Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 9
Текст из файла (страница 9)
в. X имеет распределение Бернулли, будем обозначатьследующим образом: X ⊂= Bp , где p — параметр, 0 < p < 1.2. Биномиальное распределение Bn,p . Говорят, что с. в. Y имеетбиномиальное распределение с параметрами (n, p), где n = 1, 2, . . .,0 < p < 1 ( обозначаем Y ⊂= Bn,p ), если она может принимать значения0, 1, . . .
, n с вероятностями, вычисляемыми по формулам Бернулли:pk = P(Y = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, . . . , n.Как мы знаем, биномиальное распределение имеет случайная величинаY , равная числу «успехов» в n независимых испытаниях Бернулли.Очевидно, распределение Бернулли есть частный случай биномиальногопри n = 1 : Bp = B1,p .3. Распределение Пуассона Πλ . Говорят, что с. в. Z имеетраспределение Пуассона с параметром λ > 0 (обозначаем Z ⊂= Πλ ), еслиона может принимать целые неотрицательные значения с вероятностями,вычисляемыми по формулам:pk = P(Z = k) = e−λλk, k = 0, 1, ... .k!Распределение Пуассона является предельным для биномиальногоBn,p , когда n велико, а p мало (см.
более точно теоремы Пуассона10.6, 10.7). Приближенно можно считать, что закону распределенияПуассона удовлетворяют такие случайные величины, как число вызовов,поступивших на телефонную станцию за определенный промежутоквремени, или число отказавших элементов сложной аппаратуры,состоящей из большого числа таких элементов, за некоторый промежутоквремени.514. Геометрическое распределение Gp .
Говорят, что с. в. X имеетгеометрическое распределение с параметром p, где 0 < p < 1 (обозначаемX ⊂= Gp ), если она может принимать положительные целые значения свероятностями, вычисляемыми по формулам:pk = P(X = k) = pq k−1 , k = 1, 2, ... , q = 1 − p.Название этого распределения объясняется тем, что вероятности pkряда распределения образуют бесконечно убывающую геометрическуюпрогрессию. Геометрическое распределение имеет с.
в. X, равная числупроведенных испытаний Бернулли до появления первого «успеха».Замечание 8.1. Все вышеприведенные примеры представляютдискретные распределения. Читателю предлагается проверить, что дляних выполняются обязательные для всякого дискретного распределенияусловия p1 – p2.5. Равномерное распределение U[a; b] .
Говорят, что с. в. X имеетравномерное распределение на отрезке [a; b] (обозначаем X ⊂= U[a; b] ),если распределение X абсолютно непрерывно, а плотность распределенияпостоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне этого отрезка:(C, если t ∈ [a, b],fX (t) =0, если t ∈/ [a, b].Константу C можно найти, воспользовавшись обязательным длявсякой плотности условием нормировки f2:1=Z∞fX (t)dt ==−∞Za−∞0dt +ZbaCdt +Z∞0dt = 0 + C(b − a) + 0 = C(b − a).b1, и плотность равномерного распределения U[a; b]b−aпринимает следующий окончательный вид: 1 , если t ∈ [a, b],fX (t) = b − a(8.7)0,если t ∈/ [a, b].Отсюда C =Нетрудно построить графики функции и плотности равномерногораспределения U[a; b] , они представлены на рис.
8.3.52YY1/ (b-a)10 aaaAb0XaaAbXРис. 8.3: Функция и плотность распределения равномерного закона.Упражнение 8.1. Найдите аналитическое выражение для ф.р.равномерного распределения U[a; b] .Полезно отметить еще одно свойство равномерного распределения,часто используемое при вычислении вероятностей.Если с. в.
X имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], товероятность ее попадания в любой промежуток, целиком содержащийсяв отрезке [a, b], вычисляется согласно геометрическому определениювероятности. Например, если [c, d] ⊂ [a, b], то(8.8)P(X ∈ [c, d]) = f racd − cb − a.Доказательство. Поскольку вероятность попадания в промежутоквычисляется интегралом от плотности распределения по этомупромежутку, тоP(X ∈ [c, d]) =ZdcfX (t)dt =Zdc11dt =b−ab−aZdcdt =d−c.b−a5.Экспоненциальное(показательное)распределениеEα .
