Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. . ислучайная величина Y .Определение 10.1. Будем говорить, что последовательностьслучайных величин Y1 , Y2 , . . . сходится с вероятностью 1 (илисходится почти наверное) к случайной величине Y , если Yn (ω) → Y (ω)при n → ∞ для всех ω ∈ Ω за исключением, быть может, ω из множестванулевой вероятности.Будем использовать обозначение для сходимости почти наверное:Yn → Y п. н.Из определения следует, что Yn → Y п.
н. тогда и только тогда, когдаYn − Y → 0 п. н., что в свою очередь равносильно сходимости |Yn − Y | → 0п. н.Отметим, что если плотность распределения случайной величины X1положительна почти всюду на (конечном или бесконечном) интервале(a; b), и (X1 , .
. . , Xn ) — выборка, то min{Xi } → a п. н., и max{Xi } → b п.н.Важным свойством сходимости почти наверное является свойствосходимости функций от случайных величин.Теорема 10.1. Пусть Yn → Y п. н., g(x) — непрерывная функция.Тогда g(Yn ) → g(Y ) п. н.Доказательство. По определению непрерывной функции, событиеYn → Y влечет событие g(Yn ) → g(Y ).
Следовательно,P(g(Yn ) → g(Y )) ≥ P(Yn → Y ) = 1.То же свойство имеет место и для функции произвольного числапеременных. Докажем его для случая двух переменных.83Теорема 10.2. Пусть Yn → Y п. н., Zn → Z п. н., g(x, y) —непрерывная функция двух переменных.
Тогда g(Yn , Zn ) → g(Y, Z) п. н.Доказательство.По определению непрерывной функции,пересечение событий Yn → Y, Zn → Z влечет событие g(Yn , Zn ) → g(Y, Z).Следовательно, P(g(Yn , Zn ) → g(Y, Z)) ≥ P(Yn → Y, Zn → Z). Так какP(Yn → Y ) = 1, P(Zn → Z) = 1, то объединение этих множеств такжеимеет вероятность 1. Отсюда по формуле вероятности объединенияполучаем, что вероятность пересечения также равна 1.
Следовательно,P(g(Yn , Zn ) → g(Y, Z)) = 1.Следующая важная теорема носит название закона больших чиселКолмогорова.Теорема10.3. Пусть X1 , X2 , . . . — независимые одинаковораспределенные случайные величины c конечным математическиможиданием EX1 . Обозначим Sn = X1 + . . . + Xn . Тогда Sn /n → EX1п. н.Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [1].§ 10.2.Центральная предельная теоремаРассмотрим несколько результатов, которые объединяются подназванием центральной предельной теоремы и занимают особое местов теории вероятностей. Упрощенно говоря, центральная предельнаятеорема (ЦПТ) формулируется так: сумма большого числа малыхнезависимых случайных величин приближенно имеет нормальноераспределение.
Благодаря ЦПТ нормальное распределение имеет, пожалуй,наибольшее распространение в различных прикладных областях. Так,например, общепринято считать результат любого физического измерениянормально распределенной случайной величиной, поскольку в результатизмерения неизбежно входит некоторая ошибка, которая состоит избольшого числа мелких независимых ошибок, вызываемых различнымифакторами: неточность инструмента, меняющиеся параметры среды,условия измерения и т.д.Сходимость центрированных и нормированных сумм случайныхвеличин в центральной предельной теореме имеет место в некоторомспециальном смысле, более слабом, чем сходимость почти наверное.Дадимопределениесходимостипораспределению.Последовательность случайных величин Y1 , Y2 , .
. . называется сходящейся84по распределению к случайной величине Y с непрерывной функциейраспределения FY (t), если последовательность функций распределениясходится к предельной функции распределения в каждой точке: длялюбого действительного t выполненоFYn (t) → FY (t)при n → ∞.Рассмотримпоследовательностьнезависимыходинаковораспределенных случайных величин {Xn }∞и обозначим черезn=1nPSn =Xk последовательность частичных сумм, составленных изk=1первых n случайных величин Xk . Относительно распределений случайныхвеличин Xk будем предполагать, что они имеют два конечных момента:EXk = a, DXk = σ2 > 0, k = 1, 2, ... .
