Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. . + Xn ) .nn10.3 Какова вероятность того, что в 100 партиях одинаковых по силепротивников один из них выиграет более 70 раз? Ничьих нет.10.4 Каждая буква текста может оказаться опечаткой с вероятностью10−4 . Какова вероятность того, что в тексте из 40 000 букв окажется более2 опечаток?10.5 Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смертина 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 10000 человек20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 120 рублейстраховых взносов за год.
В случае смерти застрахованного страховоеучреждение выплачивает наследникам 10000 рублей. Каковы вероятности,что:а) к концу года страховое учреждение окажется в убытке;б) его доход превысит 600000 рублей; 400000 рублей?Какой минимальный страховой взнос следует учредить, чтобы в техже условиях с вероятностью 0.95 доход был не менее 4000000 рублей?9510.6 Студент получает на экзамене 5 с вероятностью 0,2; 4 с вероятностью0,4; 3 с вероятностью 0,3 и 2 с вероятностью 0,1.
За время обучения онсдает 40 экзаменов. Найти пределы, в которых с вероятностью 0,95 лежитсредний балл студента.10.7 Известно, что вероятность рождения мальчика приблизительноравна 0.515. Какова вероятность того, что среди 10 тыс. новорожденныхокажется мальчиков не больше, чем девочек?10.8 Известно, что вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости(брак) равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 100 шт. Чему равнавероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл? Какоенаименьшее количество сверл нужно класть в коробку для того, чтобы свероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее 100 исправных?10.9 Вероятность выхода из строя за время T одного конденсатора равна0.05.
Определить вероятность того, что за время T из 100 конденсатороввыйдут из строя а) не менее 5 конденсаторов; б) менее 13 конденсаторов.10.10 Вероятность угадывания 6 номеров в спортлото (6 из 49) равна7, 2 · 10−8 . При подсчете оказались заполненными 5 млн. карточек. Каковавероятность, что никто не угадал все 6 номеров? Какое наименьшееколичество карточек нужно заполнить, чтобы с вероятностью не менее 0,9хотя бы один угадал 6 номеров?10.11 1000 раз бросается игральная кость. Найти пределы, в которых свероятностью, большей 0.95, будет лежать сумма выпавших очков.10.12 Некоторая машина состоит из 10 тыс.
деталей. Каждаядеталь независимо от других деталей может оказаться неисправной свероятностью pi , причем для n1 = 1000 деталей p1 = 0.0003, для n2 = 2000деталей p2 = 0.0002, и для n3 = 7000 деталей p3 = 0.0001. Машина неработает, если в ней неисправны хотя бы две детали. Найти вероятностьтого, что машина не будет работать.10.13 Игральная кость подбрасывается до тех пор, пока общая суммаочков не превысит 700. Оценить вероятность того, что для этогопотребуется более 210 бросаний.10.14 Математическое ожидание количества выпадающих осадков втечение года в данной местности составляет 60 см.
В предположении,что количество осадков распределено по нормальному закону, оценитьвероятность того, что количество осадков в предстоящем году будет небольше 120 см, если известно стандартное отклонение — 20см.Оценить вероятность того, что выпадет не менее 180 см осадков вусловиях, описанных выше.96Глава 11Выборка. Оцениваниепараметров§ 11.1.Выборка и вариационный рядВ математической статистике рассматривается ситуация, когдараспределение наблюдаемой в случайном эксперименте величиныXнеизвестно (хотя бы частично), зато исследователь располагаетрезультатами эксперимента (статистическими данными), по которым ондолжен сделать выводы о неизвестном распределении случайной величиныX.
К этому стоит добавить, что задачей математической статистикиявляется использовать результаты эксперимента по возможностиоптимальным образом.Основным объектом исследования в математической статистике~ = (X1 , X2 , ..., Xn ), то есть набор значений случайнойявляется выборка Xвеличины X, полученных в результате n независимых воспроизведенийэксперимента. Иначе говоря, выборка представляет собой случайныйвектор, координаты которого — элементы выборки X1 , X2 , ..., Xn —независимые случайные величины, имеющие общее распределение сфункцией распределения F (t). Будем говорить в этом случае, что имеется~ из распределения F , и обозначать сокращенно:случайная выборка X~ ⊂X= F . Число n называется объемом выборки.