Говорят, что с. в. X имеет показательное распределение с параметромα > 0 (обозначаем X ⊂= Eα ), если распределение X абсолютнонепрерывно с плотностью распределения(Ce−αt , если t ≥ 0,fX (t) =0,если t < 0.53Константу C можно найти, как ивоспользовавшись условием нормировки f2:1=Z∞fX (t)dt =−∞=0+CZ0fX (t)dt +−∞Z∞вZ∞предыдущемпримере,fX (t)dt =0e−αt dt =0C −αt ∞Ce|0 = .−ααОтсюда C = α , и плотность экспоненциального распределения Eαимеет вид(αe−αt , если t ≥ 0,fX (t) =(8.9)0,если t < 0.Закону экспоненциального распределения подчиняются такиеслучайные величины, как время безотказной работы радиоаппаратурыили время между поступлением двух последовательных вызовов настанцию скорой медицинской помощи.Упражнение 8.2.
Найти аналитическое выражение для ф.р.показательного распределения Eα и построить графики функции иплотности распределения.Определение 8.1. Говорят, что случайная величина X имеетнормальное распределение, или распределение Гаусса, с параметрами(a, σ2 ), если распределение X абсолютно непрерывно с плотностью2(t−a)1−fX (t) = √ e 2σ2 ,σ 2π−∞ < t < ∞.(8.10)Нормальное, или гауссовское, распределение занимает особое место втеории вероятностей в силу своей распространенности в приложениях итеоретической важности для многих фундаментальных результатов теориивероятностей.Относительно параметров нормального распределения предполагается,что a — любое действительное число, называемое средним, а σ > 0называется стандартным, или средним квадратическим, отклонением.Тот факт, что с.
в. X имеет нормальное распределение с параметрами(a, σ2 ), будем обозначать: X ⊂= Na,σ2 . Нормальное распределение N0,154с параметрами a = 0, σ2 = 1 называют стандартным нормальнымраспределением, или стандартным нормальным законом.Отметим, что если X ⊂= Na,σ2 , то случайная величина X может бытьпредставлена в видеX = a + σZ,(8.11)где случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение.Смысл параметров (a, σ2 ) нормального закона можно понять изграфика плотности, представленного на рис.
8.4.Yaaa0XРис. 8.4: Плотность распределения нормального закона.Найдем теперь ф. р. нормально распределенной случайной величины.Будем обозначать через Φ(t) ф. р. стандартного нормального закона. ТогдаΦ(t) =Zt−∞1ϕ(u)du = √σ 2πZte−u22σdu.(8.12)−∞Функция Φ(t), определенная этим равенством, называется функциейЛапласа, ее значения протабулированы, и соответствующие таблицыимеются во всех руководствах по теории вероятностей или математическойстатистике.
В настоящем учебнике она помещена в приложении а вконцекниги. Для практического использования таблицы полезны некоторыесвойства функции Φ(t). Они содержатся в следующей лемме.Лемма 8.1. Для функциисоотношения: для всех t > 0распределенияΦ(−t) = 1 − Φ(t),55Φ(0) =1.2Φ(t)выполняются(8.13)Доказательство. Рассмотрим график плотности y = ϕ(x) (рис. 8.5).Ya-X-xxx0XРис. 8.5: График плотности распределениястандартного нормального закона.Обозначим через Z с.
в., имеющуюраспределение. Так как в силу (8.12)Φ(−t) = P(Z < −t) =Z−tстандартное нормальноеϕ(u)du,−∞1 − Φ(t) = 1 − P(Z < u) = P(Z ≥ u) =Z∞ϕ(u)du,tто значения Φ(−t) и 1 − Φ(t) равны площадям, заштрихованным на рис.3.10, которые совпадают ввиду симметрии плотности y = ϕ(x). Тем самымдоказано первое из соотношений (8.13). Второе следует из равенств (??)при a = 0:1Φ(0) = P(Z < 0) = P(Z ≤ 0) = .2Замечание 8.2.
