Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Двоичные БЧХ коды можно построить с параметрами п=2 — 1 и — 1е <т~ Ы = 2е+1, где т (т>3) и ~ — произвольные положительные целые числа. Этот класс двоичных кодов предоставляет разработчику систем связи большой выбор длин блока и скоростей кода. Недвоичные БЧХ коды включают в себя мощные коды Рида — Соломона, которые будут описаны ниже.
Порождающие полиномы для БЧХ кодов можно конструировать из множителей полинома р~ '+1. В таблице 8.1,6, приведены коэффициенты порождающих полиномов для БЧХ кодов длины 7<п <255, соответствующие 3<т<8. Коэффициенты даны в восьмеричной форме, причем самая левая цифра соответствует слагаемому полинома с наивысшей степенью. 4 5 6 7 8 9 10 11 1,10 12 1,7,9, 10 13 1,10,11,13 14' 1,5,9, 14 15 1,15 16 1, 5, 14, 16 17 1,15 18 1, 12 19 1,15,13,19 20 1,13 29 21 1 20 30 22 1 22 31 23 1, 19 32 24 1, 18,23,24 33 25 1,23 34 26 1,21,25,26 27 1, 23„26, 27 28 1,26 Таблица 8.1.6.
Коэффициенты порождающих полиномов (в восьмеричной форме) длл кодов БЧХдлиной 7<и<255 З7З 7 15 31 63 127 255 4 11 7 5 26 21 16 11 6 57 51 45 39 36 30 18 16 10 7 120 113 106 99 92 85 78 71 64 57 50 43 36 29 22 15 8 247 239 231 223 215 207 199 191 1 1 2 3 1 2 3 5 7 1 2 3 4 „5 6 7 10 11 13 15 1 2. 3 5 6 7 9 10 11 13 14 15 21 23 27 31 1 2 3 4 5 6 7 8 13 23 721 2467 45 3551 107657 5423325 313365047 103 12471 1701317 166623567 1033500423 157464165547 17323260404441 1363026512351725 6331141367235453 472622305527250155 5231045543503271737 211 41567 11554743 3447023271 624730022327 130704476322273 26230002166130115 6255010713253127753 1206534025570773100045 335265252505705053517721 54446512523314012421501421 17721772213651227521220574343 3146074666522075044764574721735 403114461367670603667530141176155 123376070404722522435445626637647043 22057042445604554770523013762217604353 70472640527510306514762242715677331330217 435 267543 156720665 75626641375 23157564726421 16176560567636227 7633031270420722341 2663470176115333714567 Таблица 8.1.6.
(продолжение) 52755313540001322236351 22634710717340432416300455 1541621421234235607706163067 7500415510075602551574724514601 3757513005407665015722506464677633 1642130173537165525304165305441011711 461401732060175561570722730247453567445 215713331471510151261250277442142024165471 120614052242066003717210326516141226272506267 60526665572100247263636404600276352556313472737 22205772322066256312417300235347420176574750154441 10656667253473174222741416201574332252411076432303431 675026503032744417272363172473251107555076272072434 4561 110136763414743236435231634307172046206722545273311 721317 667000356376575000202703442073661746210153267117665 41342355 240247105206443215155541721123311632054442503625576 43221706035 107544750551635443253152173577070036661117264552676 13656702543301 731542520350110013301527530603205432541432675501055 7044426035473617 253354201706264656303304137740623317512333414544604 5005066024552543173 152020560552341611311013463764237015636700244707623 73033202157025051541 513633025506700741417744724543753042073570617432343 2347644354737403044003 302571553667307146552706401236137711534224232420117 4114060254757410403565037 125621525706033265600177315360761210322734140565307 4542521153121614466513473725 464173200505256454442657371425006600433067744547656 140317467721357026134460500547 157260252174724632010310432553551346141623672120440 74545112766115547705561677516057 9 10 11 12 13 14 15 18 19 21 22 23 25 187 179 171 163 155 147 139 131 123 115 107 99 91 255 26 87 71 30 63 47 42 43 45 45 21 59 13 63 Истсчиик: ЯепЬИ (19б4), О 19б4 !ЕЕЕ 374 Так, коэффициентами полинома для кода (15,5) является 2467, что соответствует двоичной форме 10 100 110 111.
Следовательно, порождающий полипом равен 8(р) = Р" +Р" +Р'+Р'+Р'+Р+1. Более общий список порождающих полиномов для БЧХ кодов дан Питерсоном и Уэлдоном (1972), которые дали таблицы множителей полиномов р' ' + 1 для т ~ 34. 8.1.4. Оптимальное декодирование мягких решений для линейных блоковых кодов В этом подразделе мы рассмотрим качество линейных блоковых кодов в канале с АБГШ, когда на приеме используется оптимальное (без квантования) декодирование мягких решений. Символы кодового слова могут быть переданы посредством произвольных двоичных сигналов одним из методов, описанных в главе 5. Для наших целей мы рассмотрим двоичную (или четверичную) когерентную ФМ, что является наиболее эффективным методом, и двоичную ортогональную ЧМ с когерентным или некогерентным детектированием. Пусть 3 означает энергию переданного сигнала на кодовое слово и пусть 8.
означает энергию сигнала, требуемую для передачи отдельного элемента (бита) кодового слова. Поскольку в кодовом слове п бит, то 8=-ио,.Так как кодовые слова содержат 1 бит информации, то энергия на информационный бит Ж и Ж, $ = — = — Ж.= — '. (8.1.43) Считается, что все кодовые слова равновероятны с априорной вероятностью 1/М, Допустим, что символы кодового слова передаются посредством двоичной ФМ. Каждое кодовое слово отображается одним из М сигналов.