Конкретный наборчисловых значений случайных величин X1 , X2 , ..., Xn , полученный врезультате эксперимента, будем называть реализацией выборки иобозначать ~x = (x1 , x2 , ..., xn ).Если элементы выборки X1 , . . . , Xn упорядочить по возрастанию, тополучится новый набор случайных величин, называемый вариационным97рядом:X(1) ≤ X(2) ≤ . . . ≤ X(n−1) ≤ X(n) .Случайная величина X(k) , k = 1, . .
. , n называется k-м членомвариационного ряда, или k-й порядковой статистикой. В частности,X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }.§ 11.2.Эмпирическая функцияраспределения, гистограммаЭмпирической функцией распределения Fn∗ (t) называетсячастота элементов выброрки, меньших заданного t. Эмпирическая~ = (X1 , X2 , ..., Xn ),функция распределения, соответствующая выборке Xможет быть построена по этой выборке с помощью любой из следующихформул:nFn∗ (t) ={количество Xi : Xi < t}1X=I(Xi < t),nn i=1где функцияI(Xi < t) =(11.1)1, если Xi < t,0 иначе— индикатор события {Xi < t}.Заметим, что эмпирическая функция распределения, соответствующая~ сама является случайной, поскольку определяетсяслучайной выборке X,через элементы выборкиX1 , X2 , .
. . , Xn , являющиеся случайнымивеличинами. В то же время любая реализация ~x = (x1 , x2 , . . . , xn ) выборки~ порождает соответствующую реализацию эмпирической функцииXраспределения (по той же формуле (11.1)), которая является обычной (ане случайной) функцией распределения.С помощью вариационного ряда (или его реализации) эмпирическаяфункция распределения может быть построена графически.Эмпирическая функция распределения Fn∗ (t) является выборочныманалогом неизвестной теоретической функции распределения F (t),ее называют также оценкой для F (t).
Выборочным аналогом длятеоретической плотности распределения f (t) является гистограмма,или эмпирическая плотность распределения, которая строится по~ = (X1 , X2 , ..., Xn ) следующим образом.выборке X98Fn∗ (t)611nuX(1)1nuu1nu1nu-X(2) 0 X(i)X(n)tРис. 11.1: Эмпирическая функция распределения Fn∗ (t).Пусть h > 0 — произвольное число.
Разобьем область значенийизучаемой случайной величины (например, всю числовую ось) напромежутки ∆k = [zk−1 , zk ) длины h и построим ступенчатую функциюfn∗ (t), которая на каждом промежутке ∆k принимает постоянное значение,вычисляемое по любой из формул:n{количество Xi : Xi ∈ ∆k }1 Xνk=I(Xi ∈ ∆k ) =, t ∈ ∆k ,nhnh i=1nh(11.2)где νk - число элементов выборки, попавших в промежуток ∆k .
Такпостроенная функция называется гистограммой с шагом h и имеетграфик, изображенный на рис. 11.2. Заметим, что площадь каждогопрямоугольника гистограммы равна νnk , то есть частоте попадания всоответствующий интервал ∆k .Иногда шаг гистограммы h выбирают следующим образом. Сначаларасчитывают число интервалов K по формуле Стеджесаfn∗ (t) =K = [log2 n] + 1.(11.3)Здесь n — объем выборки, [·] — целая часть числа.
Потом длинаинтервала расчитывается по формулеh=X(n) − X(1).KПри построении гистограммы последний промежуток выбираетсязамкнутым: ∆K = [zK−1 ; zK ]. Величину X(n) − X(1) = max{Xi } − min{Xi }называют размахом выборки.99fn∗ (t)6νknhν2nhν1nhν1nz00νknν2nz1z2zk−1-zktРис. 11.2: Гистограмма fn∗ (t).В некоторых случаях более точной оценкой для плотности,то есть оценкой, более точно аппроксимирующей неизвестнуюплотность распределения, является полигон частот. Это кусочнолинейная ломаная, которая строится из гистограммы путемпоследовательного соединения отрезками прямых середин верхнихоснований прямоугольников, составляющих гистограмму (см. рис. 11.3).fn∗ (t)6νknhν2nhν1nh0ν1nz0νknν2nz1z2zk−1-zkРис.
