лаба5.3 (2) (1274775)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Задача 5.3.

Задача

Найти точки минимума и максимума многочлена Лагранжа L_N(x) из задачи 5.2 с точностью ε методом бисекции.

Теория

Точка называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность этой точки Ů, что для всех xϵŮ выполняется неравенствоƒ( )<ƒ(x). В случае если это неравенство справедливо для всей области определения функции, то называется точкой глобального минимума, а значение функции в этой точке наименьшим.

Точка называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность этой точки Ů, что для всех xϵŮ выполняется неравенствоƒ( )>ƒ(x). В случае если это неравенство справедливо для всей области определения функции, то называется точкой глобального максимума, а значение функции в этой точке наибольшим.

Задача минимизации функции состоит в нахождении точек минимума функции и проводится в 2 этапа:

1. Локализация точек минимума.

2. Нахождение точки минимума на локализованном отрезке.

Функция y = ƒ(x), определённая на отрезке [a;b], называется унимодальной на этом отрезке, если на этом отрезке содержится единственная точка такая, что для любого xϵ[a;b] при x< строго убывает, а при x> строго возрастает. В случае, если точка локального максимума, то при x< ƒ(x) строго возрастает, а при x> строго убывает.

Предложение 1 (для случая точки минимума - min): Пусть ƒ(x) - унимодальная функция на [a;b] и на [a;b] выбраны точки α и β: a < α < β <b тогда:

1. Если ƒ(α)<ƒ(β), то ϵ[a; β].

2. Если ƒ(α)>ƒ(β), то ϵ[α; b].

Предложение 2 (для случая точки максимума - max): Пусть ƒ(x) - унимодальная функция на [a;b] и на [a;b] выбраны точки α и β: a < α < β <b тогда:

1. Если ƒ(α)>ƒ(β), то ϵ[a; β].

2. Если ƒ(α)<ƒ(β), то ϵ[α; b].

Пусть для решения поставленной задачи последовательно вычисляются значения функции ƒ в N пробных точках x₁, x₂,…,x_N, причём для определения каждой из точек можно использовать информацию о значениях функции во всех предыдущих точках. Соответствующие методы называются методами последовательного поиска. Одним из таких методов является метод деления отрезка пополам.

Метод деления отрезка пополам – это метод последовательного поиска точки минимума или максимума функции на данном отрезке, для реализации которого используется предложение 1 в случае точки минимума (и предложение 2 в случае точки максимума), а границы очередного отрезка локализации [a; β] искомой точки определяются по следующему правилу:

При этом (в случае точки минимума) если ƒ( )<ƒ( ), то

в противном случае:

В первом случае за очередное приближение к точке минимума принимают

, а во втором случае . (Аналогично для max)

При этом (в случае точки максимума) если ƒ( )>ƒ( ), то

в противном случае:

Критерием окончания итерационного процесса служит сравнение длины очередного отрезка локализации с заданной точностью ε, то есть . Очередное значение длины вычисляется по формуле , где δ – параметр метода (γ<δ< ε/2, где γ – радиус интервала неопределённости).

Решение

Используем график из прошлой задачи.

Отрезки локализации искомых точек: [-1;0] – отрезок локализации точки минимума многочлена Лагранжа, точек максимума не оказалось.

В задаче 5.2 был построен многочлен Лагранжа 4ей степени. Тогда аналитическое выражение для него имеет следующий вид( через процедуру Tabliza из задачи 5.2 составляем таблицу 5 точек):

Была составлена программа MetodBis в PascalABC, которая воспроизводит алгоритм деления отрезка пополам и ищет минимум.

PROGRAM MetodBis;

TYPE

PRTYPE=function(XT:real):real;

VAR

a,b,Min,EPS,del:real;

FUNCTION LAGRANGE(XT:real):real;

Begin

LAGRANGE:=(1.168)*(XT)*(XT+1)*(XT-1/2)*(XT-1)-(1.5)*(XT)*(XT+1)*(XT+1/2)*(XT-1)+(4/3)*(XT)*(XT+1)*(XT+1/2)*(XT-1/2)

End;

FUNCTION MinPoisk(a,b,EPS,del:real;LAN:PRTYPE):real;

Var

k:integer;

MinEx,al,c,M,AB:real;

Begin

AB:=b-a;

M:=AB;

k:=0;

REPEAT

al:=(a+b)/2-del;

c:=(a+b)/2+del;

IF LAN(al)<LAN(c) THEN

begin

b:=c;

MinEx:=c

end

ELSE

begin

a:=al;

MinEx:=al

end;

k:=k+1;

M:=(AB-2*del)/exp(k*ln(2))+2*del

UNTIL M<=EPS;

MinPoisk:=MinEx

End;

BEGIN

a:=-1;

b:=0;

EPS:=0.0001;

del:=EPS/4;

Min:=MinPoisk(a,b,EPS,del,LAGRANGE);

writeln('Min= ',Min)

END.

В результате программа выдала: Min= -0.6301

Отдельно для проверки, я сделала процедуру, которая вычисляет максимум функции. В основную программу были внесены небольшие изменения:

FUNCTION MaxPoisk(a,b,EPS,del:real;LAN:PRTYPE):real;

Var

k:integer;

MaxEx,al,c,M,AB:real;

Begin

AB:=b-a;

M:=AB;

k:=0;

REPEAT

al:=(a+b)/2-del;

c:=(a+b)/2+del;

IF L(al)>L(c) THEN

begin

b:=c;

MaxEx:=c

end

ELSE

begin

a:=al;

MaxEx:=al

end;

k:=k+1;

M:=(AB-2*del)/exp(k*ln(2))+2*del

UNTIL M<=EPS;

MaxPoisk:=MaxEx

End;

Результат Max= 1.000

Изначально, я не придала этой точке внимания, т.к. на ней заканчивается график.

Ответ:

Методом бисекции были найдены экстремумы функции, минимум и максимум, многочлена Лагранжа с точностью ε=0.0001: Max= 1.000 Min= -0.6301.

Самое сложное и важное в этой задаче, была задача параметра δ. Он должен быть меньше заданного значения точности в 2 раза (меньше 0.00005), чтобы программа работала. Но дельта должно быть больше интервала неопределенности, который создается из-за погрешности арифметических действий ЭВМ. Я попробовала взять δ=EPS/2,EPS/4 и EPS/6. Программа на Паскале никак не отреагировала, значит, можно было взять любое из этих значений.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лабораторной работы