Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 85
Текст из файла (страница 85)
! 8.2.3. Вероятность ошибки при декодирования мягких решений Тема этого подраздела — качество алгоритма Витерби в канале с АБГШ при декодировании мягких решений. При расчете вероятности ошибки для сверточных кодов для упрощения расчетов используются линейные свойства этого класса кодов. Это значит, что мы предполагаем, что передается последовательность из одних нулей и мы определяем вероятность ошибки при решении в пользу другой последовательности. Считается. что кодированные двоичные символы в 1-й ветви свбрточного кода, обозначенные как (с,„„т = 1, 2, ...,л) и определенные в разделе 8.2.2, передаются по каналу двоичной ФМ (илн четырехпозиционной ФМ) и детектируется когерентно в демодуляторе.
На выходе демодулятора, который соединен со входом декодера Витерби, образуется последовательность (геп т = 1, 2, ...,и; 1' = 1, 2, ...), где г, определено (8.2.9). Декодер Витерби мягких решений формирует метрики ветвей, определенные (8.2.14), и по ним рассчитываются метрики путей (8.2.16) где ! означает один из конкурирующих путей в каждом узле, а  — это число ветвей (информационных символов) в одном пути. Например, пугь из одних нулей, обозначенньш 1=0, имеет метрику пути (8.2 Поскольку сверточный код не обязательно имеет фиксированную длину, мы определе!и его качество через вероятность ошибки для последовательности, которая первая сливается с последовательностью из одних нулей в узле решетки. В частности, мы определим вероятность первого пересечения другого пути в узле В с пугем из одних нулей, как ' прп фиксированной задержке модвфз!клцпк алгоритма Витерби используют правило приема в целом с позземептпым рсшсппеы (ПЦПР), которое совместно с обр!!тпой связью по решению состлвляют основу алгоритма Кловского-Николаева (АКН) (прп).
416 вероятность того, что этот путь имеет метрику, которая превосходит метрику пути из одних нулей первый раз. Предположим, что неправильный путь, отметим его Р'=1, который сливается с путем из одних нулей, отличается от пути из одних нулей на Н бита, то есть в пути 1=1 имеются И единиц, а остальные элементы — нули. Вероятность ошибки при сравнении матриц СМ~ч и СМго равна РВЫ =ИСМо >СМ") = Р(СМ'"-СМ~" >0), В л ~ул)= гКК ),"!- '") о]. г=г лг=г (8.2.18) Поскольку кодированные символы в двух путях одинаковы, за исключением д позиций, можно (8 2.18) записать в более простой форме (8.2.1 9) РЫ= О(~ л)=.01лРгг,лл г).
(8.2.20) где у, — ВВ/Ƅ— ОСШ на бит принимаемого сигнала, а й — скорость кода. Хотя мы определилн вероятность первого пересечения пути, который в с1 позициях отличается от пути из одних нулей, имеется много возможных путей с различными расстояниями. которые сливаются с путем из одних нулей в узле В. Действительно, передаточная функция 710) дает полное описание всех возможных путей, которые пересекаются(сливаются) с путем из одних нулей в узле В, а также их расстояний. Поэтому мы можем суммировать вероятность ошибки (8.2.20) по всем возможным расстояниям путей.
Выполнив такое суммирование, мы получаем верхнюю границу для вероятности ошибки первого пересечения в виде- !гл< ~~> а„РВ(4> ~Р аф,~2у~ЯД (8.2.21) где а„означает число путей с расстоянием Н от пути из одних нулей, которые дает первое пересечение с путбм из одних нулей. Имеются два соображения, почему (8.2.21) является верхней границей вероятности ошибки первого пересечения.
Первое — это то, что события, которые определякп вероятности ошибок (Р(о)), совместные. Это можно видеть из рассмотрения решетки. Второе — при суммировании по всем возможным д > д„мы безоговорочно предполагаем, что сверточный код имеет неограниченную длину. Если код повторяется периодически после В узлов, верхнюю границу в (8.2.21) можно улучшить путем суммирования ошибочных событий по д,„~И< В.
Эта тонкость имеет некоторое достоинство при определении качества коротких сверточных кодов, но ее влияние на качество пренебрежимо, когда В велико. 27 — 56 где индекс / пробегает по набору из г~ позиций символов, в которых два пути отличаются, а набор (гг) представляет вход декодера по этим символам. Слагаемые (Р)) представляют собой независимые и одинаково распределенные случайные гауссовские величины со средним — ~8; и дисперсией —,Л1„. Следовательно, вероятность ошибки при попарном сравнении этих двух путей, которые отличаются в Р»' позициях, равна Верхнюю границу в (3.2.21) можно выразить в несколько другой форме, если учесть верхнюю экспоненциальную границу для 0-функции: 0(,~2у„Я„(3~ < е и"'~ — О" ~ „ (8.2.22) Если использовать (8.2.22) в (8.2.21), верхняя граница для вероятности ошибки первого пересечения выражается так; (8.2.23) Т(77,М)= Ха,0кМ' ", (3.2.24) где Яд) означает показатель М как функция от И.
