Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Сравнивая качество декодирования мягких и жестких решений, отметим, что разница, получаемая от верхних границ примерно 2, 5 дБ для 1О ' < Р, < 10 '-. В заключение мы хотим напомнить, что средняя по ансамблю вероятность ошибки для сверточного кода в дискретном канале без памяти, так же как в случае блокового кода, можно выразить через предельную скорость ЯО (доказательство см. Витерби и Омура, 1979) о О где д — число входных символов канала, 14 — кодовое ограничение, Ь', — скорость кода, 11„— предельная скорость, определенная в разделе 7.2 и 8.1.
Заключения, полученные путем вычисления 11О для различных условий в канале, применимы как к блоковым, так и сверточным кодам. нг' 1О' г о, 1ОО 5 о 2 о Шч о. й3 1О 5 О 2 4 6 Я 1О 12 ОСШ набих 2 ОБ Рнс. 8.2.15. Сравнение дексднровшня мягких н жестких решений дая с асрточно го кеда с К=3, ~=1, и — 3 8.2.5. Дистанционные характеристики двоичных сверточных иодов В этом подразделе мы хотим свести в таблицу минимальные свободные расстояния и :,'пнераторы для нескольких сверточных кодов с малыми кодовыми ограничениями и для нескольких скоростей кода. Эти двоичные коды оптимальны в том смысле, что прв: заданным, скорости кода и кодовому ограничению, они имеют наибольше возможное г! Генераторы и соответствующие значения И„, табулированные ниже„были получены Оденвальдером (1970), Ларсеном (1973), Пааске (1974) и Даугом н др.
(1982) посредствон: компьютерных методов исследования. Хеллер (1968) нашел относительно простую верхнюю границу для минимальноп)' свободного расстояния для сверточного кода со скоростью 1/и, Она определяется как >-> Г!> < пи'п,, (К+! — 1)и, 64 ~2' ' — 1 (8.2 35) где (.т3 означает наибольшее целое, содержащееся в т. С целью сравнения эта верхняя; граница также дана в таблицах для скорости кода 1/и.
Для сверточных кодов со скоростью Ф/>! Даут и др. (1982) дали модификацию границы Хеллера. Значения, полученные, посредством этой верхней границы для кодов со скоростью !Г/!1, также табулированы. В таблицах 8.2 1 — 8.2.7 даны параметры сверточных кодов, имеющих скорость 1/н прв и — 2,3, ...,8. В таблицах 8.2.8 — 8.2.11 даны параметры сверточных кодов, имеющих: скорость !г/и для я < 4, и<8.
Табл. 8.2.1. Максньп>льпас свободное расстагпше кодов со скоростью 1!2 Кодовое оггиннчснис К Пора>вяз>оно>с палннаиы в ваське нчной запнсн Верхняя граница для >!. Источннкн' О>!еян а1>!ег (1970) и 1.огнен (1973) Табл. 8.2.2. Макспьильиос свободное расстояние колов со скоростью 1!3 Порождаю>ппс полнноыы в ваське нчнон записи Кодовос о аннчсннс К >1„Верхняя грани>о> для >1 8 10 12 13 15 16 18 20 22 24 24 26 Истачннкн: О>!ело о!>!ег (1970) н !.огяеп (1973) 422 3 4 Г> 7 8 9 1О 11 12 13 14 4 6 7 8 9 10 !1 12 !3 14 13 25 47 133 225 557 1. 117 2.353 4.767 10.533 21.645 15 23 53 133 247 561 1.
167 2.335 4.335 10.533 21 675 7 15 33 53 !45 331 663 1.365 2.Г>71 5.723 10.675 35 ОГ1 7 17 35 75 171 371 753 !.545 3.661 5.723 17,661 27.123 7 17 37 75 175 367 711 1.633 3. 175 Г> 265 17.661 37.133 8 10 12 13 15 16 18 20 22 24 24 26 6 7 8 10 1О 12 12 14 15 16 16 6 8 8 10 11 12 13 14 !5 16 17 Табл. 8.2.3. Максггмальиое свободное расстовнпе >годов со скоростью 1/4 )Еагаии (1973)) Вериная граница для >/.