Тогда и суммы Sn имеют конечныематематическое ожидание и дисперсию:ESn = na,DSn = nσ2 .Перейдем к последовательности центрированных и нормированных сумм:fn = Sn√− ESn =SDSnnPk=1Xk − na√.σ nfn = 0, DSfn = 1. Обозначим также черезОчевидно, ESffFn (x) =P(Sn <x) функции распределения центрированных иRx − u2fнормированных сумм Sn , а через Φ(x) = √12πe 2 du — функцию−∞распределения стандартного нормального закона N (0, 1).Теорема 10.4. (ЦПТ для одинаково распределенных слагаемых.)Пусть {Xn }∞– последовательность независимых и одинаковоn=1распределенных случайных величин, имеющих конечные математическоеожидание EXn = a и дисперсию DXn = σ2 > 0.
Тогда для этойпоследовательности центральная предельная теорема выполняется вследующем виде: для всех x ∈ R выполнено− nafn (x) = P Sn √F< x → Φ(x), n → ∞,(10.1)σ nx1 , x2 ∈ R (x1 < x2 ) выполненоSn − na√lim P x1 ≤< x2 = Φ(x2 ) − Φ(x1 ), n → ∞,n→∞σ nили для всех85(10.2)то есть центрированные и нормированные суммы случайных величинсходятся по распределению к случайной величине, имеющей стандартноенормальное распределение.Важным следствием теоремы 10.4 является следующаяТеорема 10.5.
(Муавра — Лапласа). Пусть ν — число «успехов» в nнезависимых испытаниях схемы Бернулли, и p — вероятность «успеха»в каждом испытании. Тогда справедливы следующие равносильныепредельные соотношения:ν − npP √< x → Φ(x), n → ∞,(10.3)npqν − np< x2 → Φ(x2 ) − Φ(x1 ), n → ∞,(10.4)P x1 ≤ √npqгдеq = 1−p;1Φ(x) = √2πZxe−u22du.−∞Доказательство.Поскольку случайная величина ν есть число«успехов» в n независимых испытаниях Бернулли, то ее можнопредставить в виде суммы независимых случайных величин:ν = Sn = X1 + X2 + ... + Xn ,где случайная величина Xk равна числу «успехов» в одном k-м испытанииБернулли (k = 1, 2, . .
. , n), т. е. она принимает значения 1 или 0 взависимости от того, был ли «успех» в k-м испытании. Ясно, что всеXk имеют одно и то же распределение Бернулли Bp . Если вспомнить,что их математическое ожидание и дисперсия равны EXk = a = p иDXk = σ2 = pq соответственно, то все условия теоремы 10.4 выполнены, адоказываемые соотношения (10.3)–(10.4) получаются подстановкой новыхобозначений в соотношения (10.1)–(10.2) из теоремы 10.4.§ 10.3.Теорема ПуассонаТеорема Пуассона дает другое приближение в схеме Бернулли.Напомним, что распределением Пуассона с параметром λ > 0 называетсядискретное распределение видаP{X = k} = πk = e−λ86λk; k = 0, 1, . . .
.k!Условия сближения биномиального распределения с распределениемПуассона, упрощенно говоря, состоят в том, что число n испытаний велико,а вероятность p «успеха» в каждом испытании мала. Более точнаяформулировка содержится в следующей теореме.Теорема 10.6. (Пуассон). Пусть n — число испытаний в схемеБернулли — неограниченно возрастает, а вероятность «успеха» — однаи та же для всех испытаний — зависит от n : p = p(n); причем p =p(n) → 0 таким образом, что np → λ > 0 при n → ∞. Тогда для любогофиксированного целого k ≥ 0 выполняется предельное соотношение:Pn,p (k) → πk ,(10.5)n → ∞,гдеλk.k!Доказательство. Будем использовать следующее стандартное дляматематического анализа обозначение эквивалентных переменных:Pn,p (k) = Cnk pk q n−k ;αn ∼ βn⇔αn=1n→∞ βnlimπk = e−λ⇔ αn = βn + o(βn ).λ, q = 1−p → 1nпри n → ∞.
Докажем соотношение (10.5) сначала для k = 0:Из условий доказываемой теоремы следует, что p ∼1lim Pn,p (0) = lim Cn0 p0 q n = lim q n = lim (1 − p)n = lim [(1 − p) p ]pn =n→∞n→∞n→∞n→∞λ1n→∞λ= lim [(1 − p) p ]( n +o( n ))·n = e−λ .n→∞Последнее равенство следует из того, что основание степени(1 − p)1/p → e−1 , а показатель ( nλ + o( nλ )) · n = λ + o( nλ ) · n → λ. Такимобразом,Pn,p (0) → e−λ = π0 , n → ∞.(10.6)Найдем теперь предел отношенияPn,p (k)p · (n − k + 1)=.Pn,p (k − 1)k·qПри этом, поскольку n → ∞, а k ≥ 1 фиксировано, можно считать,что k ≤ n.
