Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Мы видим, что две границы для декодирования мягких решений отличаются ю' Ъ примерно на 0,5 дБ при Р„, = 10 ' и примерно на 5 Дскпдпрпяаггс мдхгкпк рсшс пап ! дБ при Р„= 10 . Мы также видим, что — -- Дспаппрпвапа разница в качестве декодирования жестких и а мягких рспю~пй мягких решений примерно равна 2 дБ в области 10 ' < Ря, <1О .
В области Р, >10 кривая ° а вероятности ошибки при декодировании с жестким решением пересекает кривые для границ вероятности ошибки при декодировании мягких решений. Такое поведение указывает на грапппа то, что границы для декодирования мягких )й.).50) решений неточные, когда Р„> 1О '. Вс пгяя апх Разница в 2дБ (по ОСШ на бит) между декодированием жестких и мягких решений применима не только для кода Голея, но является фундаментальным результатом, который применим в общем к кодированию в системах цифровой связи в каналах с АБГШ. Зтот результат получен ниже при расчете пропускной способности канала с АБП11 при декодировании жестких и мягких решений.
Пропускная способность ДСК в битах/символ, полученная в разделе 7.1.2, равна С=1+Р108, р+(1 — р)108,(1 — Р), (8.1.93) где вероятность ошибочного приема двоичного элемента р при использовании когерентной ФМ в канале с АБГШ определяется (8.1.13). Предположим, что мы используем (8.1.13) для р, и пусть С= йс в (8.1.93), и тогда определим у,, которое удовлетворяетуравнению, Результат показан на рис. 8.1.14 в форме кривой зависимости Я, от у,. Например, предположим, что мы хотим использовать код со скоростью Ц = а. Для этой скорости кода видим, что минимальное значение ОСШ на бит, требуемое для достижения пропускной способности канала при декодировании жестких решений, равно примерно 1,б дБ Каков предел ОСШ на бит, когда скорость кода стремится к нулю? Для многих значений Л, вероятность р можно аппроксимировать так; Р = з —./Ув1Цк (8.1.94) Если выражение для р подставить в (8,1.93), а логарифм в (8.1.93) аппроксимировать как 3 г) ) 1ойя(1+ х) = (х — ряхк)11п2, формула для пропускной способности канала сводится к 2 гьЛн.
(8. 1. 95) к1п2 Теперь положим С Л,. Тогда, в пределе, когда Л, -+О, получаем результат уь — — г гс1п2 (0,37 дБ). (8.1.96) Пропускную способность канала с АБГШ с двоичным входом при декодировании мягких решений можно вычислить аналогичным образом. В разделе 7.12 мы привели выражение для пропускной способности (в битах на кодовый символ) для этого случая С =2яЯ~ р(у!1т)1ойк ду, рЩ ь-о " р(у) где р(уг1г), х — О, 1, означает ФПЗ для выхода демодулятора при условии, что передан, соответственно, символ 0 или 1. Для канала с АБГШ имеем р(у1г)= г — е ', я 0,1, (8.1.98) 1 2гс ГдЕ гггн лн — Д, Лг, — Д, ая =2МЬ И Ян =1Я. БЕЗуСЛОВНая ПЛОтНОСтЬ ВЕрпятНОСтн р(у) определяется половиной суммы р(у!1) и р(у!О). Поскольку Л стремится к нулю, выражение (8.1.97) для пропускной способности канала можно аппроксимировать формулой (8.1.97) С=уь Л 11п2. (8.1.
99) Из вышеизложенного следует, что в пределе, когда Л, стремится к нулю, разница в ОСШ уь между декодированием жестких и мягких решений равна г х, что приближенно равно 2дБ. С другой стороны, по мере увеличения Л, до единицы, разница в у для двух разновидностей декодирования уменьшается. .го дннлннкнннн« К О а ннлннлрснлнннн Я = о,б " О,4 Я д о О,2 лнлнтннн решений о 2 — ! О ! 2 3 4 5 б Мнннлинлннн ОСШ нн онх тл (яо! Например, при Л. — 0,8 разница примерно равна 1,5 дБ. Кривые на рис. 8.1.14 дают больше информации.
чем только разницу в качестве между декодированием мягких и жестких решений, Эти кривые подробно определяют требуемые значения минимума ОСШ для данной скорости кода. Например, скорость кода Л, = 0,8 может обеспечить сколь угодно малую вероятность ошибки при ОСШ на бит 2 дБ, если используется декодирование мягких решений. Рис. а.!. г4. Сюрость кода как функция минимального ОСШ иа бит при декодировании мягких и гкестких решений Опять предположим С=Л . Таким образом, когда Л,-+О, минимальное значение ОСШ на бит, требуемое для достижения пропускной способности, равно уь =1п2 ( 1,б дБ), (8.1. 100) Используя (8.1.98) в (8.1.97) и положив С = Л.