Пороящающие починомьг в восьме ичной записи Кодовое о аниченнеК Табл.8.2.4 Максимальное свободное расстоинвс кодов со скоростью 1/5 !Оаи/ и др. (1982)) .Вериная анина для г/ Порождающие полиномы в ваське ичной записи Кодовое о аиичение К 7 5 5 13 !3 13 15 15 16 16 33 25 35 20 20 73 65 57 22 22 135 135 147 25 >з 323 271 357 28 28 7 17 27 71 131 233 7 17 37 75 175 257 3 4 6 7 8 Табл. 8.2.5. Максныалыюе свободное расстоивпе кодов со скоростью! К> 10аиг и др.
(1982)) Вериная граница г/ для г/ Порождающие полиномы в восьме ичной записи Кодовое о аничениеК 16 1Г> 13 20 20 15 27 24 24 35 55 27 27 57 135 30 30 П7 331 34 34 357 4 5 Табл. 8.2.6. Максимальное свободное расстои~пе кодов со скоростью 1/7 10аиг и др. (1982)) Кодовое ог лничениеК Вериная граница для г/ Порождающие полиномы в восыие ичной записи 7 7 7 5 5 5 !7 17 13 13 15 15 35 27 25 33 35 37 53 75 65 47 67 57 165 145 173 135 147 137 275 253 375 235 313 357 П 28 75 32 135 36 40 331 4'> 3 4 5 6 7 8 9 10 11 !2 13 14 5 13 25 53 135 235 463 1.1!7 2.387 4,767 11.
145 21. 113 7 7 17 13 37 33 73 65 173 135 253 235 7 15 33 53 145 331 663 1.365 2.671 5,723 . 17.Г>61 37.133 7 5 17 15 35 25 75 47 151 163 375 313 7 !5 33 53 !45 331 663 1.365 2.Г>7! 5, 723 17.661 37.133 7 15 33 53 145 331 663 1.365 2.671 5.723 17.661 37.133 10 13 16 18 20 22 24 27 29 32 ЗЗ 36 1О 15 16 18 20 22 24 27 29 32 ЗЗ 36 Табл, 8.2.7, Макс>>мзльйое свободное расстонпие колов со скюростью 1/8 Кодовое о винченце К Порождающие полиномы в восьме ичной записи Верзила граница дда с/ 21 2Г> 32 32 40 40 Табл.
8.2.8. Максимальное свобод>>ое расстоиппс кодов со скоростью 2/3 Кодовое о винченце К Порсокдающие полнномы в иссыке ичной записи с/ Веркюи граница для с/,„ 17 06 15 3 4 27 75 72 5 Г 23Г> 155 337 7 7 Табл. 8.2.9. Максимальное свободное расстонппе кодов со скороспио /с/5 Всркюа граница дла с/„.„ Порождающие полнномы в зоське ичной записи Кодовое Скорость о аничение К 2/5 2 17 07 04 6 6 3 27 71 57 1О !О 4 247 366 373 12 12 2 35 23 47 5 5 2 237 274 337 3 4 11 12 52 65 171 266 75 61 156 255 3/5 4/5 Табл. 3.2.10. Максималыюе свободное расстоиппс коде> со скоростью А(7 Порождающие полиномы с/,„Веркнаа грзиипд длз с(„ в восьме ичной записи Кодовое Скорость о нянчение 05 06 12 !5 9 15 13 17 33 55 72 47 14 25 53 75 312 125 247 366 18 171 266 373 45 21 36 62 3 57 43 71 130 067 237 274 6 156 255 337 с) !4 3/7 4/7 Табл.
3.2.11. Максималы>ое свободное расстонипе кодов со скоростью 3/4 и 3/8 Порождающие полиномы Веркюи граница в восьме ичной записи для сс Кодовое Скорость о аиичение К 13 25 61 47 4 4 15 42 23 61 8 8 51 36 75 47 3/4 3/3 Источник таблиц 8.2.7 — 8.2.11: Зпссг и др. (1932) 7 17 13 37 35 57 75 153 135 275 331 7 7 17 15 33 33 73 47 111 135 275 235 5 7 13 15 25 27 51 67 165 147 253 313 5 7 13 17 25 37 65 57 173 137 371 357 Рис.