Будем также использовать тот факт, что предел не меняется,87если любой сомножитель в «допредельном» выражении заменить наэквивалентный.Pn,p (k)p · (n − k + 1)= lim= limn→∞ Pn,p (k − 1)n→∞n→∞k·qlimТаким образом,λn· (n − k + 1)λ= .k·1kλPn,p (k)→ , n → ∞.Pn,p (k − 1)k(10.7)Наконец, для любого целого k ≥ 1 представим вероятность Pn,p (k) ввидеPn,p (1) Pn,p (2)Pn,p (k)Pn,p (k) = Pn,p (0) ·····.Pn,p (0) Pn,p (1)Pn,p (k − 1)Заменяя в правой части этого представления каждый сомножитель егопределом из (10.6) и (10.7), найдем предел произведенияlim Pn,p (k) = lim Pn,p (0) · limn→∞n→∞n→∞Pn,p (1)Pn,p (k)· · · lim=n→∞ Pn,p (k − 1)Pn,p (0)λλλλk·· ··· ·= e−λ ·= πk .12kk!Пример 10.1.
Известно, что левши составляют в среднем 1%всего населения. Оценить вероятность того, что по меньшей мере троелевшей окажется среди 200 человек.= e−λ ·Решение. Естественно использовать схему Бернулли с параметрамиn = 200; p = 0, 01. Обозначим через ν число левшей, оказавшихся в даннойгруппе (число «успехов» в n независимых испытаниях). Тогда точноезначение искомой вероятности выражается с помощью формул Бернулли:! 200200200[XXkP(ν ≥ 3) = P(ν = k) =P(ν = k) =C200pk q 200−k .k=3k=3k=3При подстановке значений p = 0, 01; q = 0, 99получимвыражение, весьма трудоемкое для вычислений. Впрочем, перейдя кпротивоположному событию, мы значительно уменьшим число слагаемыхв сумме. Кроме того, заменив вероятности биномиального распределенияkCnk pk q n−k = Pn,p (k) вероятностями e−λ · λk! = πk распределения Пуассона,мы получим более простое приближенное значение искомой вероятности:P(ν ≥ 3) = 1 − P(ν < 3) = 1 −2Xk=088P(ν = k) ≈ 1 − π0 − π1 − π2 .Вычислим значения вероятностей πk = e−λ · λk! при λ = np = 2.
ПолучимkP(ν ≥ 3) ≈ 1 − 0, 68 = 0, 32.Замечание 10.1. В теореме 10.6 устанавливается лишь сам фактприближенного равенства Pn,p (k) ≈ πkпри больших значенияхn. Однако для практического использования этого приближениянеобходимо знать оценку допускаемой погрешности. Если, применяяуказанное приближенное равенство, мы допускаем ошибку, сравнимую срезультатом вычисления, то использование приближенного равенстватеряет смысл. Мы увидим позже, что в предыдущем примере ошибкаприближения Пуассона не превышает 0,01.В формулируемой ниже теореме устанавливается не тольковозможность замены биномиального распределения распределениемПуассона, но и дается оценка погрешности, возникающей при такой замене.Доказательство этой теоремы выходит за рамки элементарного курсатеории вероятностей, поэтому мы ограничимся только ее формулировкой.Теорема 10.7. Пусть ν — число «успехов» в n независимыхиспытаниях схемы Бернулли, а p — вероятность «успеха» в каждомиспытании.
Тогда для любого числового множества A ⊆ R справедливонеравенствоXXX|P(ν ∈ A) −πk | = |Pn,p (k) −πk | ≤ min(p; np2 ),(10.8)k∈Ak∈Ak∈Aгдеλ = np ;Pn,p (k) = Cnk pk q n−k ;πk = e−λλk.k!Возвращаясь к примеру 10.2, полученный при его решении ответпредставим в видеP(ν ≥ 3) = 0, 32 + ∆,где погрешность ∆ оценивается с помощью теоремы 10.7:|∆| ≤ min(p, np2 ) = min(0, 01, 0, 02) = 0, 01.Хотелось бы также иметь возможность оценивать ошибку,возникающуюприиспользованиинормальногоприближениябиномиального распределения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
