0 10 см $7.3. Групповая скорость Волновой пакет. Строго монохроматическая волна — зто идеализация. Таких волн в природе нет. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может быть представлена как суперпозиция монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ю в некотором интервале Лю.
Суперпозицию волн, мало отличающихся друг от друга по частотам (Ью«ю), называют волновым пакетом или группой волн. Вид волнового пакета в некоторый момент времени показан на рис. 7.6. В его пределах монохроматические составляющие усиливают друг друга, вне пакета практически гасят друг друга. Рве. 7.6 В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет, распространяются, как уже было сказано выше, с одинаковой фазовой скоростью (7. 12) о = а/)г, где /г — волновое число (2в/Х). С такой же скоростью распространяется в вакууме и сам волновой пакет, не изменяя своей формы. Групповая скорость. В диспергирующей же среде волновой пакет расплывается, поскольку скорости его монохроматических составляющих отличаются друг от друга, и понятие скорости такой волны требует уточнения.
Глава 7 Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае волновому пакету можно приписать скорость и, с которой перемещается его»центр тяжести». Это так называемая групловал скорость. Соответствующий расчет дает, что групповая скорость определяется как (7. 13) и = Аа/ой.
Поясним эту формулу на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и несколько отличными друг от друга длинами волн (и частотами). На рис. 7.7, а показано их относительное расположение в некоторый момент времени, а на рис. 7.7, б — результат их суперпозиции. Нас будет интересовать скорость, с которой перемещается место с максимальной амплитудой — это и будет скорость волнового пакета — групповая скорость. Определим ее величину.
а) Рве. 7.7 Пусть уравнения этих двух монохроматических волн имеют вид: Е, =Асов(аг -)»х), Е =Асов((а+ Аа)в-()»+ о)))х). В результате ик наложения образуется суммарная волна гба- ха) Е =Е, + Е, =2А сов сов(а) — (»х). 2 Дисперсия и поглощение снеге Это выражение можно рассматривать как уравнение моно- хроматической волны, амплитуда которой меняется по закону Иа — ха)с А, = 2Асоэ 2 Отсюда следует, что точки, соответствующие, например, максимуму амплитуды, движутся по закону гав-хай =о, откуда х =(асс/а)с)К Величина в скобках и есть групповая скорость (7.13).
Выражение для групповой скорости можно представить в ином виде. Заменив сс через ий согласно (7.12), получим: а а и= — (ой) =и+Й— ай ай (7. 15) Так как й = 2н/Хи а)с = -(2п/лх)а1, то выражение (7.15) можно переписать так: а и=о — Х вЂ”. ах (7.1б) Это так называемая формула Рэпея. В области нормальной дисперсии (аи/аХ > О) групповая скорость и оказывается меньше фазовой скорости о. В отсутствие дисперсии ао/аХ = О, и групповая скорость совпадает с фазовой (об этом уже говорилось). Существует простой графический способ нахождения групповой скорости по кривой о (Ц. Он показан на рис.
7.8. В слу- Глава 7 226 чае группы волн роль играет только малый участок кривой и(Х) в узком диапазоне Ы(Ы«)). Отрезок, который отсекает на оси ординат касательная к кривой о(Х), проведенная через точку А, равен о — Л(<(и/<(Х), т. е. групповой скорости при данной длине волны Х. Пример. Найдем выражение для групповой скорости в среде с известной зависимостью показателя преломления от частоты электромагнитной волны, л(а). Нулем исходить из определения групповой скорости — формулы (7.13). Принимая во внимание, что фазовзя скорость о = а/з = с/л, получим )< = ап/с Теперь возьмем производную <)л/<(а: Подстановка обратного значения этой величины, т. е. <)а/<)/<, з (7.13) приводит к искомому результату: <)а с И = — = <)/< и + а (<)л/<)а) В некоторых случаях групповая скорость, вычисленная по приведенным выше формулам, оказывается больше с — скорости света в вакууме.
Так будет, например, в области аномальной дисперсии. Это не противоречит теории относительности, ибо групповая скорость выражает скорость сигнала лишь тогда, когда волновой импульс в процессе распространения практически не изменяет своей формы. В области же аномальной дисперсии импульс сильно деформируется, и групповая скорость в таких условиях утрачивает определенное физическое содержание. Групповая скорость и перенос энергии.
Рассмотрим вопрос о скорости распространения энергии, переносимой электромагнитной волной. Прежде всего заметим, что фазовая скорость монохроматическай волны не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. <разовая скорость устанавливает только связь между фазами колебаний в различных точках пространства.
