Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 12
Текст из файла (страница 12)
По свойствам дисперсии,DX = D(a + σZ) = D(σZ) = σ2 DZ = σ2 · 1 = σ2 .Такимобразом,параметрынормальногораспределенияNa,σ2представляют соответственно математическое ожиданиеи дисперсию случайной величины:a = EX, σ2 = DX.§ 9.3.Числовые характеристики случайныхвекторовКовариацией случайных величин X1 , X2называется число:(9.12)cov(X1 , X2 ) = E(X1 − EX1 )(X2 − EX2 ).Для вычисления ковариации можно использоватьформулу:cov(X1 , X2 ) = E(X1 X2 ) − EX1 · EX2 .следующую(9.13)Ковариация для дискретных случайных величин обычно считается последующей формуле:cov(X1 , X2 ) =∞ X∞Xk=1 n=1xn yk P(X1 = xn , X2 = yk ) − EX1 EX2 .74Заметим, что если с.в.
X1 , X2 независимы, то ковариация ихравна нулю: cov(X1 , X2 ) = 0. В общем же случае (т.е. когда с.в. необязательно независимы), справедлива следующая формула, связывающаяковариацию с дисперсиями с.в. X1 , X2 , X1 + X2 :D(X1 + X2 ) = DX1 + 2cov(X1 , X2 ) + DX2 .(9.14)Последнее соотношение допускает обобщение на случай n случайныхслагаемых:XD(X1 +X2 +...+Xn ) = DX1 +DX2 +...+DXn +2cov(Xi , Xj ). (9.15)1≤i<j≤nКоэффициентомкорреляции случайных величинназывается величина ρ = ρ(X1 , X2 ), равная отношению:cov(X1 , X2 )E(X1 X2 ) − EX1 · EX2√√√=.ρ(X1 , X2 ) = √DX1 DX2DX1 DX2X1 , X2(9.16)Коэффициент корреляции ρ = ρ(X1 , X2 ) широко используется как меразависимости между с.в. X1 , X2 , ввиду следующих своих свойств:ρ1.
|ρ| ≤ 1;ρ2. Если с.в. X1 , X2 независимы, то ρ = ρ(X1 , X2 ) = 0;ρ3. |ρ| = 1 тогда и только тогда, когда X1 , X2связаны линейнойзависимостью: X1 = aX2 + b, при этом(ρ = 1) ⇔ (a > 0);§ 9.4.(ρ = −1) ⇔ (a < 0).Решение типовых примеровПример 9.9. Стрельба по цели ведется до первого попадания, нодается не более двух попыток. Каково математическое ожидание идисперсия числа выстрелов, которые будут сделаны, если вероятностьпопадания в каждом выстреле равна 0, 2?Решение.
Число сделанных выстрелов — это случайная величина X,которая может принимать лишь два значения 1 или 2, с вероятностями 0, 2(это означает, что сразу произошло попадание и стрельба закончилась) или0, 8 соответственно. Причем P(X = 2) = 0, 8 · 0, 2 + 0, 8 · 0, 8 = 0, 8, т. е. двепопытки могут произойти в двух случаях: либо в первый раз не попали, но75во второй раз попали, либо и в первый, и во второй раз не попали. Тогдаматематическое ожидание легко находится по формуле (9.1):EX = x1 p1 + x2 p2 = 1 · 0, 2 + 2 · 0, 8 = 1, 8.Дисперсия считается по формуле:DX = x21 p1 + x22 p2 − (EX)2 = 12 · 0, 2 + 22 · 0, 8 − 1, 82 = 0, 16.▽Пример9.10.Двумерный случайный вектор (X, Y ) имеетраспределение, заданное таблицей:010,100,150,200,150,250,15XY-101а) Найти математические ожидания, дисперсии и коэффициенткорреляции с. в.
X, Y .б) Найти коэффициент корреляции ρ(X + Y, X − 2Y ).Решение.а) Чтобы вычислить математические ожидания идисперсии, найдем частные распределения с.в. X, Y , записывая ихв дополнительные строку и столбец данной таблицы совместногораспределения:Y-101P(X = n)X01P(Y = k)0,100,150,200,450,150,250,150,550,250,400,35Используя найденные ряды распределения с.в. X, Y , вычисляем их м.о. идисперсии:EX = 0 · 0, 45 + 1 · 0, 55 = 0, 55; EY = −1 · 0, 25 + 0 · 0, 40 + 1 · 0, 35 = 0, 10;EX 2 = 02 ·0, 45+12·0, 55 = 0, 55; DX = EX 2 −(EX)2 = 0, 55−0, 552 = 0, 2475;EY 2 = (−1)2 ·0, 25+0+12 ·0, 35 = 0, 6; DY = EY 2 −(EY )2 = 0, 6−0, 12 = 0, 59.76Чтобы найти коэффициент корреляции, найдем сначала ковариацию,используя соотношение (9.13) и таблицу распределения X, Y :XE(XY ) =(n · k)P(X = n, Y = k) = 0 · (−1) · 0, 10 + 0 · 0 · 0, 15 + 0 · 1 · 0, 20+n,k+1 · (−1) · 0, 15 + 1 · 0 · 0, 25 + 1 · 1 · 0, 15 = 0;cov(X, Y ) = E(XY ) − EX · EY = 0 − 0, 55 · 0, 1 = −0, 055;cov(X, Y )−0, 055√√= −0, 144.ρ(X, Y ) = √= √0, 2475 0, 59DX DYВеличина коэффициента корреляции близка к нулю, поэтому можносчитать, что с.в.
