Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика (1275646), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В некоторой степени эту возможностьпредоставляет следующий результат, который мы приводим из [13] бездоказательства.89Теорема10.8. (Берри — Ессен). Пусть X1 , X2 , ..., Xn —независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение.E|X1 |3. ТогдаПусть также EX1 = 0, EX12 = o2 > 0, E|X1 |3 < ∞, ρ =σ3выполняется следующее неравенство Берри — Ессена:!n1 Xρ√sup PXk < x − Φ(x) ≤ A √ ,(10.9)σnnxk=1где Φ(x) — функция распределения стандартного нормального закона.Следствие 10.1. Ошибка, возникающая при использовании теоремыМуавра — Лапласа, оценивается следующим неравенством: ν − npp2 + q 2∆ = sup P √< x − Φ(x) ≤ A √.(10.10)npqnpqxИзвестно, что в качестве константы A можно взять 0,4. Итак, приприменении предельных теорем к схеме Бернулли будем действоватьследующим образом: вычислим максимально возможные погрешности втеоремах Муавра—Лапласа и Пуассона и сравним их.
Еслиp2 + q 2≥ min(np2 , p),0, 4 pnp(1 − p)то будем использовать теорему Пуассона. В противном случае будемиспользовать теорему Муавра—Лапласа.Если в условиях примера 10.2 положить p = 0, 5, то для погрешности∆ можно гарантировать лишь следующую границу:|∆| ≤ min(p, np2 ) = min(0, 5, 50) = 0, 5.Таким образом, использование приближения Пуассона при p = 0, 5недопустимо.Пример 10.2. Проектируется телефонная станция на 300 номеров.Предполагается, что каждый из пользователей, независимо от других,пользуется телефонной связью в среднем одну минуту в час. Какимдолжно быть минимальное число каналов связи, чтобы с вероятностью,не меньшей 90 %, любой вызов не получил бы отказа.90Решение.
Будем рассматривать действия каждого из n = 300абонентов в течение некоторого короткого промежутка времени какнезависимые испытания, а «успехом» будем считать то, что абонентвоспользовался телефонной связью. Вероятность «успеха» по условиюравна p = 1/60. Обозначим через ν число абонентов, воспользовавшихсятелефонной связью за рассматриваемый промежуток времени, т. е. ν —число «успехов» в n независимых испытаниях схемы Бернулли. Тогдавопрос задачи сводится к нахождению минимального натурального числаn0 , удовлетворяющего неравенству:(10.11)P(ν ≤ n0 ) ≥ 0, 9.Чтобы найти такое n0 , выразим левую часть этого неравенства черезn0 и исходные данные задачи, используя приближение Пуассона:P(ν ≤ n0 ) =n0Xn0XPn,p (k) =k=0πk + ∆.(10.12)k=01= 5, а погрешность60используемого приближения Пуассона оценивается неравенством: |∆| ≤min(2p, np2 ) = min(1/30, 1/12) = 0, 033.
Для выполнения неравенства(10.11) необходимо потребовать, чтобы сумма в правой части (10.12)удовлетворяла неравенствуВ нашем случае λ=npn0Xk=0=300 ·πk ≥ 0, 933,страхуясь от возможной ошибки ∆. Вычисляя вероятности по формулеПуассона, при λ = 5 видим, что суммаn0Xk=0πk =n0Xk=0e−λλkk!впервые превышает значение 0,933 при n0 = 9. Стало быть, искомоеминимальное число каналов связи равно n0 = 9.§ 10.4.Решение типовых примеровПример 10.3. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разныхвхода.
Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно91быть в каждом гардеробе для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который онивошли. Предполагается, что зрители приходят: a) парами независимоодна пара от другой; б) поодиночке независимо друг от друга.Доказательство. Приведем решение в условиях б), оставив пунктa) читателю в качестве упражнения. Предположим, что оба входаравноправны в том смысле, что всякий зритель выбирает любой изних с вероятностью 0,5. Выберем какой-нибудь один вход, для которогоподсчитаем требуемое число мест в гардеробе. Будем считать «успехом» то,что очередной пришедший зритель выбрал данный вход. Тогда, если ν естьчисло «успехов» в n = 1000 независимых испытаниях, то ν означает числозрителей, пришедших в театр через данный вход.
Вопрос задачи сводитсяк тому, чтобы найти наименьшее натуральное число K, удовлетворяющеенеравенству:P (ν ≤ K) ≥ 0, 99 ⇐⇒ P (ν > K) ≤ 0, 01.Поскольку с.в. ν принимает лишь целочисленные значения, то P (ν ≤ K) =P (ν < K + 1). Применим к последней вероятности теорему Муавра —Лапласа:K + 1 − npν − np<→ Φ(x),P (ν < K + 1) = P √√npqnpqгдеx=K + 1 − npK + 1 − 1000 · 0, 5K − 499√.= √=√npq1000 · 0, 5 · 0, 55 10По таблицам функции нормального распределения Φ(x) находимтакое x, для которого Φ(x) = 0, 99, и по этому значению x найдемсоответствующее K:x = 2, 33 ⇔√K − 499√= 2, 33 ⇔ K = 499 + 5 10 · 2, 33 ≈ 535, 84.5 10Поскольку K целое число, то следует взять K = 536.Замечание 10.2.