Из главы 5 мы знаем, что приемник, оптимальный по критерию минимума средней вероятности ошибки на кодовое слово, можно реализовать в канале с АБГШ в виде параллельного банка М фильтров, согласованных с М возможными сигналами. Выходы М согласованных фильтров в конце каждого сигнального интервала, который определяется передачей и символов кодового слова, сравниваются и выбирается кодовое слово, которому соответствует максимальный выход согласованного фильтра. Альтернативно можно использовать М взаимных корреляторов.
В любом случае, реализацию приемника можно упростить. Это значит, что эквивалентный оптимальный приемник можно реализовать, используя единственный фильтр (или коррелятор), согласованный с двоичным ФМ сигналом, использованным для передачи каждого бита кодового слова, а за нпм декодер, который формирует М величин для решения, соответствующих М кодовым словам. Для конкретности, пусть г, 1= 1, 2, ...,и, представляют и последовательных отсчетов выхода единственного согласованного фильтра для конкретного кодового слова.
Поскольку используется сигнал двоичной ФМ, выход г. можно выразить или так: 7 ;. =Я+и, (8.1.44) когда 7-й разряд кодового слова содер>кит «1», или так: (; =-,/ж,+„„ (8.1.45) когда 1-й разряд содержит «О». Величины (~г,) представляют АБГШ в отсчетных точках. Каждое н,. имеет нулевое среднее и дисперсию ~М,. Зная М возможных к передаче кодовых слов и принятые значения (г,), оптимальный декодер формирует М корреляционных метрик н СМ, =С(г,С,.)= ~ (2с„— 1)г;., 1=1, 2, ...,М, (8,1.46) где с„, означает символ на у-ой позиции 1-го кодового слова. Так, если с,„. = 1, взвешивающий множитель 2с:„.
— 1 = 1, а если с„= О, взвешивающий множитель 375 2с„ — 1 = -1. Такое взвешивание приводит к тому, что корреляционная метрика, соответствующая действительно переданному кодовому слову, будет иметь среднюю величину Дл, в то время как другие М вЂ” 1 вгетрик будет иметь меньшее значение. Хотя вычисления, требуемые для формирования корреляционных метрик для мягкого декодирования согласно (8.1.46), относительно простые, все же затруднительно вычислять (8.1.46) для всех возможных кодовых слов, когда число кодовых слов велико, например М > 2".
В этих случаях все же возможно реализовать декодирование мягких решений, используя алгоритмы, которые применяют технику для отбрасывания неправдоподобных кодовых слов без вычисления всего набора их корреляционных метрик, определяемых (8.1.46). Несколько типов такого декодирования мягких решений были описаны в литературе. Интересующихся этим читателей отошлем к статьям Форин (1966), Уэлдона (1971), Чейза (1972), Вайнберга и Вольфа (1973), Вольфа (1978) и Матиса и Модестино (1982). Для определения вероятности ошибки блокового кода заметим„что, когда такой код применяется в двоичном симметричном канале, каким является канал с АБГШ, и когда осуществляется оптимальное декодирование мягких решений, то вероятность ошибки при передаче т-го кодового слова одинакова для всех т. Поэтому для простоты предположим, что передается кодовое слово С,, состоящее из одних нулей.
Для правильного декодирования С> корреляционная метрика СМ, должна превышать все остальные М вЂ” 1 корреляционные метрики Ш, т=2,3, ...,М. Все метрики распределены по Гауссу. Среднее значение СМ, равно Дп, в то время как средние значения для СМ„„т = 2, 3, ..., М, равны Я~>(! — 2г>)„! й~. Дисперсия для каждой величины, участвующей в решении, равна ~М,. Нахождение точного выражения для вероятности правильного декодирования или, что эквивалентно, нахождение вероятности ошибки в кодовом слове усложняется наличием корреляции между М корреляционными метриками.
Коэффициенты взаимной корреляции между С, н другими М-1 кодовыми словами равны р = (1 — 2в / гг), т = 2, 3, ..., М, (8.1.47) где г> означает вес т-го кодового слова . Вместо того, чтобы пытаться получить точную формулу для вероятности ошибки, мы обратимся к объединенной верхней границе. Вероятность того, что СМ > СМ,, равна Р> )=Д( — !1-р ), >8.1.4В) о где 8=1>~~ - энергия сигнала кодового слова. Подставив для р„, значение из (8.1.47), а для 8 значение из (8. 1.43.), получаем (8.1.49) где у, — это ОСШ на бит, а Я, — скорость кода.
Средняя вероятность ошибки кодового слова ограничена сверху суммой вероятностей ошибок двоичных событий, определяемых (8.1.49.), т.е. М м Р„~г~Р> ) ~д1,>гу,я .1. (8.1.50) ~3Г= 2 П4=2 Вычисление вероятности ошибки декодирования мягких решений согласно (8.1.50) 376 г„. =Д+п„~ 7'=1,2, ...,и, >; =и> > / (8.1.56) где (г>„), 1= 0,1, 7'= 1, 2, ...,и-взаимно статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним и дисперсией ~ >»,. Следовательно, 1.'М> является гауссовской величиной со средним Дн и дисперсией ~~ >»о. С другой стороны, корреляционная метрика СМ„, соответствующая кодовому слову с весом и, является гауссовской случайной величиной со средним Яф- и> 1п) и дисперсией з и>»'„. Поскольку величины (СМ ) коррелированны, мы снова обращаемся к объединенной границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
