Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 4
Текст из файла (страница 4)
10 книг, среди которых имеется трехтомникА.С.Пушкина, случайным образом ставят на полку. Какова вероятностьтого, что три тома А.С.Пушкина окажутся стоящими рядом: а) в ихестественном порядке; б) в любом порядке.Решение. Элементарный исход случайного эксперимента –расстановка 10 книг в определенном порядке – есть, очевидно,перестановка из 10 элементов.
Число всех элементарных исходовравно числу перестановок N = 10!, и по условию все элементарные исходыравновозможны.а) Обозначим интересующее нас событие: А={три тома А.С.Пушкинаокажутся стоящими рядом в естественном порядке}.Чтобы подсчитатьчисло перестановок, образующих событие А, заметим, что указанныетри тома можно расположить на 10 местах в естественном порядке 8способами, а именно: располагая первый том на любом месте с 1-гопо 8-й, а второй и третий – рядом вслед за первым. Каждый из 8способов расположения трехтомника можно сочетать с любым способомрасстановки остальных семи томов на оставшихся 7 местах, что можносделать 7! способами (число перестановок из 7 элементов).
Таким образом,общее число перестановок из 10 книг, в которых три тома А.С.Пушкинастоят рядом в естественном порядке, равно N (A) = 8·7! = 8!, а вероятностьN (A)8!11события А равна P(A) ====.N10!9 · 1090б) Если нас интересует событие B={три тома А.С.Пушкинаокажутся рядом в произвольном порядке}, то число перестановок,реализующих это событие равно N (B) = N (A) · 3!. В самом деле,из каждой перестановки, реализующей событие A, можно получить 3!различных перестановок, реализующих событие B, переставляя три тома18А.С.Пушкина (1,2,3)события B равна:P(B) =между собой 3! способами. Тогда вероятность8! · 3!3·2·11N (B)===.N10!9 · 1015⊳Определение 2.3.
Сочетаниями из n элементов по k называютсявыборки без возвращения объема k из генеральной совокупности объема n,различающиеся лишь по составу элементов.Поскольку для сочетания порядок расположения его элементовзначения не имеет, то можно сказать, что сочетания из n элементовпо k есть всевозможные k-элементные подмножества генеральнойсовокупности объема n.Теорема 2.2. Число сочетаний из n элементов по k обозначаетсяCnk или (nk ) и вычисляется формулой:Cnk = (nk ) =Aknn[k]n · (n − 1) · · · (n − k + 1)n!===.Pkk!k · (k − 1) · · · 2 · 1k! · (n − k)!(2.5)Доказательство.
Обозначим через X искомое число всех сочетанийиз n элементов по k. Из каждого сочетания, путем всевозможныхперестановок его элементов, можно получить Pk = k! различных выборокбез возвращения с данным составом элементов. Проделав это с каждым изX сочетаний, мы получим, очевидно, все выборки без возвращения объемаk из генеральной совокупности объема n. Иначе говоря, справедливосоотношение X · Pk = Akn , из которого находим:X=Aknn[k]=.Pkk!⊳Выражения Cnk = (nk ), заданные равенствами (2.5), уже встречалисьчитателю в курсе высшей математики, например, в известной формулебинома Ньютона:nX(a + b)n =Cnk ak bn−k .k=0CnkПоэтому выражения= (nk )называются биномиальнымикоэффициентами.
Ниже приводятся некоторые свойства биномиальныхкоэффициентов, которые бывают полезны при вычислениях.19Свойства биномиальных коэффициентов1. Cn0 = Cnn = 1 (полагают по определению).2. Cnk = Cnn−k .k−1k3. Cnk = Cn−1+ Cn−1.nPk014.Cn = Cn + Cn + · · · + Cnn = 2n .k=0Свойства 2, 3 можно доказать, пользуясь равенствами (2.5), а свойство4 получается из формулы бинома Ньютона, если в ней положить a =b = 1. Если вспомнить, что коэффициент Cnk вычисляет число всехk-элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, тоиз свойства 4 вытекает, что число всех подмножеств n-элементногомножества равно 2n .Пример2.4.
(Урновая схема) В урне n шаров, неразличимыхнаощупь, из них n1 – черных, (n − n1 ) – белых. Наугад извлекаютсяk шаров (без возвращения). Найти вероятность того, что среди нихокажется k1 черных и (k − k1 ) белых.Решение. Элементарный исход описанного эксперимента – выборкабез возвращения и без интереса к порядку шаров в выборке, т.е.— сочетание из n по k.
Равновозможность элементарных исходовобеспечивается тем, что шары в урне неразличимы. Следовательно,применимо классическое определение вероятности. Общее числоэлементарных исходов N = N (Ω) = Cnk . Введем событие Ak1 ={среди выбранных шаров окажется k1 черных и (k − k1 ) белых}. Тогдаk−k1. В этой формуле первый сомножитель Cnk11 – этоN (Ak1 ) = Cnk11 · Cn−n1число способов выбрать k1 черных шаров из n1 , имеющихся в урне,k−k1— число способов выбрать (k − k1 ) белых шаров иза второй Cn−n1имеющихся в урне (n − n1 ). Поскольку каждый способ выбора черныхшаров можно сочетать с каждым способом выбора белых, общее числоспособов выбора комбинации «k1 черных и (k − k1 ) белых» равноуказанному произведению.
Отсюда находимP(Ak1 ) =C k1 · C k−k1N (Ak1 )= n1 kn−n1 .NCn⊳(2.6)Задача, разобранная в этом примере, также является эталонной. Нижеприводится пример аналогичной задачи, сформулированной в другихтерминах, но с ответом, совпадающим с (2.6)20§ 2.3.Решение типовых примеровПример 2.5. В партии из n изделий k бракованных. Определитьвероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки m изделийровно l окажутся бракованными.Решение.
