Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Какова вероятность того, чтодве наудачу вынутые пуговицы будут одноцветными?2.9 Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимаются три карты. Найтивероятность того, что:а) среди них окажется ровно один туз;23б) среди них окажется хотя бы один туз;в) это будут тройка, семерка и туз (в любом порядке).2.10 Участник лотереи «спортлото» из 49 наименований видов спортаназывает шесть.
Выигрыш определяется тем, сколько наименований онугадал из шести других наименований, которые определяются в моментрозыгрыша лотереи с помощью специального устройства, реализующегослучайный выбор. С какой вероятностью участник угадает все шестьнаименований? Пять наименований и т.д.?2.11 Из колоды карт (52 листа) наудачу извлекаются три карты. Найтивероятность того, что это будут тройка, семерка, туз.2.12 Из 28 костей домино случайно выбирают две. Найти вероятностьтого, что из них можно составить «цепочку» согласно правилам игры.2.13 Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3,5, 7 и 9 единицам.
Определить вероятность того, что с помощью взятыхнаудачу трех отрезков из данных пяти можно построить треугольник.2.14 Из десяти билетов выигрышными являются два. Определитьвероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) ровно одинвыигрышный; б) ровно два выигрышных; в) хотя бы один выигрышный.2.15 На полке в случайном порядке расставлено n книг, среди которыхнаходится двухтомник Д. Лондона.
Предполагая, что различныерасположения книг равновероятны, найти вероятность того, что оба томарасположены рядом.2.16 Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности следующихсобытий: A ={выпадут 3 единицы, две тройки и одна шестерка}, B ={выпадут разные цифры}, C ={выпадут три одинаковые цифры}.2.17 52 карты раздаются четырем игрокам (каждому по 13 карт).
Найтивероятности следующих событий: A ={каждый игрок получит туза},B ={один из игроков получит все 13 карт одной масти}, C ={все тузыпопадут к одному из игроков}.2.18 Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собралв гардеробе все пальто, а потом развесил их в случайном порядке. Каковавероятность pn того, что хотя бы одно пальто попало на прежнее место,если всего в гардеробе n крючков и на них висело n пальто? Найти пределpn при n → ∞.2.19 В купейный вагон (9 купе по 4 места) семи пассажирам проданосемь билетов.
Найти вероятность того,что оказались занятыми:а) ровно два купе;б) ровно три купе2.20 8 студентов, дополнительно зачисленных в университет, случайнымобразом распределяются по четырем группам. Найти вероятность того,что:24а) в каждую группу попадут по 2 студента;б) все окажутся в одной группе;в) по 4 студента попадут в две группы.25Глава 3Геометрическая вероятностьВ геометрической вероятностной модели пространство элементарныхисходов Ω ⊂ Rd есть некоторое подмножество d-мерного евклидовапространства Rd , имеющее конечный ненулевой объем µ(Ω) (в частности,при d = 1 это подмножество действительной прямой, имеющее конечнуюдлину; при d = 2 это подмножество плоскости, имеющее конечнуюплощадь; при d = 3 это подмножество трехмерного пространства, имеющееконечный объем).Предположим, что вероятность попадания в любое подмножествоA ⊂ Ω пропорциональна мере этого подмножества µ(A) (т.е.
длине,площади или объему) и не зависит от вида и расположения множестваA. Тогда вероятность события A (вероятность попадания в множество A)определяется формулой:µ(A)P(A) =.(3.1)µ(Ω)§ 3.1.Решение типовых примеровПример 3.1.На плоскости начерчены параллельные прямые,находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачуброшена монета радиуса r < a. Какова вероятность того, что монетапересечет одну из прямых?Решение. Интересующее нас событие однозначно описываетсяположением монеты относительно ближайшей из прямых. Поэтомув качестве элементарного исхода данного эксперимента можно взятьзначение величины x — расстояние от центра монеты до ближайшейпрямой.
Тогда пространство элементарных исходов Ω представляетсямножеством Ω = {x : 0 ≤ x ≤ a}, то есть отрезком [0, a] на числовой26оси. Событие A ={монета пересечет одну из прямых} происходит тогда итолько тогда, когда x ≤ r. Следовательно, оно представляется множествомA = {x : 0 ≤ x ≤ r}, то есть отрезком [0, r] ⊂ Ω. Вероятность события Aнаходим по формуле (3.1):P(A) =µ(A)µ([0, r]r== .µ(Ω)µ([0, a])a▽Пример 3.2.(Задача о встрече). Два лица A и B условилисьвстретится в определенном месте между двумя и тремя часамидня. Лицо A ждет другого в течение 10 минут, после чегоуходит; лицо B ждет другого в течение 15 минут. Предполагая,что каждый из них может прийти в любое время в течениеуказанного часа, найти вероятности следующих событий: C ={встречасостоится}, D ={встреча состоится, но во второй половине часа}.Решение.
Не ограничивая общности, можно считать, что встречаназначена на промежуток времени между 0 и 1. Обозначим через (x, y)моменты прихода A и B соответственно. Пространством элементарныхисходов является множество Ω = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, тоесть единичный квадрат на плоскости. Событие C можно представить ввиде C = C1 ∪ C2 , где C1 ={встреча состоится, причем первым придетA}, C2 ={встреча состоится, причем первым придет B}.