X, Y слабо зависимы.б) Используя определение ковариации, получаемcov(X + Y, X − 2Y ) = cov(X, X) − 2cov(X, Y ) + cov(Y, X) − 2cov(Y, Y ) == DX − cov(X, Y ) − 2DY = 0, 2475 − 0, 055 − 2 · 0, 59 = −0, 9875.Дисперсии с.в. X + Y, X − 2Y найдем, пользуясь соотношением (9.14):D(X + Y ) = DX + DY + 2cov(X, Y ) = 0, 2475 − 2 · 0, 055 + 0, 59 = 0, 7275;D(X −2Y ) = DX +4DY −4cov(X, Y ) = 0, 2475−4·0, 055+4·0, 59 = 2, 3875.Остается вычислить коэффициент корреляции:cov(X + Y, X − 2Y )−0, 9875ρ(X+Y, X−2Y ) = p= √= −0, 749.0,7275· 2, 3875D(X + Y )D(X − 2Y )Пример 9.11. Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 выбирают наудачу две цифры безвозвращения. Найти коэффициент корреляции между меньшей и большейиз выбранных цифр.Решение.
Число способов выбрать 2 цифры из 5 без возвращения и5!без учета порядка равняется C52 = 2!3!= 10. Поэтому вероятность каждойдопустимой комбинации двух цифр равна 1/10 = 0, 1.Обозначим через X меньшую из двух цифр, через Y — большую.Получим следующую таблицу двумерного распределения:X0123Y12340,10000,10,1000,10,10,100,10,10,10,177▽Составим таблицы одномерных распределений:iP(X = i)00,410,320,230,1jP(X = i)10,120,230,340,4Для сокращения вычислений полезно отметить, что случайнаявеличина Y распределена так же, как 4 − X. Найдем числовыехарактеристики случайной величины X. Математическое ожидание ивторой момент равняютсяEX =3Xi=0EX 2 =3Xi=0xi pi = 0 · 0, 4 + 1 · 0, 3 + 2 · 0, 2 + 3 · 0, 1 = 0, 7;(xi )2 pi = 02 ·0, 4+12 ·0, 3+22 ·0, 2+32 ·0, 1 = 0+0, 3+0, 8+0, 9 = 2.Найдем дисперсию:DX = EX 2 − (EX)2 = 2 − 0, 72 = 2 − 0, 49 = 1, 51.Для нахождения числовых характеристик случайной величины Yвспомним, что она распределена так же, как 4−X (проверьте, что числовыехарактеристики для Y можно вычислить и непосредственно, и результатысовпадают с теми, что получены ниже):EY = E(4 − X) = 4 − EX = 4 − 0, 7 = 3, 3;DY = D(4 − X) = D(−X) = (−1)2 DX = DX = 1, 51.Вычислим математическое ожидание произведения случайныхвеличин XY по таблице совместного распределения, пользуясь формулойEXY =3 X4Xi=0 j=1i · j · P(X = i, Y = j).Выписанная двойная сумма состоит из 16 слагаемых, каждое изкоторых получается произведением значений случайных величин и78вероятности в каждой из 16 клеток таблицы.
Выпишем те 10 слагаемых,для которых вероятности не равны нулю:EXY = 0 · 1 · 0, 1 + 0 · 2 · 0, 1 + 0 · 3 · 0, 1 + 0 · 4 · 0, 1++1 · 2 · 0, 1 + 1 · 3 · 0, 1 + 1 · 4 · 0, 1 + 2 · 3 · 0, 1 + 2 · 4 · 0, 1 + 3 · 4 · 0, 1 == 0 + 0 + 0 + 0 + 0, 2 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 6 + 0, 8 + 1, 2 = 3, 5.Следовательно, ковариация случайных величин X и Y равнаcov(X, Y ) = EXY − EX · EY = 3, 5 − 0, 7 · 3, 3 = 3, 5 − 2, 31 = 1, 19,и коэффициент корреляции§ 9.5.1, 19cov(X, Y )1, 19√ρ(X, Y ) = √= p≈ 0, 79.=21,51DX DY1, 51Задачи для самостоятельного решения9.1 Дискретная случайная величина X имеет ряд распределенияxiP(X = xi )-11/501/1013/102.2/5Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин:а) X;в) X 2 ;б) |X|;г) 2X .9.2 Пусть случайная величина X принимает значения -2, -1, 0, 1 и 2 свероятностью 1/5 каждое.