Число возможных способов взять m изделий из n равноCnm . Благоприятствующими являются случаи, когда из общего числабракованных изделий взято l (это можно сделать Ckl способами), аостальные m−l изделий небракованные, т.е. они взяты из общего числа n−m−lk (количество способов равно Cn−k). Поэтому число благоприятствующихl m−lслучаев равно Ck Cn−k . Тогда искомая вероятность будет равнаpl =m−lCkl Cn−k.CnmЗаметим, что набор вероятностей pl ,гипергеометрическим распределением. ▽l=0, ..., k, называютПример 2.6.
Бросаются две игральные кости. Какова вероятность,что сумма выпавших очков делится на 6?Решение. Пространство элементарных исходов — множество Ω ={(i, j) : i = 1, ..., 6, j = 1, ..., 6} всех упорядоченных пар чисел (i, j),где i и j принимают независимо друг от друга целые значения от1 до 6. Стало быть, число всех таких пар N = N (Ω) = 62 =36. Естественно предположить, что обе игральные кости идентичны исимметричны, поэтому все элементарные исходы равновозможны, а значит,применимо классическое определение вероятности (2.1).
Обозначив черезA = {сумма выпавших очков делится на 6} интересующее нас событие,легко перечислить все элементарные исходы (i, j), образующие A:A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1); (6, 6)}.Таким образом, N (A) = 6, и следовательно,N (A)61== .▽N366Пример 2.7. Колода игральных карт (52 листа, 4 масти по 13карт в каждой) тщательно перетасована. Наудачу берут 6 карт (безвозвращения). Описать пространство элементарных исходов, а такженайти вероятность того, что среди этих карт:а) окажется король пик;б) будет ровно 5 карт одной масти.P(A) =21Решение.
Элементарный исход случайного эксперимента — выборкабез возвращения объема 6 из генеральной совокупности объема 52. Таккак в описании интересующих нас событий порядок элементов выборки,то есть порядок расположения шести выбранных карт, роли не играет, аважен лишь состав выбранных карт, то можно считать, что пространствоэлементарных исходов Ω составляют всевозможные сочетания из 52 по6. Поскольку колода была тщательно перетасована, то можно считать всеэлементарные исходы равновозможными. Их общее число N = N (Ω) =6C52.а) Обозначив A={среди выбранных карт окажется король пик},находимP(A) =5C11 · C511 · 51 · 50 · 49 · 48 · 47 · 6!3==.6C525! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 4726б) ОбозначаяB={среди выбранных карт окажется 5 одноймасти}, представим это событие в виде суммы попарно несовместныхсобытий: B = B1 + B2 + B3 + B4 , — где B1 ={среди выбранных картокажется ровно 5 пик}, B2 ={среди выбранных карт окажется ровно 5треф}, и т.д.
ТогдаN (B) = N (B1 ) + N (B2 ) + N (B3 ) + N (B4 ) = 4N (B1 ),иN (B1 )N (B)=4= 4P(B1 ).NNДля нахождения P(B1 ) мы используем тот факт, что пять пиковых5карт из колоды можно выбрать C13способами, в то время как одну1непиковую карту можно выбрать C39способами. Все способы выборапяти пиковых карт свободно комбинируются со всеми способами выбораодной непиковой, следовательно, число всех способов выбора шести карт51из колоды, среди которых ровно пять пиковых, равно C13· C39.P(B) =51C13· C3913 · 12 · 11 · 10 · 9 · 39 · 6!=,6C525! · 1! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 4713 · 12 · 11 · 10 · 9 · 39 · 6!P(B) = 4≈ 0, 0099.5! · 1! · 52 · 51 · 50 · 49 · 48 · 47P(B1 ) =§ 2.4.Задачи для самостоятельного решения2.1 В корзине пять красных и четыре зеленых яблока.
Некто беретнаугад три яблока. Найти вероятность: а) того, что среди вынутых трех22яблок будет ровно два зеленых; б) не более двух красных; в) по крайнеймере одно зеленое; г) не менее трех красных.2.2 Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одногоразмера. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубикбудет иметь ровно две окрашенные грани.2.3 В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них два выигрышапо 50 руб., 5 по 20 руб., десять - по 10 руб. и 25 - по 5 руб. Нектопокупает один билет.
Найти вероятность: а) выигрыша не менее 20 руб.;б) какого-либо выигрыша.2.4 На шести карточках написаны буквы В, Д, З, О, У, Х. Послеперетасовки вынимают наугад одну карточку за другой и:а) раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты;б) каждая из букв на вынутой карточке записывается, а сама карточкавозвращается в колоду.Найти вероятность того, что получится слово "воздух".2.5 Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М,М, Т, Т. Какова вероятность того, что при случайном расположении буквв ряд он получит слово МАТЕМАТИКА?2.6 В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно,что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом изэтажей, начиная со второго.
Найти вероятность того, что:а) все пятеро выйдут на пятом этаже;б) все пятеро выйдут одновременно (на одном и том же этаже);в) все пятеро выйдут на разных этажах;г) на первых трех этажах не выйдет ни один человек;д) все пассажиры выйдут на первых шести этажах;е) на одном этаже выйдут три пассажира, а на другом два?2.7 Какова вероятность того, что в четырехзначном номере случайновыбраного в большом городе автомобиля:а) все цифры разные;б) две пары одинаковых цифр;в) только две одинаковые цифры;г) только три одинаковые цифры;д) все цифры одинаковые;е) сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?2.8 В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