можно получить численное решение для скорости кода в области ОьЛ,<1. результат этих расчетов также показан на рис. 8.1.14. 2 (8.1. 102) где а,'/Лг, = Л.у„— ОСШ на измерение. Этот результат был получен в разделе 7.2. С другой стороны, если выход демодулятора квантуется на 0 уровней до декодирования, то границу Чернова можно использовать в качестве верхней границы для усредненной по ансамблю вероятностей двоичной ошибки Р2(кнз ), данной в разделе 7.2 Результат такого расчета — та же верхняя граница для Р,, определенная по (8.1.101), но с заменой Л, на Лд, где Я-1 1 2 Лс —— шах — 1оя ~ Яр,.2~РЯ Р) ~-О 2=О (8.1.103) В (8.1 103) (р ) — априорные вероятности двух сигналов на входе канала и (РЯ)) ;;:::: гввначают переходные вероятности канала. Например, для случая ДСК и р, =р =~~, ! 0 2* . Р~О! О) = Р(1 ~ 1) = 1 — р и Р(0~ 1) = Р(1 ~ 0) = р следует Лл —— !о82, Д = 2, 1+ 4р(1-р) (8.1.104) (8.1.
105) Кривые Л в зависимости от 10!8(Ж,/У,) иллюстрируется на рис. 8.1.15 для Я = 2 и ' Д= с0 (декодирование мягких решений). Заметим, что разница в качестве декодирования между неквантованным !,,аекодированием мягких решений и декодированием жестких решений приблизительно '':;яаана 2дБ. Фактически, снова можно легко показать, что при 8,/М,-+0 потеря в ,качестве, обусловленная декодированием жестких решений, равна 1018(я/2)м2дБ, что "':является той же разницей в децибелах, которая была получена в нашем сравнении при Для сравнения заметим, что двоичная ФМ при отсутствии кодирования требует 9,6 дБ для достижения вероятности ошибки 1О .
Следовательно, возможен выигрыш в 7,6 дБ при -5 использовании скорости кода Л, = 2. К сожалению, для достижения такого большого выигрыша за счет кодирования обычно требуется применение очень длинных кодовых блоков, которые ведут к очень сложному приемнику. Тем не менее, кривые рис. 8.1.14 дают оценку для сравнения выигрыша кодирования, достигаемого практически реализуемыми кодами с основными ограничениями при декодировании мягких или жестких решений. Вместо сравнения различия между декодированием жестких и мягких решений, основанного на соотношениях пропускной способности канала, мы можем делать такие же простые сравнения, основанные на параметрах скорости при случайном кодировании.
В главе 7 мы показали, что средняя вероятность ошибки по ансамблю случайно выбранных двоичных кодовых слов имеет верхнюю границу Р. < 2 "(~' " ), (8.1.101) где А', = А/н — скорость кода, а предельная скорость Л, связывает верхнюю границу с Л, так, что Р, — > 0 при л — + сс. Для неквантованного декодирования (мягких решений) Л, определяется так использовании соотношений для пропускной способности канала. Напомним, что около 1 дБ этих потерь можно восполнить квантованием выхода демодулятора на трех уровнях вместо двух (см.
задачу 7.11). Дополнительное улучшение возможно путем квантования выхода демодулятора на число уровней, большее трех, как показано в разделе 7.3. Од 1 сн о,в 0,7 Я а о6 гэ 0,5 Я -)О -5 о 5 )о )о )к (к,)и,) 1д)5) Рнс. 8.1.15. Сравнение Л, (декодирование мягких решений) с Л, 1деквднроввнне жесткнх решений) в функшш от ОСШ нв нъшрсннс 8.1.7.
Границы для минимальных расстояний линейных блоковых кодов Выражения для вероятности ошибки, полученные в этой главе для декодирования мягких и жестких решений линейных двоичных блоковых кодов, ясно указывает на важное значение параметра минимальное кодовое расстояние для качества када. Если мы, например, рассмотрим декодирование мягких решений, верхняя граница вероятности ошибки, представленная в (8 1.52), указывает на то, что для заданной скорости кода 11,, — 1!п вероятность ошибки в канале с АБГШ уменьшается экспоненциально с к1, Если эту границу использовать в соединении с нижней границей для с1, данной ниже, мы получаем верхнюю границу для Р„, которую можно достичь многими известными кодами.
Аналогично, мы можем использовать верхнюю границу данную в (8.1.821 для вероятности ошибки при декодировании жестких решений в соединении с нижней границей для д„,„для получения верхней границы для вероятности ошибочного декодирования линейных двоичных блоковых кодов в ДСК. С другой стороны, верхнюю граница для И „можно использовать для определения нижней границы вероятности ошибки, достигаемой наилучшими кодами, Для примера, предположим, что используется декодирование жестких решений. В этом случае мы имеем две нижние границы для Р„даваемые (8.1.8б) и (8.1.87), причем первая более плотная. Если хотя бы одна из этих границ использовалась совместно с верхней границей для 4„„„, то результатом будет нижняя граница для 1', для наилучшего (н,к) кода.
Таким образом, верхние и нижние границы с с1„,„очень важны для оценки эффективности кодов, 39Л (8.1.108) В пределе, когда и — + со, при и' . /и < ч, (8.1.110) приводит к 395 Простая верхняя граница для минимального расстояния двоичного или недвоичного линейного блокового кода (и,/с) была дана в (8.1.14) как а1 - < и — И+1. Удобно нормировать это выражение через длину блока и . Это дает Ы 1 <(1-Л,)+-, (8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