Найти математические ожидания и дисперсиислучайных величин:а) X;в) |X|;г) X 2 .б) − X;9.3 Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку.Составить ряд распределения числа попыток при открывании замка, еслииспробованный ключ в последующих опробованиях не участвует. Чему79равны математическое ожидание и дисперсия этой случайной величины?9.4 Из урны, содержащей пять белых и три черных шара, последовательновынимают шары, причем операция извлечения продолжается до появлениябелого шара.
Составить ряд распределения числа извлеченных черныхшаров и вычислить математическое ожидание и дисперсию, еслиизвестно, что: а) вынутые шары в урну не возвращаются; б) вынутыешары возвращаются в урну.Найти математическое ожидание и дисперсию соответствующихслучайных величин в задачах 8.1 — 8.7.9.5 Игрок бросает в автомат жетон стоимостью 10 рублей. В случаевыигрыша игрок получает 50 рублей. Вероятность выигрыша составляет0,16. Найти математическое ожидание и дисперсию выигрыша игрока втакой игре.9.6 Диаметр круга измерен приближенно. Считая, что его величинаравномерно распределена на отрезке [a, b], найти среднее значение идисперсию площади круга.9.7 Случайные величины X Y независимы, причем X имеет нормальноераспределение с параметрами 2 и 1/2, а Y - равномерное распределениена отрезке [0, 4].
Найти:г) E(X − Y 2 );а) E(X + Y );б) EXY ;д) D(X + Y );2в) EX ;e) D(X − Y ).9.8 Бросается n игральных костей. Найти математическое ожидание идисперсию суммы очков на всех костях.9.9 Двумерное распределение пары целочисленных случайных величинX и Y задается с помощью таблицы,Y = −1Y =2X = −21/61/6X=01/61/6X =11/61/6где в пересечении столбца X = i и строки Y = j находится вероятность:P{X = i, Y = j}. Найти:а) EX, DX;в) Cov(X, Y );б) EY, DY ;г) E(X − 2Y ), D(X − 2Y ).9.10 Двумерный случайный вектор (X, Y ) имеет распределение, заданноетаблицей:80Y-201X-1011/81/123/241/121/121/127/241/161/16Найти математические ожидания, дисперсии и коэффициент корреляциис.
в. X, Y , а также математическое ожидание и дисперсию с.в. X − 3Y + 1.9.11 Найти коэффициент корреляции ρ(X, X +Y ), где X и Y независимы,одинаково распределены и имеют конечный второй момент, применитьполученную формулу для случая, когда X и Y имеют стандартноенормальное распределение.9.12 Пусть с.в.
X имеет равномерное на отрезке [−1, 1] распределение.Найти коэффициент корреляции ρ(X, X 2 ).9.13 Случайная величина Z имеет равномерное распределение на отрезке[0, 1]. Найти коэффициент корреляции случайных величин Y1 , Y2 , если:а) Y1 = aZ, Y2 = bZ (a, b > 0);б) Y1 = aZ, Y2 = bZ (a < 0 < b);в) Y1 = Z, Y2 = Z 2 .9.14 Найти коэффициент корреляции между числом единиц и числомшестерок при трех бросаниях правильной игральной кости.81Глава 10Предельные теоремыЕще во введении, говоря о закономерностях случайных явлений, мыуточнили, что эти закономерности проявляются в результате проведениябольшого числа случайных экспериментов.
Пример такой закономерности— устойчивость частоты события — можно наблюдать, проведядостаточно большое число реальных экспериментов, или воспользовавшисьстатистическими данными наблюдений того или иного случайногоявления (демографические данные, метеорологические наблюдения ит.д.). Наиболее яркие результаты теории вероятностей, присущие именноэтой науке, связаны с открытием фактов, наблюдаемых только припроведении большого числа случайных экспериментов. Такого родарезультаты называют предельными теоремами теории вероятностей.Наиболее важными и известными предельными теоремами являются законбольших чисел (ЗБЧ) и центральная предельная теорема (ЦПТ).§ 10.1.Закон больших чиселВ простейшем случае закон больших чисел заключается вследующем: среднее арифметическое большого числа независимых,одинаково распределенных случайных величин ведет себя как величинанеслучайная, равная математическому ожиданию.
Это означает, чтоX1 + X2 + . . . + Xnсреднее арифметическоепри n → ∞ ведет себя весьмаnустойчиво, в то время как отдельные слагаемые X1 , X2 , ... , Xn могутиспытывать значительные случайные отклонения. Иначе говоря, при n →∞ имеет место сходимость:X1 + X2 + ... + Xnn82→ a = EX1 ,где смысл сходимости и дополнительные условия уточняются нижев точных формулировках. Здесь же отметим, что ЗБЧ проявляетсяво многих реальных «случайных экспериментах»: среднее количествоосадков, выпадающих в данной местности за год, вычисляемое порезультатам многолетних наблюдений, оказывается величиной весьмастабильной; результат измерения физических величин вычисляетсяобыкновенно как среднее арифметическое достаточно большого числареальных измерений, чтобы уменьшить влияние случайных ошибок,возникающих при отдельных измерениях, и др.Пусть заданы последовательность случайных величин Y1 , Y2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