Взяв производную от 7(О,М) по М и положив затем М вЂ” 1, мы получим (8.2 25) где 11,, -а Дс7). Таким образом, вероятность ошибки на бит при Ф вЂ” 1 ограничена сверху: Р, <,~> Д 1',(сУ) < ~> Р О~ /27,1~,хУ). (8.2.2б) Если 0-функцию ограничить сверху экспонентой, как указано в (8.2.22), тогда (8.2.2б) можно выразить в простой форме (3.2.27) Хотя вероятность ошибки при первом пересечении дает меру качества сверточного кода, более часто используемой мерой качества является вероятность ошибки на бит, Для этой вероятности можно получить верхнюю границу посредством процедуры, использованной для получения верхней границы вероятности ошибки при первом пересечении.
Подробнее, мы знаем, что, когда выбирается неправильный путь, информационные символы, по которым отобранный путь отличается от правильного пути, будут декодированы неправильно. Мы также знаем, что показатель в множителе М, содержащийся в передаточной функции Т(0, М), указывает на число ошибок по информационным символам (число «1») при выборе неправильного пути, который сливается с путем из одних нулей в одном и том же узле 8. Если мы умнояп1м вероятность ошибки двоичного перехода Р„(а) на число неправильно декодированных информационных символов в неправильном пугп у узла, где он пересекается с правильным, мы получим вероятность ошибки на бит для этого пугн. Средняя вероятность ошибки на бнт ограничена сверху путем умножения каждой парной вероятности ошибки !',(Ы) на соответствующее число неправильно декодированных информационных символов, для каждого возможного неправильного пути, который сливается с правильным путем у В-го узла, и суммированием по всем И.
Подходящие множители для умножения, соответствующие числу ошибок по информационным символам для каждого неправильно выбранного пути можно получить дифференцирования Т(В,М) по М. В-общем Т(О,М) можно выразитьтак Р„, ~;~ ~„Рз(/). Вероятность ошибки символа можно превратить в эквивалентную вероятность ошибки на бит. Для примера, если используются 2" ортогональных сигналов для передачи 1-битовых символов, эквивалентная вероятность ошибки на бит равна /;„умноженной на множитель 2 /12 — 1), как указано в главе 5.
/ г 8.2.4. Вероятность ошибки при декодировании жестких решений Теперь рассмотрим качество, достижимое алгоритмом декодирования Витерби в двоичном симметричном канале. При декодировании жестких решений сверточного кода метрики для алгоритма Витерби являются расстояния Хемминга между принимаемой А.(А-11 последовательностью и 2 выжившими последовательностями в каждом узле решетки.
Как при нашей трактовки декодирования мягких решений, мы начнем с расчета вероятности первого ошибочного события. Считается, что передается путь из одних нулей. Предположим, что путь, который сравнивается с путем из одних нулей в некотором узле В, имеет расстояние И относительно луги из одних нулей. Если Ы нечетно, путь из одних нулей будет выбран без ошибок, если число ошибок в принимаемой последовательности меньше, чем, (д+ 1); в противном случае будет выбран неправильный путь.
Следовательно, вероятность выбора неправильного нуги равна Р.1«7= 2. Ии'11-Р1, (8.2.28) где р — вероятность ошибочного приема символа в двоичном симметричном канале. Если 1 четно, то неправильный пугь выбирается, когда число ошибок превышает Ы. Если число ошибок равно, И, то имеется связь между метриками двух путей, которую можно х 27~ 419 Если Ф>1, эквивалентная вероятность ошибки на бит получается путем деления (8.226) и (8.2.27) на А. Выражения для вероятности ошибки, данные выше, базируются на предположении, что кодовые символы передаются двоичной ФМ при когерентном приеме. Результаты для Рь также верны для четырехфазной когерентной ФМ, поскольку эта техника модуляции/демодуляции эквивалентна двум независимым (квадратурным по фазе) двоичным системам ФМ.
Ддя другой техники модуляции и демодуляции, такая как когерентная и некогерентная ЧМ, результаты можно приспособить путем пересчета парной вероятности ошибки Р,(4. Эго значит, что выбор техники модуляции и демодуляции, использованной для передачи кодированной информационной последовательности, влияет только на расчет Р„(а~) . Расчет /'„остается тем же. Хотя приведенные выше расчеты вероятности ошибки при декодировании по Витербн сверточного кода применимы для двоичных сверточных кодов, относительно легко обобщить их на недвоичные сверточные коды, в котором каждый недвоичный символ отображается различным сигналом. В частности, коэффициенты ф,) в выражении производной Т(0, М), даваемые (8.2.25), представляют число ошибок в символах в двух пугях, разделенных расстоянием(числом символов) в с/ символов.
Снова мы обозначим вероятность ошибки при парном сравнении двух путей, которые разделены расстоянием И, через Р,(с/). Тогда вероятность ошибки символа, для к — битового символа, ограничена сверху Чернова (8.2.24) хуже на 1 дБ относительно плотной верхней границы (8.2.33) в соединении с (8.2.28) и (8.2.29). Преимущество границы Чернова — простота вычислений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