Строго монохроматическая волна не может служить для передачи сигнала, поскольку она не имеет ни начала, ни конца во Дисперсии и потиощеиие света 227 времени и пространстве. Поэтому распространение сигнала связано с перемещением изменений амплитуды. И в тех случаях, когда групповая скорость имеет смысл (т. е. электромагнитный импульс распространяется не расплываясь), она совпадает со скоростью переноса энергии. Итак, в области, далекой от области сильного поглощения, скорость переноса энергии в группе волн совпадает с групповой скоростью. Прямые измерения скорости света сводятся к измерению расстояния, проходимого световым сигналом (импульсом) за определенный промежуток времени. Этот метод практически дает групповую скорость.
То же самое, как показывает подробный анализ, относится ко всем известным косвенным методам измерения скорости света. Фазовую же скорость (точнее, отношение фазовых скоростей в двух различных средах) можно определить по отношению показателей преломления, или воспользовавшись законом преломления. $7.4. Поглощение света Закон Бугера. Прохождение световой волны через вещество сопровождается потерей энергии атой волны, затрачиваемой на возбуждение колебаний электронов (точнее, на изменение их состояния в атоме). Частично эта энергия возвращается излучению в виде вторичных волн, порождаемых колеблющимися электронами; частично же она переходит в другие формы энергии (во внутреннюю энергию вещества).
Поэтому интенсивность света при прохождении через обычное вещество уменьшается — свет поглощается в веществе. Поглощение света можно описать с энергетической точки зрения, не вникая в механизм взаимодействия света с атомами вещества, чем мы и воспользуемся. Пусть через однородное вещество распространяется параллельный световой пучок. Выделим мысленно в этом веществе бесконечно тонкий 7 7тб7 плоский слой толщины с)х (рис. 7.9). При прохождении этого слоя интенсивность света уменьшится так, что ее убыль можно представить КаК вЂ” ЕП. ЯСНО, ЧтО Зта ВЕЛИЧИНа будЕт ПрОПОр- Рис. 7.Э Глава 7 циональна интенсивности в данном поглощающем слое и его толщине Йх, т.
е. с(х, (7.17) где х — коэффициент поглощения, он характеризует поглощающие свойства вещества. Разделив переменные, получим: — Ж/1 = хс)х. После интегрирования в пределах от 1э до 1 и от 0 до х найдем. "1п(1/1э) = -хх, откуда 1 =1,е (7.18) Это и есть закон Бугера. Таким образом, интенсивность света при прохождении однородного вещества уменьшается по экспоненциальному закону. Заметим, что в случае точечного источника света, находящегося в однородной поглощающей среде, предыдущие рассуждения следует повторить, но только не для интенсивности 1, а для светового потока Ф. И в качестве исходного бесконечно тонкого слоя теперь следует выбрать сферический слой с радиусами от г до г + йг. В результате приходим к аналогичному (7.18) закону: Ф=Ф,е (7.19) где Фэ — световая мощность источника (или его световой поток при г -+ 0).
О коэффициентах поглощения. Для всех веществ поглощение имеет селективный характер, т. е. коэффициент поглощения к зависит от длины волны света (в вакууме). Для жидких и твердых веществ зависимость к(Л) имеет вид, подобный изображенному на Л,ам рис. 7.10. Т. е. сильное поглощение Рлс. 7ЛО обнаруживается в достаточно широ- ком интервале длин волн. Совсем иначе ведет себя коэффициент х(Л) в случае газов или паров металлов при невысоком давлении. Здесь для всех длин волн коэффициент х м О, и лишь для очень узких спектральных интервалов БЛ (порядка нескольких тысячных нм) обнаружива- Дисперсии и погиощсиио света ет резкие максимумы (рис. 7.11). х Эти максимумы соответствуют резонансным частотам колебаний электронов внутри атомов, которые практически не взаимодействуют друг с другом. При повышении же давления максимумы поглощения все больше Х расширяются, и при высоких давлениях спектр х(Х) приближается к Рис.
7.11 спектрам поглощения жидкостей. Это связано с ростом взаимодействия между атомами. В заключение отметим, что можно создать такое состояние атомов вещества, при котором коэффициент и становится отрицательным, и прохождение света через вещество в таком (инверсионном, как говорят) состоянии сопровождается усилением его интенсивности. Именно это и осуществляется в лазерах. 5 7.5. Рассеяние света Механизм рассеяния света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