Оно соответствуетмножеству C = C1 ∪C2 , где C1 = {(x, y) ∈ Ω : x ≤ y ≤ x+ 16 }, C2 = {(x, y) ∈Ω : y ≤ x ≤ y+ 41 } = {(x, y) ∈ Ω : x− 41 ≤ y ≤ x}. Изображаем эти множествана рис. 3.1. При этом множество C1 есть множество точек квадрата Ω,заключенных между прямыми y = x и y = x + 61 ; множество C2 — эточасть Ω, заключенная между прямыми y = x и y = x − 41 ; объединениеих C заштриховано параллельно диагонали квадрата. Равновозможностьприхода обоих лиц в течение часа позволяет использовать геометрическоеопределение вероятности (3.1), согласно которомуP(C) =1 − 12 ( 56 )2 − 12 ( 34 )2µ(C)107==.µ(Ω)1288Событие D можно представить в виде пересечения D = C ∩ E, гдеE ={хотя бы одно из двух лиц придет во второй половине часа}.Соответствующее множество E = {(x, y) ∈ Ω : y > 12 x > 12 } выделено нарис.3.1 горизонтальной штриховкой, а D = C ∩ E - множество с двойнойштриховкой.
Находя площадь этого множества (площадь единичного27yy =x+616y=x1y =x−1412160Cj14E12-1xРис. 3.1:квадрата минус площадь квадрата со стороной 1/2 минус площади двухтрапеций) и применяя снова геометрическое определение вероятности,получим:P(D) =§ 3.2.1 − ( 12 )2 − 12 ( 13 + 56 ) 12 − 12 ( 14 + 34 ) 125µ(D)==.µ(Ω)124▽Задачи для самостоятельного решения3.1 В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошена точка.Пусть (X, Y ) будут ее координаты.
Найти:а) P{|2X − Y | < 1/4};г) P{XY < 3/4};б) P{min(X, Y ) < 3/4};д) P{max(X, Y ) < 1/5};в) P{(X + Y )/2 < 1/3};e) P{X + 4Y < 1/2}.3.2 На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата a бросаетсянаудачу монета диаметра 2r < a. Найти вероятность того, что:а) монета попадет целиком внутрь квадрата;б) монета пересечет не более одной стороны квадрата.3.3 В интервале времени [0, T ] в случайный момент u появляется сигналдлительности ∆.
Приемник включается в случайный момент v ∈ [0, T ]на время t. Предположив, что точка (u, v) равномерно распределена на28квадрате [0, T ] × [0, T ], найти вероятность обнаружения сигнала.3.4 В квадрат с вершинами (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) наудачу брошена точка.Пусть (X, Y ) будут ее координаты. Доказать, что для любых 0 ≤ x, y ≤ 1выполнено:P{X < x, Y < y} = P{X < x}P{Y < y} = xy.Для 0 < z < 1 найти:а) P{|X − Y | < z};г) P{XY < z};б) P{min(X, Y ) < z};д) P{max(X, Y ) < z};в) P{(X + Y )/2 < z};e) P{X + 2Y < z}.3.5 Стержень длины l разломан в двух наудачу выбранных точках.С какой вероятностью из полученных отрезков можно составить: а)треугольник; б) остроугольный треугольник?3.6 На окружности наудачу выбраны три точки A, B, C. Найтивероятность того, что треугольник ABC будет:а)остроугольным;г)правильным;б)тупоугольным;д)равнобедренным.в)прямоугольным;3.7 На перекрестке установлен автоматический светофор, в которомодну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем сноваодну минуту — зеленый и полминуты — красный и т.д.
В случайныймомент времени к перекрестку подъезжает легковой автомобиль. Каковавероятность того,что он проедет перекресток без остановки?3.8 Точка взята наудачу внутри круга радиусом R. Найдите вероятностьтого, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r.3.9Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1].
Каковавероятность того, что их сумма больше или равна 1, а их разность меньшелибо равна 0?3.10 Двое студентов условились встретиться в определенном месте и вопределенный день между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждетвторого в течение 10 мин, после чего уходит. Найти вероятность встречистудентов, если приход каждого из них независим и равновозможен влюбой промежуток времени.29Глава 4Условные вероятности§ 4.1.Определения и примерыДля любых событий A, B, где P(B) > 0, условной вероятностьюсобытия A при условии B называется числоP(A/B) =P(AB).P(B)(4.1)Условная вероятность возникает в ситуации, когда имеется частичнаяинформация о результатах случайного эксперимента («произошло событиеB»), и в этих условиях требуется найти вероятность события A.§ 4.2.Решение типовых примеровПример4.1.Брошены три игральные кости.
Чему равнавероятность того, что на одной из них выпала единица, если на всехтрех костях выпали разные числа?Решение. Первый способ. Обозначим события: A = {на однойиз костей выпала единица}, B = {на всех костях выпали разныечисла}. Пространство элементарных исходов Ω есть множество всехупорядоченных наборов чисел (i, j, k), выпавших соответственно на 1й, 2-й и 3-й костях. Поскольку каждое из этих чисел может приниматьлюбое из значений от 1 до 6, то Ω есть множество всех выборок свозвращением объема 3 из шести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