11.3: Гистограмма и полигон частот.100t§ 11.3.Выборочные моменты~ = (X1 , X2 , ..., Xn ) можно построить эмпирическиеПо выборке X(выборочные) аналоги числовых характеристик распределения. Наиболееупотребительными являются выборочное математическое ожидание, иливыборочное среднее, X, и выборочная дисперсия S 2 :n1XX=Xi ,n i=1n1XS =(Xi − X)2 .n i=12(11.4)Подобно выборочным среднему и дисперсии определяются выборочныемоменты порядка kn1X kXk =X ,n i=1 iкоторые являются эмпирическими аналогами моментов αk = EXik .Пример11.1. Предполагая известными соответствующиетеоретические моменты, доказать, что EX k = αk .Приведенное соотношение означает, что математические ожиданияэмпирических моментов совпадают с соответствующими теоретическимимоментами. Это свойство называется несмещенностью: говорят, чтоэмпирические моменты являются несмещенными оценками длясоответствующих теоретических.Решение.
Из свойств математического ожидания получаем:nEX k = Enn1X k1X1X1Xi =EXik =αk = · nαk = αk .n i=1n i=1n i=1nВ то же время центральные эмпирические моменты являютсясмещенными оценками для своих теоретических аналогов.Отметим, что выборочная дисперсия вычисляется аналогичнодисперсии.Следствие 11.1. S 2 = X 2 − (X)2 .Доказательство.Раскроем скобки в определении S 2 :nnn1X 2XX1XS =Xi − 2Xi +(X)2 = X 2 − 2(X)2 + (X)2 = X 2 − (X)2 .n i=1n i=1n i=12101Вычислим математическое ожидание статистики S 2 :2ES 2 = EX 2 − EX = EX 2 − (EX)2 − DX =n−1DX1 .nИтак, эта оценка является асимптотически несмещенной.Для того, чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, делят S 2n−1на n .Несмещенная выборочная дисперсия — это статистикаS0 2 =Для нее выполнено свойствоnS2.n−1ES0 2 = DX1 .Отметим, что корень из несмещенной выборочной дисперсии S0 неявляется√несмещенной оценкой для стандартного отклонения σX , так как√E Y 6= EY .§ 11.4.Статистики и оценкиЗадача оценивания параметров возникает в ситуации, когдараспределение F не является полностью неизвестным, а известенего математический видF = F (t, θ),содержащий неизвестныйпараметр θ (или несколько, тогда θ - многомерный параметр).~ вычислить приближенноеЗадача состоит в том, чтобы по выборке X~значениеθ∗ (X)для неизвестного параметра, причем сделатьэто в том или ином смысле оптимальным образом.
Это задачаточечного оценивания. Другой подход состоит в построении по выборке~~Xинтервала(θ− (X);θ+ (X)),который накрывает неизвестноезначение параметра θ с заданной (высокой) вероятностью. Этот подход~ θ+ (X))~ называетсяназывается интервальным оцениванием, а (θ− (X);доверительным интервалом.~ ⊂Пусть X= F (t, θ), причем параметр θ может принимать значенияиз множества Θ, которое называется параметрическим множеством.~Будем называть статистикой любую случайную величину вида T (X),которая является функцией только от элементов выборки. Оценкой~параметра θ называется статистика θ̃ = θ̃(X),которая принимаетзначения из параметрического множества Θ.102Оценка θ̃ называется несмещенной оценкой параметра θ, если длялюбого θ ∈ Θ выполненоEθ̃ = θ.(11.5)Договоримся указывать в обозначении статистики объем выборки, еслиэто необходимо подчеркнуть: θ̃ = θ̃n .Оценка θ̃n называется (сильно) состоятельной оценкойпараметра θ, если для любого θ ∈ Θ при n → ∞ имеет местосходимостьп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