8.2. ! б. Кодор даа А-дуалъного дода со скоростью ! /2 2к генераторов функций для к-дуальных кодов были даны Витерби и Джекобсом (1975). Их можно выразить в форме à — 8,-+1 Г! О О ... О 1 О:'О ... О! ! + — 8, — ~ ( ) 0 1 0 ... О 0 1 -' 0 ... 0 ! ! =!.......:. !=~1„Ц ! 1 ! ! +- 8„ -э ~ ~0 0 0 ... 1 0 0 . ' ! ... о ц 0.:1 0 0 О 0 1 0 О'О О ! О 1 1 0 0 0 0 1 0 0 О 0 1 О О 0 0 +8со+ 0 0 0 1 0 0 0 1: 0 0.:0 О О 0: 0,' 0 1:' 0 0.: 0 1 1 0 0 О 1 0 =)о 1о 0 0 1 0 О 0 0 О (8.2.36) где 1„означает я х Й единичную матрицу. 8.2.6. Недвоичные к-дуальные коды и каскадные коды Наше обсуждение сверточных кодов до сих пор было сконцентрировано прежде всего на двоичные коды. Двоичные коды особенно пригодны для каналов в которых возможно использовать двоичную или четверичную ФМ с когерентной демодуляцией Однако имеется много приложений для которых ФМ и когерентная демодуляция не подходит или невозможна.
В этих случаях используется другая техника модуляции, например М-ичная ЧМ, в соединении с некогерентной демодуляцией. Недвоичные коды особенно хорошо согласуются с М-ичными сигналами, которые демодулируются некогерент-но В этом разделе мы опишем класс недвоичных сверточных кодов, называемых 1г-дуальными кодами, которые легко декодируются посредством алгоритма Витерби, используя декодирование мягких или жестких решений Они также подходят как внешний код или как внутренний код в каскадном коде, который также будет описан ниже Дуальный /г сверточный кодер со скоростью 1/2 можно представить так, как показано на рисунке (8.2.16). Он состоит из двух (К=2) А-битовых регистров сдвига и !!=21 генераторов функций.
У него два 1г-битовых выхода. Заметим что код, рассмотренный в примере (8.2.3), является 2-дуальным свбрточным кодом. Общая формула для передаточной функции к-дуального кода со скоростью 1/2 была найдена Оденвальдером 1197б).Она выражается так: 1'(В,М„/) =. „, = У а,В'Мгог./"', (8.2.37) (2" — 1)В"./ М ", > 1 — М/ 2 В+ (2" — 3) —.л где В представляет расстояние Хемминга для д-ичных (с/ = 2') символов, показатель /'1/) для М представляет число ошибок в информационных символах, которые имеют место при выборе ветви на дереве или в решетке, отличающейся от соответствующих ветвей пути из одних нулей, показатель Ь(/) для / равен числу ветвей для данного пути.
Заметим, чта минимальное свободное расстояние равно И,„= 4 символам (4к битам) Низкоскоростные к-дуальные свертачные коды можно генерировать различными путями, простейший сводится к повторению каждого символа, генерированного кодом со скоростью 1/2, г раз, где г = 1, 2, ..., и /г =1 соответствует появлению каждого символа один раз). Если каждый символ в частной ветви дерева или решетки или диаграммы состояний повторяется г раз, то увеличивается параметр расстояний от В до В'. Следовательно, передаточные функции для к -дуальнога кода со скоростью 1/2г равна /(В, М,./)— 1 — М/[2В' +(2" — 3)В ' ~ /8.2.38) При передаче длинных информационных последовательностей параметр длина пути ./ в передаточной функции можно подавить, положив ./ =! . Результирующую передаточную функцию /(В, М) можно дифференцировать по М и положить затем М=1.Это дает ,гг1од,.г г' — ~ гг" [1 — 2В" — (2" — 3)В '1 где 13, представляет число ошибок в символах, связанных с путем имеющим расстояние В' от пути с одними нулями, как было описано ранее в разделе 18.2.3) Выражение /8.2.3.1 можно использовать для расчета вероятности ошибки для я -дуальных кодов при различных условиях в канале.
Качество /'-дуяльных кодов с Л/-инной модуляцией. Предположим, что к-дуальный код используется в соединении с Л/-ичными ортогональными сигналами в модуляторе, где Л/ — 2". Каждый символ кодера отображается в один из И возможных ортогональных сигналов. Считается, что в канале действует АБГШ. Демодулятор состоит из Л/ согласованных фильтров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