В приведенном решении мы воспользовались тем,что с.в. ν, согласно теореме Муавра — Лапласа, имеет приближеннонормальное распределение. Однако биномиальное распределение B(n, p),которое имеет с.в. ν, может быть приближено распределением ПуассонаΠ(λ), где λ = np, причем возможная ошибка при этом приближении92не превосходит величины ∆ = min(np2 , p), которая в условиях нашегопримера равна∆ = min(1000 · 0, 52 , 0, 5) = min(250; 0, 5) = 0, 5.Ясно, что вычислять вероятность с такой ошибкой не имеет смысла,поэтому приближение Пуассона в данном случае неприменимо.Возвращаясь к примеру 10.3, вычислим оценку возможной ошибки прииспользовании нормального приближения (теоремы Муавра — Лапласа):0, 4p2 + q 20, 52 + 0, 52= 0, 4 p= √ ≈ 0, 013.∆ ≤ 0, 4 √npq10 101000 · 0, 52Как видим, возможная ошибка приемлема для использования данногоприближения.
Однако, если уж быть совсем скрупулезными, следуетзаметить, что полученный при решении примера ответ K = 536обеспечивает оговоренное в примере условие (чтобы все зрители моглираздеться в гардеробе того входа, через который они вошли) не свероятностью 0,99, а лишь с вероятностью 0, 99 − ∆ = 0, 977.Пример10.4. Урожайность куста картофеля равна 0 кг свероятностью 0,1; 1 кг с вероятностью 0,2; 1,5 кг с вероятностью 0,2; 2кг с вероятностью 0,3; 2,5 кг с вероятностью 0,2.
На участке посажено900 кустов.а) В каких пределах с вероятностью 0,95 будет находиться урожай?б) Какое наименьшее количество кустов надо посадить, чтобы свероятностью, не меньшей 0,975 , урожай был не менее тонны?Решение. Обозначим Xk — урожайность k-го куста. Тогда Sn =X1 + X2 + ... + Xn — урожай, полученный с n кустов.
Используя данное вусловии задачи распределение с.в. Xk , найдем ее моменты:EXk = 0 · 0, 1 + 1 · 0, 2 + 1, 5 · 0, 2 + 2 · 0, 3 + 2, 5 · 0, 2 = 1, 6;DXk = EXk2 − (EXk )2 = 1 · 0, 2 + 1, 52 · 0, 2 + 22 · 0, 3 + 2, 52 · 0, 2 − 1, 62 = 0, 54.а) Нужно найти x1 < x2 , такие,что P(x1 ≤ Sn ≤ x2 ) = 0, 95 при n =900. Такая задача, однако, не решается однозначно (два неизвестных приодном уравнении).
Поэтому, в качестве границ, между которыми окажетсязначение Sn , обычно выбирают границы промежутка, симметричногоотносительно математического ожидания ESn . Таким образом, нужнонайти такое l > 0, для которогоP(ESn − l ≤ Sn ≤ ESn + l) = 0, 95.93Преобразуем левую часть этого уравнения к виду, удобному дляприменения центральной предельной теоремы.P(ESn − l ≤ Sn ≤ ESn + l) = P (−l ≤ Sn − na ≤ l) =lSn − nalll√√≤ √≈Φ−Φ − √, (10.13)=P − √ ≤σ nσ nσ nσ nσ np√где a = Eξk = 1, 6; σ = Dξk = 0, 54.
В силу (10.13), будем искатьтакое x = σ√l n , для которого (см. (10.13))Φ(x) − Φ(−x) = 2Φ(x) − 1 = 0, 95 ⇐⇒ Φ(x) = 0, 975,а затем найдем l. Для этого воспользуемся таблицей значений функциираспределения стандартного нормального закона Φ(x) (см. приложение вконце книги), откуда найдем x = 1, 96, при котором Φ(x) = 0, 975. Тогдаp√l = xσ n = 1, 96 · 0, 54 · 900 ≈ 43, 2.Учитывая значение ESn = na = 900 · 1, 6 = 1440, из (10.13) окончательнополучаем:P(1440 − 43 ≤ Sn ≤ 1440 + 43) = P(1397 ≤ Sn ≤ 1483) ≈ 0, 95.б) В данном случае неизвестно n, и его нужно найти из условия:P(Sn ≥ 1000) ≥ 0, 975.Эквивалентными преобразованиями приведем левую часть этогонеравенства к виду, удобному для применения центральной предельнойтеоремы:Sn − na1000 − na√√P(Sn ≥ 1000) = P≥=σ nσ nSn − na1000 − na1000 − na√√√=1−P<≈ 1 − Φ(x), x =.σ nσ nσ nБудем искать x, при котором 1 − Φ(x) ≥ 0, 975 или (см.
(??)) Φ(−x) ≥0, 975. Обратившись к таблице значений Φ(x), находим, что1000 − na√≥ 1, 96 ⇐⇒σ n√√⇐⇒ na − 1000 ≥ 1, 96σ n ⇐⇒ na − 1, 96σ n − 1000 ≥ 0.Φ(−x) ≥ 0, 975 ⇐⇒ −x ≥ 1, 96 ⇐⇒ −94Учитывая, что√ a > 0,относительно n > 0 :√1, 96 σ +n≥решаем последнее квадратное неравенствоp1, 962 σ2 + 4000a⇐⇒ n ≥2a1, 96 σ +!2p1, 962σ2 + 4000a.2aПодставляя в последнее неравенство значения a = 1, 6 и σ =находим окончательно n ≥ 648.▽§ 10.5.√0, 54,Задачи для самостоятельного решения10.1 Игрок в каждой игре (независимо от результатов других игр)выигрывает 80 рублей с вероятностью 0,1, проигрывает 20 рублей свероятностью 0,9. Найти, к какой величине сходится средний выигрыш заn игр при n → ∞.10.2 Пусть X1 , X2 , .
. . — случайные числа, то есть независимыеслучайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке от0 до 1. Найти пределы п. н. следующих выражений при n → ∞:111X1 2 + . . . + Xn 2a);в)+ ... +;nn 1 + X11 + XnpX1 2 + . . . + Xn 22б);г) arctg(X1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
