Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

Здесь и - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; - матрица-столбец источников внешних воздействий; - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; - квадратная размерностью n x n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов – n); - прямоугольная размерностью к x m матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений (0).

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи и .

По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

Поскольку с учетом соотношения (6) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

или в матричной форме записи

.

А

В

Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (6):

.

С

D

Вектор начальных значений (0)= .

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,б), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,б).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1. Таблица соединений

Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму.

В рассматриваемом случае (равенство тривиально)

,

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

.

При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

.

Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.

Избирательные (резонансные) цепи

Одной из основных задач радиотехники является осуществление частотной избирательности (селективности) радиотехнических устройств.

В общем случае в любой приемной антенне возбуждается одновременно множество э. д. с. различных частот, излучаемых передающими станциями, а также источниками промышленных и атмосферных помех.

Радиоприемное устройство должно на фоне всех сигналов выделить один нужный сигнал (рис.48).

Рис.48

На рис.48, а изображена шкала частот, на которой прямоугольниками обозначены области частот с центральными частотами, отведенными для работы каждого источника сигнала. Амплитуды колебаний всех источников будем считать одинаковыми.

Для выделения одного из сигналов приемное устройство должно иметь частотную характеристику вида (рис.48, б). Приемное устройство пропускает только частоты, лежащие внутри полосы . Если, например, полоса частот совпадает с , приемное устройство выбирает из всех воздействующих на нее колебаний лишь колебания третьего источника. При идеальной характеристике (рис.48, б) воздействие всех остальных источников не вызывает никаких откликов.

Для того, чтобы иметь возможность настраиваться на различные сигналы необходимо передвигать полосу вдоль шкалы частот.

Реализовать цепи, имеющие частотную характеристику прямоугольной формы (рис.48, б), практически не представляется возможным, удается лишь в известной степени (рис.48, в) приблизиться к подобному виду характеристики, используя для этого избирательные (резонансные) цепи.

1.Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений

Последовательным колебательным контуром называется цепь, составленная из последовательно соединенных индуктивности, ёмкости и активного сопротивления, характеризующего потери в реактивных элементах (рис.49).

При воздействии гармонической

э. д. с.

ток в контуре ,

где

Рис. 49 ,

, , , .

Активную составляющую входного сопротивления R можно приближенно считать не зависящей от частоты генератора. Реактивная составляющая является функцией частоты и в зависимости от величины L, C, и изменяется по величине и знаку (рис.50).

Рис.50

В зависимости от соотношения величин индуктивного и емкостного сопротивлений возможны три случая:

а) , X > 0, реактивная составляющая имеет индуктивный характер, ток в контуре отстает от входного напряжения (рис.51, а).

а б в

Рис.51

б) , X < 0, реактивная составляющая имеет емкостный характер, ток в контуре опережает входное напряжение (рис.51, б).

в) , X = 0, напряжение и ток в контуре совпадают по фазе (рис.51, в), этот режим цепи называется резонансом напряжений.

1.1. При заданных L и С резонанс наступает на частоте

,

которая называется резонансной частотой колебательного контура.

Входное сопротивление контура в этом случае

, ток в цепи .

Напряжения на реактивных элементах

, , ,

,

где характеристическое или волновое сопротивление контура.

Поскольку , то , отсюда и происходит название резонанс напряжений.

Величина добротность контура,

затухание.

Энергетические соотношения в колебательном контуре

Пусть колебательный контур работает на резонансной частоте , тогда .

Если в контуре протекает ток , то напряжение на конденсаторе отстает от тока на и равно .

Мгновенное значение энергии магнитного и электрического полей, связанных с индуктивностью и емкостью контура:

,

.

Временные диаграммы тока, напряжения на конденсаторе и мгновенных значений и приведены на рис.52.

Рис.52

Поскольку

,

то , т. е. максимально запасаемые в электрическом и магнитном полях количества энергии равны между собой.

Таким образом, при резонансе происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей с частотой , причем суммарная энергия остается неизменной:

.

Энергия, первоначально внесенная в контур при подключении его к источнику, совершает колебания в режиме резонанса между L и C без участия в этом процессе источника, поэтому контур называется колебательным.

Наряду с периодическим обменом энергии между L и C в цепи происходят потери энергии в активном сопротивлении R.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)