Доказанная лемма позволяет пользоватьсятаблицами функции Лапласа Φ(t) только при положительных t.Следующая лемма выражает ф. р. произвольного нормального законаNa,σ2 через функцию Лапласа.56Лемма 8.2. Функция распределения с. в. X ⊂= Na,σ2 вычисляется поформулеt−a.(8.14)Φa, σ2 (t) = ΦσДоказательство.Вспомним, что согласно (8.11) справедливопредставление X = a + σZ, где Z имеет стандартное нормальноераспределение. Выразим ф.
р.Φa, σ (t)по определению функциираспределения:t−at−aΦa, σ2 (t) = P(X < t) = P(a + σZ < t) = P Z <=Φ.σσ§ 8.4.Генерирование случайных чиселРассмотим генерирование последовательности независимых одинаковораспределенных случайных величин, имеющих распределение F . Дляпростоты будем предполагать, что F — строго монотонная функция(возрастающая либо убывающая). Отметим, что здесь мы рассмотримтолько один способ генерирования случайных величин.Оказывается, случайная величина F −1 (ω), где ω имеет равномерноераспределение на отрезке [0, 1], распределена по закону F . Это можноустановить, воспользовавшись монотонностью F .
Действительно,P(F −1 (ω) < t) = P(ω < F (t)) = F (t),в силу того, что ω равномерно распределена на отрезке [0; 1]. Поэтому длятого, чтобы сгенерировать последовательность X1 , X2 , . . . независимыхслучайных величин с распределением F , достаточно сгенерироватьпоследовательность ω1 , ω2 , . . . независимых равномерно распределенныхна [0, 1] случайных величин и положить Xi = F −1 (ωi ), i = 1, 2, . . ..Для генерирования последовательности равномерно распределенных наотрезке [0, 1] случайных величин можно использовать, например, пакетпрограмм MS Excel.
Для этого в пункте меню «Вставка» нужно открытьпункт «Функция» и в категории «математические» найти встроеннуюфункциюСЛЧИС()— эта функция будет выдавать при каждом ее запуске числа, равномернораспределенные на отрезке [0, 1]. В следующем примере мы дляконкретного F сгенерируем последовательность независимых случайныхвеличин.57Пример 8.1. Сгенерировать последовательность экспоненциальнораспределенных случайных величин.Решение.Говорят, что случайная величинаXимеетэкспоненциальное распределение с параметром α (обозначение:X ⊂= Eα ), если ее распределение имеет вид(1 − exp(−αt), если t > 0,FX (t) =(8.15)0,если t ≤ 0.Тогда F −1 (t) = − α1 ln(1 − t). Далее генерируем последовательностьравномерно распределенных на отрезке [0, 1] случайных величин:ω1 , ω2 , .
. .. В итоге последовательностьF −1 (ωi ) = −1ln(1 − ωi ), i = 1, 2, . . .αи является искомой.▽§ 8.5.Решение типовых примеровПример8.2.Точка ω = (ω1 , ω2 ) выбирается наудачу втреугольнике с вершинами в точках (0,0), (2,1) и (2,0). Найти функциюраспределения случайной величины X, если:а) X(ω) = ω1 ;б) X(ω) = ω2 .Решение. а) Согласно определению (8.1), функция распределенияFX (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение,меньшее x.Так как точка ω = (ω1 , ω2 ) выбирается в пределах треугольника Ω (см.рис.??), то с.в. X(ω) = ω1 может принимать свои значения лишь впределах отрезка [0, 2].Поэтому при x ≤ 0 имеем FX (x) = P(X < x) = 0, а при x > 2 получаемFX (x) = P(X < x) = 1.Пусть теперь 0 < x ≤ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
